Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Действуя так идалее, мы получаем аналитическое продолжение Γ-функции во всюкомплексную область.При этом полюс Γ-функции в точке p = 0 порождает полюсапервого порядка Γ-функции во всех целых отрицательных точкахp = −n, n ∈ N с вычетами, равными (−1)n /n!. Действительно, еслиcnΓ(p − n)cnΓ(p−n) ∼ , p → 0, то Γ(p−(n+1)) =∼∼pp − n − 1 p(p − n − 1)cn, p → 0. Очевидно, что других полюсов у Γ-функции нет.−(n + 1)p6. Значение Γ( 12 ). Пользуясь значением интеграла Пуассона, полученным в конце предыдущей главы, получаем:Z ∞Z ∞√√11 −x√ e dx = 2e−x d x = π.Γ( ) =2x00С помощью полученной формулы и формулы приведения нетруднополучить значения Γ-функции во всех полуцелых точках.7.
Формула дополнения. Можно доказать формулуπΓ(p)Γ(1 − p) =,p∈/ Z.sin pπ6.5.2(6.12)Свойства B-функции1. Область определения. Представим интеграл (6.10) в видеZ1/2Z1B(p, q) = xp−1 (1−x)q−1 dx+ xp−1 (1−x)q−1 dx =: B1 (p, q)+B2 (p, q).01/2Интеграл B1 (p, q) является несобственным второго рода при p < 1и он сходится при p > 0. Аналогично, интеграл B2 (p, q) является162Эйлеровы интегралынесобственным второго рода при q < 1 и он сходится при q > 0.Таким образом, формула (6.10) определяет B-функцию при p > 0,q > 0.2. Симметрия. Докажем, что B(p, q) = B(q, p).
Для этого сделаемзамену переменных: x = 1 − t, dx = −dt. ТогдаZ1Z0B(p, q) = xp−1 (1 − x)q−1 dx = − (1 − t)p−1 tq−1 dt =01Z1tq−1 (1 − t)p−1 dt = B(q, p).=03. Связь с Γ-функцией. Можно доказать,7 чтоΓ(p)Γ(q)B(p, q) =.(6.13)Γ(p + q)Из этой формулы следует возможность аналитического продолжения функции B(p, q) в область комплексных значений переменныхp, q и, в частности, то, что при p, q 6= 0, −1, −2, −3, . .
. функцияB(p, q) имеет производные всех порядков.4. Альтернативное интегральное представление B-функции.1dtДелая в (6.10) замену переменных x =, dx = −, 1−x =1+t(1 + t)2R∞ q−1t, получаем B(p, q) = t (1 + t)−p−q dt, а в силу симметрии1+t0B-функции, эту формулу можно переписать в видеZ∞B(p, q) = xp−1 (1 + x)−p−q dx.(6.14)05. Примеры вычисления определенных и несобственных интегралов с помощью эйлеровых интегралов.Пример 6.5.Z+∞Z+∞√(6.14)4x(1 + x)−2 dx =x5/4−1 (1 + x)−5/4−3/4 dx =070см., Будак Б.М., Фомин С.В.
