Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

В силу теоремы6.2 и формулы Ньютона–Лейбница имеем:ZyZy ZbZb Zy∂f (x, t) ∂f (x, t) dx dt = dt dx =G(t) dt = ∂t∂tccaacZb=[f (x, y) − f (x, c)] dx = F(y) − F (c).aСледовательно: F(y) =функция, тоRyG(t) dt + F(c). Поскольку G(t) — непрерывнаяc yZd ∃ F 0 (y) =G(t) dt = G(y).dycСледствие 6.2. Пусть выполнены условия теоремы 6.3 и пусть a 6x1 (y) 6 x2 (y) 6 b, где x1 (y), x2 (y) — дифференцируемые функции. Тогда1В таком случае говорят, что интеграл, зависящий от параметра, можно дифференцировать попараметру под знаком интеграла.146Несобственные интегралы 1 рода, зависящие от параметраg(y) :=R x2 (y)x1 (y)f (x, y) dx — дифференцируемая функция на [c, d], причемxZ2 (y)g 0 (y) :=∂f (x, y)dx + f (x2 (y), y)x02 (y) − f (x1 (y), y)x01 (y).∂yx1 (y)Доказательство.

Введем обозначение Φ(u, v, y) :=частные производные функции Φ(u, v, y):∂Φ∂Φ∂Φ= f (v, y),= −f (v, y),=∂v∂u∂yZvRvuf (x, y) dx. Найдем∂f (x, y)dx.∂yuЗаметим, что эти частные производные — непрерывные функции от u, v,y, поэтому Φ(u, v, y) — дифференцируемая функция своих аргументов.Если положить u = x1 (y), v = x2 (y), то мы получим сложную функцию аргумента y: Φ(x1 (y), x2 (y), y) = g(y), которая дифференцируемапо теореме о дифференцируемости сложной функции, причем·¸∂Φ∂Φ∂Φg 0 (y) =x01 (y) +x02 (y) +=∂u∂v∂y u=x1 (y)v=x2 (y)xZ2 (y)= −f (x1 (y), y)x01 (y) + f (x2 (y), y)x02 (y) +∂f (x, y)dx.∂yx1 (y)6.2Несобственные интегралы 1 рода, зависящие отпараметра. Признаки равномерной сходимостиПусть функция f (x, y) определена в полуполосе2Π := {(x, y)| x > a, c 6 y 6 d}и пусть несобственный интегралR∞f (x, y)dx сходится ∀y ∈ [c, d]. Тогдаaпри y ∈ [c, d] определена функция F(y) :=R∞f (x, y)dx, которая назы-aвается несобственным интегралом 1 рода, зависящим от параметра y.2Ниже в этой главе, если явно не сказано противное, мы допускаем, что c и d могут независимопринимать значения −∞ и +∞.Несобственные интегралы 1 рода, зависящие от параметра147Можно рассматривать случаи, когда параметр y изменяется не на сегменте, а на полупрямой или на всей прямой или на каком-то другоммножестве.

Несобственные интегралы, зависящие от параметра, аналогичны функциональным рядам.Пример 6.1.Z+∞0, y = 0,−xyRA −xyF(y) :=yedx =dx, y > 0limA→+∞ ye00((0, y = 0,0, y = 0,==AlimA→+∞ (−e−xy )|0 , y > 01, y > 0.=Таким образом, предельная функция разрывна в точке y = 0, несмотря на то, что подынтегральная функция непрерывна в квадранте{(x, y)| x > 0, y > 0}.На этом примере мы видим, что в отличии от собственных интегралов, непрерывность подынтегральной функции для несобственных интегралов не гарантирует непрерывность самого интеграла. С аналогичнойситуацией мы сталкивались в теории функциональных последовательностей и рядов: сумма ряда непрерывных функций может быть разрывной функцией. Ключевым понятием для перенесения “хороших” свойствподынтегральных функций на сами несобственные интегралы, зависящие от параметра, является, как и для функциональных последовательностей и рядов, понятие равномерной сходимости.R∞Определение 6.1.

