Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Но ее производнаяf 0 (x) = 2x sin x1 − cos x1 не имеет предела ни справа, ни слева в точке 0.Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье177Пример 7.4. Функция f (x) = sgn x является кусочно-непрерывной,f 0 (0) не существует, но f 0 (0 + 0) = f 0 (0 − 0) = 0, поэтому f (x) —кусочно-гладкая функция.Пример 7.5. Функция(√g(x) =x, x > 00, x < 0является непрерывной, g 0 (0 − 0) = 0, g 0 (0 + 0) = +∞, поэтому функцияg(x) не является кусочно-гладкой.Лемма 7.2. Если f 0 (x) существует в правой полуокрестности точкиx0 и существует конечная величина f 0 (x0 + 0) = limx→x0 +0 f 0 (x), тосуществуетf (x0 + ξ) − f (x0 + 0)= f 0 (x0 + 0).ξ→+0ξlimДоказательство. Доказательство сразу следует из формулы конечныхприращений Лагранжа.Лемма 7.3 (об аппроксимации непрерывной на сегменте функции непрерывной кусочно-гладкой функцией).
Если f ∈ C[a, b], то ∀ε > 0 существует такая кусочно-гладкая функция ` ∈ C[a, b], что kf −`kC[a,b] < ε.Доказательство. По теореме Кантора функция f равномерно непрерывна на [a, b], поэтому ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 такое, что|f (x0 ) − f (x00 )| < ε/2, ∀x0 , x00 ∈ [a, b], |x0 − x00 | < δ.Разобьем сегмент [a, b] на частичные сегменты [xi−1 , xi ], i = 1, . . . , n такие, что |xi − xi−1 | < δ, и построим ломаную `(x), проходящую через всеточки (xi , f (xi ). Тогда функция `(x) — непрерывная, кусочно-гладкая,`(xi ) = f (xi ) и ∀x ∈ [xi−1 , xi ] ⊂ [a, b] выполнено:|f (x) − `(x)| 6 |f (x) − f (xi )| + |`(x) − `(xi )| <ε ε+ = ε,2 2т.к.
|`(x) − `(xi )| 6 |`(xi−1 ) − `(xi )| = |f (xi−1 ) − f (xi )| <x 6 xi . Это и означает, что kf − `kC[a,b] < ε.ε2при xi−1 6178Ряды и интегралы ФурьеЛемма 7.4. Если f (x) кусочно-непрерывна2 на [a, b], тоZbJ1 (λ) =Zbf (x) cos λx dx → 0, J2 (λ) =af (x) sin λx dx → 0 при λ → ∞.aДоказательство. Докажем утверждение леммы для J1 (λ); для J2 (λ) доказательство совершенно аналогично.1.
Пусть сначала f (x) — непрерывная, кусочно-гладкая функция.Разобьем сегмент [a, b] на сегменты [xi−1 , xi ], i = 1, . . . , n, a = x0 ,b = xn непрерывности функции f 0 (x). Рассмотрим один из такихсегментов [xi−1 , xi ] и будем считать при этом f 0 (xi−1 ) = f 0 (xi−1 + 0),f 0 (xi ) = f 0 (xi − 0). Применяя формулу интегрирования по частям,получаем при λ > 0Zxixi−1¯xi¯1f (x) cos λxdx = f (x) sin λx¯¯λ−xi−11λZxif 0 (x) sin λxdx.xi−1Отсюда¯ x¯¯Z i¯Zxi¯¯ 10¯¯ 6 |f (xi−1 )| + |f (xi )| + := Mi|f(x)|dxf(x)cosλxdx¯¯ λλ¯¯xi−1xi−1и, суммируя по всем сегментам [xi−1 , xi ], получаем¯ b¯¯ x¯¯Z¯¯Z i¯nn¯¯ X¯¯ 1X¯¯¯¯|J1 (λ)| = ¯ f (x) cos λxdx¯ 6Mi →f (x) cos λxdx¯ 6¯λ¯¯ i=1 ¯¯i=1axi−1→ 0 при λ → ∞.2.
Пусть теперь f (x) — кусочно-непрерывная функция на сегменте[a, b]. Разобьем сегмент [a, b] на сегменты [xi−1 , xi ], i = 1, . . . , n,a = x0 , b = xn непрерывности функции f (x). Рассмотрим один изтаких сегментов [xi−1 , xi ]. Зададим произвольное ε > 0. По лемме7.3 существует непрерывная кусочно-гладкая функция `(x) такая,2В книге А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа,М.: Наука, 1989, лемма 1, с. 469 требуется всего лишь суммируемость функции f (x) на сегменте[a, b], поскольку непрерывно-дифференцируемые функции плотны в пространстве L1 [a, b].Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье179ε, ∀x ∈ [xi−1 , xi ]. Положим2(xi − xi−1 )что |f (x) − `(x)| <ZxiZxif (x) cos λx dx =xi−1(f (x) − `(x)) cos λx dx+xi−1Zxi+`(x) cos λx dx =: I1 + I2 .xi−1Тогда¯ x¯¯Z i¯Zxi¯¯ε|I1 | = ¯¯(f (x) − `(x)) cos λx dx¯¯ 6|f (x) − `(x)| dx < ,2¯¯xi−1xi−1а по доказанному в п.