Кратные интегралы и ряды. Изд. 3-е, М. Физматлит, 2002, с.392–393.Кратные интегралы, зависящие от параметров163√53Γ()Γ()1π2π(6.12)44= B( 54 , 34 ) == 14 Γ( 14 )Γ( 43 ) =.π =Γ(2)4 sin 44(6.14)(6.13)Пример 6.6.Zπ2I=sinp−1 x cosq−1 x dx0Очевидно, что этот несобственный интеграл второго рода схо√дится при p > 0, q > 0.√Сделаем замену переменных: sin x = t,√ и0 6 t 6 1. Тогда cos x = 1 − t, cos x dx = 2dtt1I=2Z1tp2 −1(1 − t)q2 −10pq1 p q (6.13) 1 Γ( 2 )Γ( 2 )dx = B( 2 , 2 ) =.22 Γ( p+q)2Пусть p = 3, q = 3. ТогдаπZ206.61 Γ2 ( 32 ) 122sin x cos x dx ==2 Γ(3)2¡1¢1 21Γ()π224π== .2416Кратные несобственные интегралы, зависящиеот параметровМы ограничимся рассмотрением тройных интегралов видаZZZu(M ) =f (M, P )g(P ) dVP ,(6.15)Gгде G ⊂ E3 — ограниченная кубируемая область, M ∈ E3 , dVP — элементобъема в точке P ∈ G, g(P ) = g(x, y, z) — ограниченная, интегрируемаяв области G функция, а функция f (M, P ) непрерывна при M 6= P инеограничена как функция от P в произвольной окрестности точки M .Здесь роль параметров играют координаты x0 , y0 , z0 точки M .Важным примером таких интегралов является потенциал гравитационного поля, создаваемого в точке M телом G с плотностью массыg(P ) = ρ(P ).
Этот потенциал (он называется также объемным или ньютоновским потенциалом) имеет вид:ZZZρ(P )u(M ) =dVP ,(6.16)rM PG164Кратные несобственные интегралы, зависящие от параметровгде rM P — расстояние между точками M и P .При M ∈/ G интеграл (6.16) является собственным, зависящим отпараметров, дифференцируемым под знаком интеграла по координатамточки M любое число раз. При этом, поскольку 4 rM1 P = 0, M 6= P , гдеоператор 4 действует на координаты точки M (x0 , y0 , z0 ), то 4u(M ) = 0,M∈/ G.Если же M ∈ G, то интеграл (6.16) является несобственным, зависящим от параметров, и вопрос о его непрерывности и дифференцируемости является более сложным. Для его решения введем новые понятия идокажем некоторые утверждения.Определение 6.4.
Несобственный интеграл (6.15) называется сходящимся равномерно относительно M в точке M0 ∈ G, если ∀ε > 0δδ∃δ > 0 такое, что BM⊂ G, где BM— шар радиуса δ с центром в00δδточке M0 , и ∀ кубируемой области ω ⊂ BMи ∀M ∈ BMвыполняется00неравенство¯¯¯Z Z Z¯¯¯¯¯f(M,P)g(P)dVP ¯ < ε.¯¯¯ωТеорема 6.11. Если несобственный интеграл (6.15) сходится равномерно относительно M в точке M0 , то функция u(M ) непрерывна вточке M0 .Доказательство. По определению непрерывности нужно доказать, что∀ε > 0 ∃δ > 0 такое, что |u(M ) − u(M0 )| < ε при rM M0 < δ.
Представимфункцию u в следующем виде:ZZZZZZu(M ) =f (M, P )g(P ) dVP +f (M, P )g(P ) dVP =: u1 (M )+u2 (M ).δBM10δG\BM10Зададим произвольное ε > 0. Так как функция u(M ) сходится равномерδ1но относительно M в точке M0 , то ∃δ1 такое, что ∀M ∈ BMвыполняется0неравенствоεε(6.17)|u1 (M )| < , в частности |u1 (M0 )| < .33Интеграл u2 (M ) является собственным для M , близких к M0 , поэтому∃δ > 0 такое, что|u2 (M ) − u2 (M0 )| <ε3при rM M0 < δ.(6.18)Кратные интегралы, зависящие от параметров165Уменьшим, если нужно, δ до значения, меньшего δ1 .
Неравенствоδ1(6.18) тем более будет выполнено. Тогда, если rM M0 < δ, то M ∈ BM, и,0следовательно, выполняются неравенства (6.17).Итак, если rM M0 < δ, то из (6.17) и (6.18) получим:|u(M ) − u(M0 )| = |u1 (M ) + u2 (M ) − u1 (M0 ) − u2 (M0 )| 6ε ε ε6 |u1 (M )| + |u1 (M0 )| + |u2 (M ) − u2 (M0 )| < + + = ε.3 3 3Теорема 6.12 (достаточное условие равномерной сходимости в точке).cЕсли |f (M, P )| 6 α , где 0 < α < 3, c = const > 0, то несобственrM Pный интеграл (6.15) сходится равномерно относительно M в любойвнутренней точке M0 ∈ G.Доказательство. Пусть M0 ∈ G и |g(P )| 6 A = const.
