Щепетилов А.В. Лекции по математическому анализу (1111765), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Без ограничения общности, будем считать, что сходится второй интеграл из (6.5). Тогда, в силу двукратного примененияпризнака сравнения, второй из интегралов из (6.6) также сходиться.Остается доказать только равенствоZ A Z +∞Z +∞ Z +∞limf (x, y) dy dx =f (x, y) dx dy.(6.7)A→+∞accaВ силу равномерной сходимости первого из интегралов 6.4 на конечныхотрезках и теоремы 6.8 при ∀d > c получаем¯¯Z +∞ Z +∞Z A Z +∞¯¯¯=¯f(x,y)dxdy−f(x,y)dydx¯¯caac¯Z¯ZZZ+∞A¯ +∞ +∞¯= ¯¯f (x, y) dx dy −f (x, y) dx dy ¯¯ =caca¯Z +∞ Z +∞¯¯¯= ¯¯f (x, y) dx dy ¯¯ =cA¯Z d Z +∞¯Z +∞ Z +∞¯¯= ¯¯f (x, y) dx dy +f (x, y) dx dy ¯¯ 6¯Zc d ZA +∞¯ Zd +∞ ZA +∞¯¯6 ¯¯f (x, y) dx dy ¯¯ +|f (x, y)| dx dy.cAda154О непрерывности, интегрировании и дифференцировании по параметру н.и.В силу сходимости второго интеграла из (6.5), ∀ε > 0 ∃d > c такое, чтовыполнено неравенствоZ +∞ Z +∞ε|f (x, y)| dx dy < .2daЗафиксировавтакое d, в силу равномерной сходимости интегралаR +∞f (x, y) dx на отрезке [c, d], можно выбрать столь большое A1 (ε), чтоAвыполнено неравенство¯Z d Z +∞¯¯¯¯¯ < ε/2, ∀A > A1 .f(x,y)dxdy¯¯cAОтсюда получаем требуемую оценку¯Z +∞ Z +∞¯Z A Z +∞¯¯¯¯ < ε, ∀A > A1 ,f(x,y)dxdy−f(x,y)dydx¯¯caacэквивалентную равенству (6.7).Теорема 6.10 (о дифференцировании несобственного интеграла по параметру).
Пусть:1. функции f (x, y) и∂f (x, y)непрерывны в полуполосе Π;∂y2. несобственный интеграл F(y) :=R∞f (x, y) dx сходится ∀y ∈ [c, d];aR∞ ∂f (x, y)3. несобственный интегралdx сходится равномерно по y ∈∂ya[c, d].Тогда функция F(y) дифференцируема на [c, d] и справедливо равенствоdF 0 (y) =dyZ∞Z∞f (x, y) dx =aa∂f (x, y)dx.∂yВ таком случае говорят, что несобственный интеграл можно дифференцировать по параметру под знаком интеграла.Доказательство.
Рассмотримфункциональную последовательность {Fn (y)} :=a+nRaf (x, y) dx. В силуО непрерывности, интегрировании и дифференцировании по параметру н.и.155второго условия доказываемой теоремы {Fn (y)} → F (y), y ∈ [c, d]. Поa+nR ∂f (x,y)теореме 6.3 при y ∈ [c, d] ∃ Fn0 (y) =dx, а в силу третьего усло∂ya∞[c,d] Rвия доказываемой теоремы, Fn0 (y) ⇒a∂f (x,y)∂ydx. Отсюда по теореме4.10 о дифференцируемости предела функциональной последовательности следует, что функция F(y) дифференцируема на [c, d] и имеет месторавенство F 0 (y) = lim Fn0 (y), т.е.n→∞ddyZ∞Z∞f (x, y) dx =aa∂f (x, y)dx.∂yО несобственных интегралах второго рода, зависящих от параметраПустьфункцияf (x, y)определенанамножестве Π1 := {(x, y)| a < x 6 b, c 6 y 6 d}.
При этом ∀y ∈ [c, d] она, какфункция аргумента x, неограничена в окрестности точки a и интегрируема на любом отрезке [a + δ, b], ∀δ, 0 < δ < b − a. Таким образом,Rbинтеграл f (x, y) dx, ∀y ∈ [c, d] является несобственным интеграломaвторого рода, зависящим от параметра y.Определение 6.3. Несобственный интеграл второго родаRbf (x, y)dx,aзависящий от параметра y, называется сходящимся равномерно по параметру y ∈ [c, d], если он сходится ∀y ∈ [c, d] и если ∀ε > 0 ∃δ > 0такое, что ∀δ 0 ∈ (0, δ) и ∀y ∈ [c, d] выполняется неравенство¯ a+δ0¯¯Z¯¯¯¯¯ < ε.f(x,y)dx¯¯¯¯aВсе доказанные факты о несобственных интегралах первого рода, зависящих от параметра, имеют аналоги и для несобственных интеграловвторого рода, зависящих от параметра.1566.4Вычисление несобственных интеграловВычисление несобственных интегралов с помощью дифференцирования по параметруРассмотрим следующую задачу: вычислить несобственный интегралR ∞ sin xdx (при x = 0 считаем подынтегральную функцию тождествен0xно равной 1).
