Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Можно ли утверждать, ³что последова´0000тельность {fn (x)} сходится к {f (x)}? Если lim fn (x) = lim fn (x) =n→∞n→∞f 0 (x), то говорят, что в этой последовательности можно переходить кпределу под знаком производной.Следующий пример показывает, что переход к пределу под знакомпроизводной не всегда возможен.sin nxПример 4.11. fn (x) =→ f (x) = 0, x ∈ R, причем данnная сходимость даже равномерная. Последовательность производныхfn0 (x) = cos nx не сходится к f 0 (x) = 0 ни в одной точке x (она расходится при x 6= 2πk, k ∈ Z, а при x = 2πk она сходится к единице).Аналогичный вопрос можно поставить и для сходящегося функцио∞Pнального рядаuk (x): верно ли равенствоk=1Ã∞Xk=1!0uk (x)=∞Xu0k (x) ?k=1Если это равенство верно, то говорят, что ряд∞Pk=1uk (x) можно диффе-ренцировать почленно.
Отметим, что для конечной суммы дифференцируемых функций это равенство всегда верно. Что касается ряда, тооно может не выполняться. Пример такого ряда можно построить изразностей соседних членов последовательности из примера 4.11.Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов97Теорема 4.10. Пусть1) все функции fn (x) имеют непрерывные производные fn0 (x) на [a, b];2) в некоторой точке x0 ∈ [a, b] {fn (x0 )} → f0 ∈ R, n → ∞;3){fn0 (x)}[a,b]⇒ ϕ(x).Тогда функциональная последовательность {fn (x)} равномерно сходится на [a, b] к некоторой дифференцируемой функции f (x), f 0 (x) =ϕ(x), f (x0 ) = f0 и³´lim fn0 (x) =n→∞0lim fn (x) .n→∞{fn0 (x)}[a,b]Доказательство.
Поскольку⇒ ϕ(x), то по теореме 4.7 ϕ(x) —непрерывная функция на [a, b], а по теореме 4.8 ∀x ∈ [a, b]ZxZx[a,b]fn (x) − fn (x0 ) = fn0 (t) dt ⇒ϕ(t) dt, n → ∞.x0x0[a,b]Но lim fn (x0 ) = f0 , поэтому ∃f (x) ⇔ fn (x), n → ∞, иn→∞Zxf (x) − f0 =Zxϕ(t) dt ⇒ f (x) = f (x0 ) +x0ϕ(t) dt ⇒x0∃ f 0 (x) = ϕ(x).Теорема 4.11. Пусть1) все функции uk (x) имеют непрерывные производные на [a, b];∞P2) в некоторой точке x0 ∈ [a, b] числовой рядuk (x0 ) сходится к S0 ;k=13) ряд∞Pk=1Тогда рядu0k (x) сходится равномерно на [a, b] к функции ϕ(x).∞Puk (x) равномерно сходится на [a, b] к некоторой дифференk=1µ∞¶0Pцируемой функции S(x), S(x0 ) = S0 и S 0 (x) = ϕ(x) илиuk (x) =∞Pk=1k=1u0k (x), т.е.
ряд можно дифференцировать почленно.98Функциональные последовательности и рядыДоказательство. Из условий теоремы следует, что функции Sn (x) =nPuk (x) имеют непрерывные производные на [a, b], Sn (x0 ) → S0 иk=1[a,b]Sn0 (x) ⇒ ϕ(x). Поэтому по теореме 4.10 ∃ такая дифференцируемая[a,b]функция S(x) на [a, b], что Sn (x) ⇒ S(x), S(x0 ) = S0 и S 0 (x) = ϕ(x).4.5Функциональные евклидовые, нормированные иметрические пространстваВ начале 20 века, в связи с изучением дифференциальных уравненийв частных производных, интегральныx уравнений, а позднее и квантовой механики, в математике возникла идея рассматривать функции неизолированно, а как элементы линейных пространств, наделенных некоторыми дополнительными свойствами.
Эта идея оказалась очень плодотворной, обогатила теорию дифференциальных уравнений, породилатакой раздел математики, как функциональный анализ, и широко использовалась при развитии численных методов.Мы рассмотрим некоторые начальные понятия, связанные с развитием этой идеи.В линейной алгебре рассматриваются линейные конечномерные пространства. Основной интерес для анализа представляют пространствафункций, не являющиеся конечномерными. Напомним вначале основныефакты, относящиеся к евклидовым пространствам.Определение 4.6.