Требуется доδδказать, что ∀ε > 0 ∃δ > 0 такое, что ∀ области ω ⊂ BMи ∀M ∈ BM00выполняется неравенство¯¯¯Z Z Z¯¯¯¯¯f(M,P)g(P)dV(6.19)P ¯ < ε.¯¯¯ωПоскольку |f (M, P )| 6cαrMP, то¯¯¯Z Z Z¯ZZZZZZ¯¯dVPdVP¯¯ 6 cA6cA6f(M,P)g(P)dVPαα¯¯rr¯¯MPMPδωωBM0ZZZdVP6 cA=: cAI,αrMP2δBMδ2δпоскольку BM⊂ BM.0В интеграле I перейдем к сферическим координатам с центром в точкеM:ZπZ2πZ2δ 2Z2δr4π2−αI = sin θ dθdϕdr=4πrdr=(2δ)3−α .αr3−α0000Поскольку (2δ)3−α → 0 при δ → 0, то cAI < ε при достаточно маломδ.
Это означает выполнение неравенства (6.19) при том же δ ∀ областиδδω ⊂ BMи ∀M ∈ BM.00166Кратные несобственные интегралы, зависящие от параметровСледствие 6.3. Для m-кратных несобственных интегралов того жевида (6.15) достаточным условием равномерной сходимости в точкеM0 ∈ G является неравенствоc|f (M, P )| 6 α , где 0 < α < m, c = const > 0.rM PОставшаяся часть данного параграфа посвящена вычислению первыхи вторых производных ньютоновского потенциала.Первые производные ньютоновского потенциалаПрименим полученные теоремы к ньютонову потенциалу (6.16) с ограниченной плотностью ρ(M ) такой, что |ρ(M )| 6 C = const. Докажем,что первые производные этого потенциала u(M ) можно вычислять дифференцированием под знаком интеграла и при M ∈ G.В соответствии с определением производной нужно доказать, чтоZZZu(x0 + ∆x, y0 , z0 ) − u(x0 , y0 , z0 )ρ(P )(x − x0 )lim= X(M ) :=dVP ,3∆x→0∆xrMPGт.е.
что ∀ε > 0 ∃δ > 0 такое, что если 0 < |∆x| < δ, то¯¯¯ u(M1 ) − u(M )¯¯¯ < ε,−X(M)¯¯∆x(6.20)где M1 = M1 (x0 + ∆x, y0 , z0 ).δ1Разобьем область G в формулах для функций u и X на шар BMи егоδ1дополнение G\BM для некоторого δ1 > 0, которое выберем ниже. Пустьu = u1 + u2 и X = X1 + X2 — соответствующие разбиения функций u иX на сумму двух слагаемых. Тогда¯ ¯¯¯¯ ¯ u1 (M1 ) − u1 (M ) ¯¯ u(M1 ) − u(M )¯ + |X1 (M )| +¯− X(M )¯¯ 6 ¯¯¯¯∆x∆x¯¯(6.21)¯¯ u2 (M1 ) − u2 (M )− X2 (M )¯¯ .+ ¯¯∆xЗададим произвольное ε >¯ 0. Подынтегральнаяфункция в выражении¯¯ ρ(P )(x − x0 ) ¯¯ 6 C , поэтому по теоремедля X(M ) имеет оценку: ¯¯32¯rM PrMP6.12 несобственный интеграл в определении функции X(M ) сходитсяравномерно в любой точке M ∈ G. Следовательно, ∃δ1 > 0 такое, что|X1 (M )| < 3ε .Кратные интегралы, зависящие от параметров167¯¯¯ u1 (M1 ) − u1 (M ) ¯¯.