Несобственный интеграл f (x, y)dx называетсяaсходящимся равномерно по параметру y на [c, d], если он сходится∀y ∈ [c, d] и если ∀ε > 0 ∃A > a такое, что ∀A0 > A и ∀y ∈ [c, d]выполняется неравенство¯∞¯¯Z¯¯¯¯ f (x, y)dx¯ < ε.¯¯¯ 0¯AЭто означает, что остаток интеграла может быть сделан равномерно малым при достаточно большом нижнем пределе интегрирования.Более удобным для практической проверки может оказаться другоеэквивалентное определение:148Несобственные интегралы 1 рода, зависящие от параметраОпределение 6.2.

Несобственный интегралR∞f (x, y)dx называетсяaсходящимся равномерно по параметру y на [c, d], если он сходится∀y ∈ [c, d], и если¯∞¯¯Z¯¯¯lim sup ¯¯ f (x, y)dx¯¯ = 0.A→+∞ y∈[c,d] ¯¯AВернемся к примеру 6.1. В данном случае¯¯∞¯¯Z³¯ ´¯¯−xy ¯+∞−xy¯¯= sup e−Ay = 1,∀A > 0 : sup ¯ yedx¯ = sup −eAy>0y>0 ¯¯ y>0Aследовательно на множестве y > 0 равномерная сходимость не имеетместа. В то же время ∀δ > 0, ∀A > 0¯∞¯¯Z¯³¯¯¯ ´−xy−xy ¯+∞¯¯sup ¯ yedx¯ = sup −e= sup e−Ay = e−Aδ → 0, A → +∞.Ay>δ ¯y>δ¯ y>δAЗначит, на множестве y > δ > 0 интеграл из примера 6.1 сходится равномерно.Теорема 6.4 (критерий Коши равномерной сходимости н.и.

1 рода, зави+∞Rсящего от параметра). Несобственный интегралf (x, y) dx сходитсяaравномерно по y ∈ [c, d] тогда и только тогда, когда ∀ε > 0 ∃A > a(не зависящее от y) такое, что ∀A0 , A00 > A и ∀y ∈ [c, d] выполненонеравенство¯ A00¯¯Z¯¯¯¯ f (x, y) dx¯ < ε.¯¯¯ 0¯AДоказательство.полнено1. Необходимость. Если ∀A0 > A и ∀y ∈ [c, d] вы¯∞¯¯Z¯¯¯¯ f (x, y) dx¯ < ε ,¯¯ 2¯ 0¯A000то ∀A , A > A и ∀y ∈ [c, d] выполнено неравенство:¯ A00¯ ¯∞¯¯Z¯ ¯Z¯Z∞¯¯ ¯¯¯ f (x, y) dx¯ = ¯ f (x, y) dx − f (x, y) dx¯ 6¯¯ ¯¯¯ 0¯ ¯ 0¯00AAAНесобственные интегралы 1 рода, зависящие от параметра149¯∞¯ ¯∞¯¯Z¯ ¯Z¯¯¯ ¯¯ ε ε6 ¯¯ f (x, y) dx¯¯ + ¯¯ f (x, y) dx¯¯ 6 + = ε.¯ 0¯ ¯ 00¯ 2 2AA2.

Достаточность. Пусть ∀ε > 0 ∃A такое, что ∀A0 , A00 > A и ∀y ∈ [c, d]:¯¯ A00¯¯Z¯¯¯ f (x, y) dx¯ < ε.¯¯¯ 0¯AПереходя в этом неравенстве к пределу при A00 → ∞, получаем¯¯∞¯¯Z¯¯¯ f (x, y) dx¯ 6 ε,¯¯¯¯ 0Aа это и означает, что н.и. сходится равномерно.Теорема 6.5 (мажорантный признак Вейерштрасса). Пусть1.