Мы знаем, что этот интеграл сходится условно, но чему онравен?Для ответа на этот вопрос рассмотрим несобственный интегралZ∞sin xF(y) := e−yxdx, y > 0,(6.8)x0который при одном из значений параметра y (y = 0) переходит в искомый интеграл3 , докажем, что функция F(y) непрерывна при y > 0 и при1y > 0 ∃ F 0 (y) = −. Отсюда уже легко найти F(y) и, в частности,1 + y2F(0).Представим функцию F(y) в виде:Z1F(y) :=0sin xe−yxdx +xZ∞e−yx1sin xdx.xПервое слагаемое является собственным интегралом, непрерывно зависящим от параметра y.
Ко второму слагаемому применим признак Дирихлеравномерной сходимости при y > 0. Действительно,1. f (x, y) = sin x — непрерывная функция, которая имеет ограниченную первообразную по x;e−xye−xy1↓ 0 при x → ∞, причем ввиду оценки6 ,2. g(x, y) =xxxy > 0 это стремление равномерно при y > 0;3. при x > 1, y > 0 ∃ непрерывная производная∂g(x, y).∂xЗначит, несобственный интегралZ∞sin xe−yxdxx13Прием введения параметра часто используется для вычисления значений несобственных интегралов и числовых рядов.Вычисление несобственных интегралов157сходится равномерно при y > 0, и по теореме 6.7 функция F(y) непрерывна при y > 0.Рассмотрим произвольный сегмент [y0 , y1 ], 0 < y0 < y1 вещественной оси и проверим, что на нем выполняются условия теоремы 6.10 дляsin xинтеграла (6.8).
Действительно, если f (x, y) = e−yx, тоx∂f1.= −e−xy sin x — непрерывная функция при x > 0, y0 6 y 6 y1 ;∂y2. интеграл (6.8) сходится при y0 6 y 6 y1 ;R∞ ∂f3. интегралdx сходится равномерно при y0 6 y 6 y1 по при0 ∂yR∞ −xy1−xy−xy0знаку Вейерштрасса: |esin x| 6 e, а интеграл e 0 dx =y00сходится.Тем самым, по теореме 6.10 интеграл (6.8) — дифференцируемаяфункция от y на [y0 , y1 ], а ввиду произвольности y0 , y1 — и на (0, +∞),R∞ −xy0причем F (y) = − esin x dx.0Вычислим последний интеграл:Z∞F 0 (y) = −Z∞e−xy sin x dx = − Im00= − Im¯x=∞¯1e−xy+ix dx = Ime(−y+i)x ¯¯=y−ix=0y+i1=−, y > 0.y2 + 1y2 + 1Отсюда F(y) = − arctg y + c, y > 0, ввиду непрерывности функции F(y)при y > 0.Для нахождения c устремим y → +∞. ТогдаZ∞|F(y)| 60¯¯Z∞¯¯sinx¯ dx 6 e−xy dx = 1 ,e−xy ¯¯x ¯y0откуда F(+∞) = 0. Значит, c =Z∞0πи2sin xπdx = F(0) = .x2158Вычисление несобственных интеграловR∞ sin αxРассмотрим теперь интеграл I(α) :=dx.
Очевидно, чтоx0R∞ sin αxR∞ sin tπI(0) = 0, а при α > 0 имеем: I(α) =d(αx) =dt = . В тоαxt200πже время, ввиду нечетности функции I(α), мы получаем, что I(α) = −2при α < 0. Итак,π, α > 0,2π= sign(α).I(α) = 0, α = 0,2− π , α < 024Функция I(α) называется разрывным множителем Дирихле.R∞ sin αx sin βxПример 6.4. Интеграл I(α, β) :=dx равномерно схоxx0дится на бесконечности при α ∈ R и при β ∈ R по признаку Вейерштрасса, следовательно I(α, β) — непрерывная функция при (α, β) ∈R2 .
Далее, интегралZ∞0∂ sin αx sin βxdx =∂α xxZ∞0+cos αx sin βx1dx =x2Z∞120Z∞0sin(α + β)xdx+xsin(β − α)xdxxсходится равномерно по признаку Дирихле при |α + β| > δ > 0, |α −β| > δ > 0 ⇒ Iα (α, β) = π4 (sign(α + β) + sign(β − α)), α + β 6= 0,α − β 6= 0 ⇒ (ввиду I(α, β) = I(β, α)) I(α, β) = π4 (|α + β| − |α − β|), вR∞ ¡ sin x ¢2dx = π2 .частности, I(1, 1) =x0Пусть G(α) :=R∞ ¡ sin αx ¢30Z∞ µG0 (α) = 304xsin αxxdx, тогда¶23cos αx dx =2Z∞0sin(2αx) sin αxdx =x2Его не следует путать с интегральными синусами Si(x) :=Si(x) −π.2Rx sin tRx sin tdt и si(x) =dt =tt∞0Эйлеровы интегралы15933π33π 2(|3α| − |α|) = π|α| ⇒ G(α) =α sign(α).= I(2α, α) =22448µ¶R∞ sin x 33πВ частности, G(1) =dx =.x806.5Эйлеровы интегралыВажные в математике или ее приложениях неэлементарные функцииназываются специальными.5 Примерами таких функций являются ΓфункцияZ∞Γ(p) := xp−1 e−x dx(6.9)0и B-функцияZ1xp−1 (1 − x)q−1 dx.B(p, q) =(6.10)06.5.1Свойства Γ-функции1.