ДействительПолучим аналогичную оценку и для ¯¯¯∆xно,¶ZZZ µu1 (M1 ) − u1 (M )1ρ(P ) ρ(P )=−dVP =∆x∆xrM1 PrM PδZZZ=δBM1rM P − rM1 P ρ(P )dVP .∆xrM1 P rM PBM1¯¯¯ rM P − rM1 P ¯1¯ 6 1. Кроме того:По неравенству треугольника ¯¯6¯∆xrrMPMP1µ¶111+ 2, |ρ(P )| 6 C. По теореме 6.12 несобственный интеграл22 rMrMP1PRRR 1dVP сходится равномерно в любой точке M ∈ G. Следователь2rGMPно, при достаточно малом δ1 > 0 выполняется неравенствоZZZCεδ1dVP < , ∀M 0 ∈ BM.22rM 0 P6δBM1Поэтому при |∆x| < δ1 справедлива оценка¯¯¶ZZZ µ¯ u1 (M1 ) − u1 (M ) ¯ C11ε εε¯¯6+dV<+=.P22¯¯∆x2rMrM6 6 3P1PδBM1Наконец, u2 (M 0 ) =δ1BM,RRR ρ(P )dVP — собственный интеграл ∀M 0 ∈0rδ1MPG\BMпод знаком интеграла иhпоэтому его можно дифференцироватьi)−u2 (M )lim u2 (M1∆x− X2 (M ) = 0, и, следовательно, ∃δ2 > 0 такое, что∆x→0¯¯¯ u2 (M1 )−u2 (M )¯ εпри |∆x| < δ2 выполняется неравенство: ¯−X(M)¯ < 3.2∆xПоложим δ = min{δ1 , δ2 }.8 Тогда, если |∆x| < δ, то каждое слагаемоев правой части (6.21) по модулю меньше, чем 3ε , и поэтому справедливо(6.20), что и доказывает возможность вычисления первых производныхньютоновского потенциала под знаком интеграла.8При этом мы не меняем δ1 в интегралах выше.168Кратные несобственные интегралы, зависящие от параметровВторые производные ньютоновского потенциалаВторые производные ньютоновского потенциала уже нельзя вычислятьдифференцированием под знаком интеграла, однако имеет место следующая теорема.Теорема 6.13.
Пусть функция плотности ρ(M ) имеет в области Gнепрерывные частные производные первого порядка. Тогда ньютоновский потенциал (6.16) имеет во внутренних точках области G непрерывные частные производные второго порядка и удовлетворяет в Gуравнению Пуассонаµ 2¶¯∂ u ∂ 2 u ∂ 2 u ¯¯= −4πρ(M ).∆u(M ) =++∂x20 ∂y02 ∂z02 ¯MδДоказательство. Как и ранее, разобьем область G на две части: BMδи G\BMи будем считать, что P = P (x, y, z). Зафиксируем точкуM (x0 , y0 , z0 ) ∈ G, а в качестве переменной точки будем рассматриватьδточку M 0 = M 0 (x1 , y1 , z1 ) ∈ BM. ТогдаZZZZZZρ(P )ρ(P )0dVP +dVP =: u1 (M 0 ) + u2 (M 0 ).u(M ) =rM 0 PrM 0 PδBMδG\BMВыше было доказано, что∂u∂u1∂u2(M 0 ) =(M 0 ) +(M 0 ) =∂x1∂x1∂x1ZZZδBMZZZ+δG\BM∂ρ(P )∂x1µ∂ρ(P )∂x11¶rM 0 Pµ1rM 0 PdVP +¶(6.22)dVP .δВвиду M 0 ∈ BM, второе слагаемое в правой части (6.22) является собственным интегралом и его частные производные любого порядка можновычислять дифференцированием под знаком интеграла, и, в частности,µ 2¶¯∂ u2 ∂ 2 u2 ∂ 2 u2 ¯¯++= 0.∂x21∂y12∂z12 ¯M 0Рассмотрим первое слагаемое в правой части (6.22).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