1ZxiI2 =`(x) cos λx dx → 0 при λ → ∞,xi−1т.е. для заданного ε > 0 ∃λ0 такое, что |I2 | < 2ε при λ > λ0 . Такимобразом, при λ > λ0 :¯ x¯¯Z i¯¯¯¯¯ 6 |I1 | + |I2 | < ε,f(x)cosλxdx¯¯¯¯xi−1что и означает, чтоZxif (x) cos λx dx → 0 при λ → ∞.xi−1Следовательно, иJ1 =n ZxiXi=1 xi−1f (x) cos λx dx → 0 при λ → ∞.180Ряды и интегралы ФурьеТеорема 7.1 (о поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье). Пусть f (x) — кусочно-гладкая функция на сегменте [−π, π].3 Тогда ряд Фурье∞a0 X+(an cos nx + bn sin nx)2n=1сходится в каждой точке x ∈ [−π, π] и для его суммы S(x) справедливыравенства1.
S(x) = 21 (f (x − 0) + f (x + 0)), ∀x ∈ (−π, π), в частности, S(x) =f (x) в точках непрерывности f (x);2. S(−π) = S(π) = 21 (f (−π + 0) + f (π − 0)).Доказательство. Продолжим периодически функцию f (x) на всю числовую прямую с периодом 2π. Рассмотрим частичную сумму Sn (x) рядаФурье в произвольной точке x ∈ [−π, π]. С учетом формул (7.2), (7.3)для коэффициентов ряда Фурье имеем:na0 X1Sn (x) =+(ak cos kx + bk sin kx) =22πk=1Zπf (t) dt+−πZπnX1f (t) [cos kt cos kx + sin kt sin kx] dt =+πk=1 −π#Zπ "Zπn1 1 X=+cos k(t − x) f (t)dt = Dn (t − x)f (t)dt =π 2k=1−π−ππ−xZ=ZπDn (ξ)f (x + ξ)dξ−π−x=Dn (ξ)f (x + ξ)dξ =−πZ0=лемма 7.1ZπDn (ξ)f (x + ξ)dξ =: Sn− (x) + Sn+ (x),Dn (ξ)f (x + ξ)dξ +−π03В книге А.Н.
Колмогоров, С.В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука, 1989, Теорема 1, с. 469–470 требуется всего лишь суммируемость функции f (x) насегменте [−π, π] и существование при фиксированном x и некотором δ > 0 интеграла¯Zδ ¯¯ f (x + t) − f (x) ¯¯¯ dt¯¯t−δ(условие Дини). Тогда ряд Фурье при данном x сходится к f (x).Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье181гдеDn (ξ) =1πÃ1+2nX!cos kξ— ядро Дирихле порядка n.k=1Для доказательства первого утверждения теоремы нам достаточно доказать, что Sn+ (x) → 21 f (x + 0), Sn− (x) → 12 f (x − 0) при n → ∞.Поскольку!ZπZπ ÃnX111 1Dn (ξ)dξ =+cos kξ dξ = · · 2π = 1,π2π 2−πk=1−πи т.к.
Dn (ξ) — четная функция, тоZ0ZπDn (ξ)dξ =−π01Dn (ξ)dξ = .2Поэтому1Sn+ (x) − f (x + 0) =21Sn− (x) − f (x − 0) =2Zπ[f (x + ξ) − f (x + 0)] Dn (ξ)dξ,0Z0[f (x + ξ) − f (x − 0)] Dn (ξ)dξ.−πПреобразуем выражение для Dn (ξ). Для этого умножим4 его на sin 2ξи воспользуемся формулой:¸·ξ1ξξsin cos kξ =sin( + kξ) − sin(kξ − ) .22224Другой путь:µ¶µnn ¶nnX111 X1 − einx1ei 2 x − e−i 2 xi n+12 xcos kx = + Reeikx = + Re eix+=+Ree=xx2221 − eix2ei 2 − e−i 2k=1k=1µn ¶nsin x2 + 2 cos n+1n+1 sin1n + 1 sin n2 x12x2 x sin 2 x= + cosx== + Re ei 2 xxx =x2sin 222sin 22 sin 2=nn+1nnn+1nsin( n+1sin( n+1sin(n + 12 )x2 x − 2 x) + 2 cos 2 x sin 2 x2 x) cos 2 x + cos 2 x sin 2 x==.2 sin x22 sin x22 sin x2182Ряды и интегралы ФурьеПолучим:·µ¶µ¶ξ1 1ξ 13ξξ15ξ3ξDn (ξ) sin =sin +sin− sin+sin− sin+ ...2 π 22 222222µ¶¸11111...