|f (x, y)| 6 g(x), (x, y) ∈ Π и пусть функция f (x, y) интегрируемапо x на любом сегменте [a, A], A > a при y ∈ [c, d];2. несобственный интеграл+∞Rg(x) dx сходится.aТогда несобственные интегралы+∞Rf (x, y) dx иaравномерно по y ∈ [c, d].+∞R|f (x, y)| dx сходятсяaДоказательство. Пусть ε > 0. По критерию Коши для несобственного интеграла первого рода ∃A > a такое, что ∀A0 , A00 > A выполненонеравенство¯ A00¯¯Z¯¯¯¯ g(x) dx¯ < ε.¯¯¯ 0¯AИспользуя условие 1, получаем, что ∀y ∈ [c, d]:¯ A00¯ ¯ A00¯ ¯ A00¯¯Z¯ ¯Z¯ ¯Z¯¯¯ ¯¯ ¯¯¯ f (x, y) dx¯ 6 ¯ |f (x, y)| dx¯ 6 ¯ g(x) dx¯ < ε,¯¯ ¯¯ ¯¯¯ 0¯ ¯ 0¯ ¯ 0¯AAAа это и означает, в силу теоремы 6.4, справедливость утверждения теоремы.150Несобственные интегралы 1 рода, зависящие от параметраПример 6.2. Рассмотрим еще раз интеграл+∞Rye−xy dx из примера06.1. Мы уже доказали его равномерную сходимость при y > δ > 0 поопределению.При помощи мажорантного признака Вейерштрасса мы можем доказать его равномерную сходимость при δ 6 y 6 M , поскольку0 < ye−xy 6 M e−δx =: g(x) при δ 6 y 6 M , 0 6 x < ∞ и интегралR∞Mсходится.M e−δx dx =δ0При y > δ > 0 у подынтегральной функции нет интегрируемой∂мажоранты, поскольку (с учетом ∂y(ye−xy ) = (1 − xy)e−xy )(1x 6 1/δ−xyex ,sup ye=δe−xδ , x > 1/δy>δи1/δR0dxxрасходится.Таким образом, этот пример показывает, что мажорантный признак Вейерштрасса достаточен, но не необходим для равномерной сходимости несобственного интеграла, даже для знакопостоянной подынтегральной функции.Мажорантный признак Вейерштрасса позволяет доказать равномерную и абсолютную сходимость несобственного интеграла 1 рода.

В случае отсутствия абсолютной сходимости он не применим. В этой ситуации,как и для функциональных рядов, используется признак Дирихле.Теорема 6.6 (признак Дирихле). Пусть¯x¯¯R¯1. функция f (x, y) непрерывна в полуполосе Π и ¯¯ f (t, y) dt¯¯ 6 M =aconst, ∀x > a, ∀y ∈ [c, d].2. функция g(x, y) определена в полуполосе Π, имеет в ней непрерывную производную по x и монотонно по x и равномерно по y ∈ [c, d]стремится к нулю при x → +∞ (последний факт обозначаетсятак: g(x, y) ¸ 0, x → ∞, y ∈ [c, d]).Тогда несобственный интегрално по y ∈ [c, d].+∞Raf (x, y)g(x, y) dx сходится равномер-О непрерывности, интегрировании и дифференцировании по параметру н.и.151Доказательство. Доказательство на основе критерия Коши повторяетдоказательство признака Дирихле для н.и.

первого рода.Пример 6.3.Z∞1sin xydx, 0 < δ 6 y 6 ∞.xФункция f (x, y) = sin xy непрерывна при x ¯ > 1, y ¯> δ и имеет по¯ cos xy ¯¯ 6 1 . Функцияпеременной x ограниченную первообразную ¯¯−y ¯δ1g(x, y) =монотонно по x > 1 и равномерно по y > δ стремитсяxк нулю при x → +∞, причем имеет непрерывную производную по x.Поэтому по признаку Дирихле данный интеграл равномерно сходится при y > δ.Покажем, что ∀ε > 0 при 0 < y < ε данный интеграл не сходитсяравномерно. Воспользуемся для этого критерием Коши. Пусть yn :=1/n, n > [1/ε] + 1, A0 := 2π/yn , A00 := 3π/yn .