Область определения. Представим интеграл (6.9) в видеZ1Z∞xp−1 e−x dx +Γ(p) =0xp−1 e−x dx =: Γ2 (p) + Γ1 (p),1где Γi (p), i = 1, 2 — несобственные интегралы первого и второго рода, соответственно. Из признака сравнения для несобственных интегралов сразу следует, что интеграл, определяющий функцию Γ1 (p),сходится ∀p, а интеграл, определяющий функцию Γ2 (p), сходитсяпри p > 0.6Таким образом, формула (6.9) определяет Γ-функцию при p > 0.При этом подынтегральное выражение положительно ∀p > 0, ∀x >0, поэтому при p > 0 у Γ-функции нет нулей.5Им посвящены различные руководства и справочники, например «Справочник по специальнымфункций», под ред. М.
Абрамовица, И. Стиган, М.: Наука, 1979.6Если рассматривать эти интегралыпри комплексных p = p0 + ip00 , то из того же признака¯ p−1 ¯ ¯¯ p0 −1 ip00 ln x ¯¯0сравнения и того, что ¯x ¯ = ¯xe¯ = xp −1 следует, что они сходятся при Re p > 0.160Эйлеровы интегралы2. Непрерывность. Рассмотрим сегмент p ∈ [p1 , p2 ] при произвольных p2 > p1 > 0. Поскольку xp−1 e−x 6 xp2 −1 e−x и интеR∞ p −1 −xграл x 2 e dx сходится, то по признаку Вейершрасса интегралR∞1xp−1 e−x dx сходится равномерно по параметру p ∈ [p1 , p2 ], и сле-1довательно, функция Γ1 (p) непрерывна на [p1 , p2 ], а ввиду произвольности p2 > p1 > 0 — и на (0, +∞).
Аналогично доказываетсянепрерывность функции Γ2 (p).Таким образом, Γ-функция непрерывна при p > 0.R1 ∂ p−1 −xx e dx =3. Дифференцируемость. Аналогично, интегралы0 ∂pR1 p−1 −xR∞ ∂ p−1 −xR∞x e ln x dx иx e dx = xp−1 e−x ln x dx сходятся рав01 ∂p1номерно по параметру p ∈ [p1 , p2 ] при произвольных p2 > p1 > 0, азначит,Z∞∃ Γ0 (p) = xp−1 e−x ln x dx, 0 < p < ∞.0По индукции легко доказать, чтоZ∞∃ Γ(n) (p) = xp−1 e−x lnn x dx, 0 < p < ∞, n ∈ N.04.
Рекуррентная формула. При Re p > 0 при помощи интегрирования по частям получаем рекуррентное соотношение:Z∞Z∞¯x=+∞Γ(p + 1) = xp e−x dx = −xp e−x ¯x=0 + pxp−1 e−x dx = pΓ(p).00Пользуясь этой формулой рекуррентно при p > n − 1, получаемΓ(p + 1) = pΓ(p) = p(p − 1)Γ(p − 1) = . . .. . . = p(p − 1) . . . (p − n + 1)Γ(p − n + 1),(6.11)что дает возможность свести вычисление функции Γ(p) к ее выв полуполосе 0 < Re p 6 1. Учитывая, что Γ(1) =Rчислению∞ −xdx = 1, получаем из (6.11) при p = n формулу Γ(n + 1) = n!.0 eТаким образом, Γ-функция обобщает функцию факториал на нецелые положительные значения.Эйлеровы интегралы1615.
Продолжение Γ-функции во всю комплексную плоскость. Сдругой стороны, рекуррентная формула в виде Γ(p) = Γ(p+1)можетpбыть использована для аналитического продолжения Γ-функции вобласть Re p 6 0. Действительно, если Re p > −1, то Re(p + 1) > 0 ипо формуле Γ(p) = Γ(p+1)мы аналитически продолжаем Γ-функциюpв полосу −1 < Re p 6 0. При этом точка p = 0 для продолженнойфункции будет полюсом первого порядка с вычетом, равным Γ(1) =1. Вторично применяя эту формулу, мы получаем аналитическоепродолжение Γ-функции в полосу −2 < Re p 6 −1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