Вещественное линейное пространство E, состоящее из элементов любой природы, называется евклидовым, если намножестве пар элементов из E задана вещественнозначная функция(f, g), f, g ∈ E такая, что для нее выполнены аксиомы линейности,симметричности и положительной определенности:1) (αf + βg, h) = α(f, h) + β(g, h) ∀α, β ∈ R, ∀f, g, h ∈ E;2) (f, g) = (g, f ) ∀f, g ∈ E;3) (f, f ) > 0 ∀f ∈ E, и если (f, f ) = 0, то f = θ ∈ E.Для вещественных линейных евклидовых пространств справедливонеравенство Коши–Буняковскогоp|(f, g)| 6 (f, f )(g, g) ∀f, g ∈ E.Нормированные и метрические пространства99Оно доказывается так: рассмотрим неотрицательный квадратный трехчлен pf,g (λ) = (f + λg, f + λg) = (f, f ) + 2λ(f, g) + λ2 (g, g). В силу егонеотрицательности, его дискриминант неположителен:D(pf,g ) = 4((f, g)2 − (g, g)(f, f )) 6 0,откуда и следует неравенство Коши–Буняковского.Заметим, что при доказательстве этого неравенства мы не пользовались условием (f, f ) = 0 ⇒ f = θ ∈ E, поэтому если на вещественном линейном пространстве определена вещественнозначная функция(f, g), f, g ∈ E, удовлетворяющая всем аксиомам скалярного произведения, кроме условия (f, f ) = 0 ⇒ f = θ ∈ E, то в таком вещественномлинейном пространстве неравенство Коши–Буняковского все равно справедливо.Определение 4.7.
Евклидовы пространства E1 и E2 со скалярнымипроизведениями (·, ·)1 и (·, ·)2 , соответственно, изометричны (изоморфны), если существует биективное отображение ϕ: E1 7→ E2 такое,что1) ϕ(αf + βg) = αϕ(f ) + βϕ(g) ∀f, g ∈ E1 , ∀α, β ∈ R;2) (ϕ(f ), ϕ(g))2 = (f, g)1∀f, g ∈ E1 .Отображение ϕ при этом называется изометрией (изоморфизмом) евклидовых пространств.Пример 4.12. Рассмотрим линейное пространство Q[a, b] кусочнонепрерывных вещественнозначных функций, определенных на отрезке[a, b], принимающих в каждой точке разрыва значение, равное полусумме правого и левого предельных значений в этой точке, причем в концевых точках отрезка функции предполагаются односторонне непрерывными.
Снабдим это пространство скалярным произведениемZb(f, g) =f (x)g(x)dx, f, g ∈ Q[a, b].aАксиомы скалярного произведения проверяются элементарно, приэтом условие равенства значения функции в точке разрыва полусуммеправого и левого предельных значений в этой точке нужно для выполнения аксиомы (f, f ) = 0 ⇒ f = θ скалярного произведения.100Функциональные последовательности и рядыПоэтому если не накладывать на кусочно-непрерывные функцииусловия равенства значения функции в точке разрыва полусумме правого и левого предельных значений в этой точке, то неравенство Коши–Буняковского, имеющее в данном случае вид¯ v¯ b¯ u¯ZZbZb¯ u¯22¯ f (x)g(x)dx¯ 6 u¯ t f (x)dx g (x)dx,¯¯¯aaaвсе равно будет справедливо. В данном случае оно называется интегральным неравенством Коши-Буняковского.Более широкий класс линейных пространств, по сравнению с евклидовыми, образуют нормированные пространства.Определение 4.8.
Вещественное линейное пространство L, состоящее из элементов любой природы, называется нормированным, еслина L задана вещественнозначная функция kf k, f ∈ L такая, что1) kλf k = |λ| · kf k ∀λ ∈ R, ∀f ∈ L;2) kf k > 0 ∀f ∈ L;kf k = 0 ⇒ f = θ ∈ L;3) kf + gk 6 kf k + kgk ∀f, g ∈ L.Первая аксиома называется однородностью нормы, вторая — ее положительной определенностью, а последняя — неравенством треугольникаили неравенством Минковского4 . Неравенство треугольника гарантируетнепрерывность нормы, что означает малость величины |kx + 4xk − kxk|при малых k4xk.