ТогдаZA00sin xyndx =xA0Z3π2πsin z1dz >z3πZ3πsin z dz =2π2.3πПоскольку при n → ∞ также A0 , A00 → ∞, по критерию Коши получаем отсутствие равномерной сходимости.Тем более, равномерная сходимость отсутствует при y > 0 и y ∈R.6.3О непрерывности, интегрировании и дифференцировании по параметру несобственных интегралов, зависящих от параметраТеорема 6.7 (о непрерывности несобственного интеграла, зависящегоот параметра). Пусть1. функция f (x, y) непрерывна в полуполосе Π;2. несобственный интеграл F(y) =по y ∈ [c, d].R∞af (x, y) dx сходится равномерно152О непрерывности, интегрировании и дифференцировании по параметру н.и.Тогда функция F(y) непрерывна на [c, d].Доказательство.

Рассмотрим функциональную последовательностьa+nRFn (y) =f (x, y) dx, n ∈ N. По теореме о непрерывности собственногоaинтеграла, зависящего от параметра, каждая функция Fn (y) непрерывy∈[c,d]на на [c, d], а в силу условия 2 Fn (y) ⇒ F(y). Поэтому по теореме онепрерывности равномерного предела последовательности непрерывныхфункций, функция F(y) непрерывна на [c, d].Теорема 6.8 (об интегрировании несобственного интеграла по параметру). Если выполнены условия предыдущей теоремы, причем c и d являются конечными величинами, тоZdZd Z∞Z∞ ZdF(y)dy =  f (x, y) dx dy =  f (x, y) dy  dx.(6.2)ccaacДоказательство.

По предыдущей теореме функция F(y) интегрируемана [c, d], поэтому нам нужно только доказать равенство (6.2), т.е. то, чтоZA ZdZd Z∞ f (x, y) dy  dx =  f (x, y) dx dy.limA→∞accaПоскольку функция f (x, y) непрерывна, то собственные интегралы подзнаком предела можно переставить и равенство (6.2) эквивалентно равенствуZd Z∞ZA f (x, y) dx − f (x, y) dx dy = 0.(6.3)limA→∞c|a{z a}R∞= f (x,y) dxAТак как интегралR∞af (x, y) dx сходится равномерно по y на [c, d], то0∀ε¯ ∞ > 0 ∃A ¯такое, что ∀A > A и ∀y ∈ [c, d] выполнено неравенство¯R¯¯ f (x, y) dx¯ < ε .

Следовательно, ∀A0 > A выполнено неравенствоd−c¯ 0¯¯A ·¸ ¯¯¯Rd R∞¯¯εf (x, y) dx dy ¯ < d−c(d − c) = ε, что и означает справедливость¯¯¯ c A0равенства (6.3).О непрерывности, интегрировании и дифференцировании по параметру н.и.153Докажем теорему о перестановке двух несобственных интегралов первого рода.Теорема 6.9. Пусть функция f (x, y) непрерывна при a 6 x < +∞, c 6y < +∞, а интегралыZ +∞Z +∞f (x, y) dyиf (x, y) dx(6.4)caсходятся равномерно: первый на любом конечном отрезке [a, b], b > a,а второй – на любом конечном отрезке [c, d], d > c.Тогда, если хотя бы один из повторных интеграловZ +∞ Z +∞Z +∞ Z +∞|f (x, y)| dy dxи|f (x, y)| dx dy(6.5)accaсходится, то сходятся и равны между собой повторные интегралыZ +∞ Z +∞Z +∞ Z +∞f (x, y) dy dxиf (x, y) dx dy.(6.6)accaДоказательство.

Характеристики

Список файлов лекций