+sin(n + )ξ − sin(n − )ξ=sin(n + )ξ.2222π2Таким образом:1 sin(n + 12 )ξDn (ξ) =.2πsin 2ξ1При ξ → 0 это выражение имеет предел Dn (0) := (n + 12 ).πОтсюда11Sn+ (x) − f (x + 0) =2π1=πZπ ½0Zπ[f (x + ξ) − f (x + 0)]0f (x + ξ) − f (x + 0)ξ/2·ξsin ξ/2¾sin(n + 12 )ξ2 sin 2ξdξ =1sin(n + )ξ dξ =: J(x, n).2Функция, стоящая в фигурных скобках, является кусочно-гладкой при0 < ξ 6 π и имеет предел, равный f 0 (x + 0) при ξ → +0. Следовательно,эта функция кусочно-непрерывна на сегменте [0, π]. Отсюда по лемме 7.4следует, что J(x, n) → 0, ∀x ∈ [−π, π] при n → ∞.В точности так же доказывается, что Sn− (x) → 12 f (x − 0) при n → ∞.Тем самым, первое утверждение теоремы доказано.
В частности, еслиx — точка непрерывности функции f (x), то f (x + 0) = f (x − 0) = f (x)и S(x) := limn→∞ Sn (x) = f (x).С учетом периодичности функций f (x) и S(x) из первого утверждения теоремы мы получаем:S(−π) = S(π) =11(f (π + 0) + f (π − 0)) = (f (−π + 0) + f (π − 0)) ,22что доказывает утверждение 2 и всю теорему.Мы доказали, что для сходимости ряда Фурье функции f (x) в каждойточке сегмента [−π, π] достаточно кусочной гладкости данной функции.Это условие не является необходимым и может быть ослаблено, что требует (в который уже раз) знания интеграла Лебега. Однако одной лишьнепрерывности функции f (x) не достаточно для сходимости ряда ФурьеПоточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье183в каждой точке сегмента [−π, π] и существуют непрерывные на сегменте [−π, π] функции, ряд Фурье которых расходится на всюду плотномподмножестве сегмента [−π, π].5Для рядов Фурье имеет место принцип локализации, который утверждает, что сходимость ряда Фурье кусочно-непрерывной функции f (x)в произвольной точке x0 зависит исключительно от поведения функцииf (x) в сколь угодно малой окрестности точки x0 , несмотря на то что коэффициенты ряда Фурье выражаются через интеграл по всему сегменту[−π, π].
Действительно, из доказательства теоремы 7.1 следует, что ∀δ:0 < δ < π имеем:1Sn (x) =2π1=2π1=2π1+2πZπ0Zδ0ZπδZπ−πsin(n + 12 )ξsin 2ξf (x + ξ)dξ =·¸f (x + ξ) + f (x − ξ)1sin (n + )ξ dξ =2sin 2ξ·¸f (x + ξ) + f (x − ξ)1sin (n + )ξ dξ+2sin 2ξ·¸f (x + ξ) + f (x − ξ)1sin (n + )ξ dξ.2sin 2ξТеперь достаточно заметить, что в силу леммы 7.4 последнее слагаемоепри n → ∞ стремится к нулю.6В условиях теоремы 7.1 тригонометрический ряд Фурье сходится кпериодическому продолжению на R функции f (x), определенной первоначально на [−π, π].Если функция f (x) имеет точки разрыва на сегменте [−π, π], а также, если f (x) непрерывна на [−π, π], но f (−π) 6= f (π), то ряд Фурьефункции f (x) сходится на [−π, π] неравномерно (в силу непрерывностиравномерного предела последовательности непрерывных функций).5Ряд крупных математиков 19 века (Дирихле, Риман, Вейерштрасс и Дедекинд) полагали, чторяд Фурье непрерывной функции обязательно сходится к ней во всех точках.
Однако, немецкийматематик Paul du Bois-Reymond в 1876 г. показал, что существуют непрерывные функции, рядФурье которых расходится в одной точке. Неконструктивное доказательство существования такихфункций имеется и в книге А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука, 1989, с. 473.6Заметим также, что из теоремы Фейера и принципа локализации следует, что если ряд Фурьенепрерывной на каком-либо интервале функции сходится, то именно к данной функции.184Ряды и интегралы ФурьеЕсли f (x) — нечетная функция на [−π, π], то ее разложение в рядФурье содержит только синусы, а если четная, то только косинусы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