Действительно, неравенство kx + 4xk 6 kxk + k4xkесть просто неравенство треугольника в других обозначениях, а если внеравенстве треугольника положить f + g = x, f = x + 4x, то g = −4x,и kxk − kx + 4xk 6 k − 4xk = k4xk. В совокупности полученные неравенства дают |kx + 4xk − kxk| 6 k4xk, что и означает непрерывностьнормы.Определение 4.9. Нормированные пространства L1 и L2 с нормамиk·k1 и k·k2 , соответственно, изоморфны, если существует биективноеотображение ϕ: L1 7→ L2 такое, что1. ϕ(αf + βg) = αϕ(f ) + βϕ(g) ∀f, g ∈ L1 , ∀α, β ∈ R;4Минковский Герман (1864–1909) — немецкий математик и физик.Нормированные и метрические пространства2. kϕ(f )k2 = kf k1101∀f ∈ L1 .Заметим, что любое евклидово пространствоp E можно сделать нормированным, введя норму по формуле kf k = (f, f ), f ∈ E.
Проверкитребует лишь неравенство треугольника: kf + gk2 = (f + g, f + g) =(f, f ) + 2(f, g) + (g, g) 6 kf k2 + 2kf kkgk + kgk2 = (kf k + kgk)2 ⇒kf + gk 6 kf k + kgk.В евклидовых пространствах для нормы выполняется тождество параллелограмма:kf + gk2 + kf − gk2 = 2kf k2 + 2kgk2 ,(4.9)которое интерпретируется как равенство суммы квадратов длин диагоналей параллелограмма сумме квадратов его сторон. В его справедливостилегко убедиться, если раскрыть скалярные произведения в левой частиравенства (4.9).Наоборот, если в нормированном пространстве выполнено тождествопараллелограмма, то в нем можно ввести скалярное произведение поформуле¢1¡kx + yk2 − kxk2 − kyk2 , x, y ∈ L.(4.10)(x, y) =2Действительно, симметричность и положительная определенность скалярного произведения в данном случае очевидны, и проверки требуеттолько линейность произведения (4.10).
Проверим сначала равенство(x + y, z) = (x, z) + (y, z).(4.11)Оно эквивалентно равенствуkx+y+zk2 −kx+yk2 −kzk2 = kx+zk2 −kxk2 −kzk2 +ky+zk2 −kyk2 −kzk2 ,которое, в свою очередь, эквивалентно равенствуkx + y + zk2 + kxk2 + kyk2 + kzk2 = kx + yk2 + ky + zk2 + kx + zk2 , (4.12)симметричному относительно любой перестановки x, y, z. Для доказательства равенства (4.12) запишем следующие тождества параллелограммаkx + y + zk2 + kx + y − zk2 = 2kx + yk2 + 2kzk2 ,kx + y − zk2 + kx − y + zk2 = 2kxk2 + 2ky − zk2 ,kx + z + yk2 + kx + z − yk2 = 2kx + zk2 + 2kyk2 .102Функциональные последовательности и рядыВычитая из первого равенства второе и прибавляя третье, после сокращения на 2 получимkx + y + zk2 = kx + yk2 + kzk2 − kxk2 − ky − zk2 + kx + zk2 + kyk2 .Если теперь в правую часть данного равенства подставить норму ky−zk2 ,выраженную из тождества параллелограммаky + zk2 + ky − zk2 = 2kyk2 + 2kzk2 ,то мы получим (4.12), что доказывает (4.11).Подставляя в (4.11) y = −x, получаем 0 = (θ, z) = (x, z) + (−x, z),откуда (−x, z) = −(x, z).Теперь из (4.11) мы получим очевидной индукцией равенство(nx, y) = n(x, y) ∀n ∈ Z, а из него, подстановкой x = n1 x0 , — равенство n1 (x0 , y) = ( n1 x0 , y), а значит, и равенство (λx, y) = λ(x, y) ∀λ ∈ Q,∀x, y ∈ L.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
