В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1109741), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

1 из 3)Билет 13. Приложения интеграла: длина дуги кривой, площадьповерхности вращения13.1. Длина дуги кривойПусть незамкнутая, не имеющая точек самопересечения кривая задана параметрическимуравнением x  x  t  , y  y  t  , T0  t  T1 , причем x  t  , y  t  , x  t  , y  t  непрерывны наT0 ; T1  .Пусть M i имеет координаты x  t1  , y  t1  .t0  T0  t1  t2  ...  tm  T1 .Рассмотримломаные линии, соединяющие выбранныевышеуказанным способом точки.Определение 13.1. Если существует пределдлины ломаной при стремлении к 0максимальной длины звена ломаной, то этотпредел называется длиной дуги кривой (а кривая называется спрямляемой или имеющейдлину).Теорема13.1.

При сформулированных выше условиях (т. е. если кривая незамкнутаяи без точек самопересечения, причем ее параметризация x  x(t ), y  y (t ) задаетсянепрерывно дифференцируемыми функциями от t ) кривая имеет длинуT1l( x' (t )) 2  ( y ' (t )) 2 dt .T0►Доказательство. Рассмотрим вписанную ломаную и соответствующие ей точкиn 1деления отрезка [T0 ; T1 ] . Длина ломаной равна( x(t i 1 )  x (t i )) 2  ( y (t i 1 )  y (t i )) 2 (подi 0знаком суммы стоит длина i -ого звена).Применим к каждой из разностей x  ti 1   x  ti  и y (t i 1 )  y (t i ) теорему Лагранжа,согласнокоторойx(t i 1 )  x (t i )  x ' ( i )t i ,y (t i 1 )  y (t i )  y ' ( i )t i , где точки  i и  iлежат на интервале (t i , t i 1 ) .

Поэтому длинавышеупомянутойломанойестьn 1( x' ( i )) 2  ( y ' ( i )) 2 t i   .(1)i 0Эта величина напоминает соответствующуюинтегральную суммуМатематический анализI курс II семестрБилет 13. Приложения инте грала: длина ду ги к ривой,площ адь пове рх нос ти вращ е ния (стр. 2 из 3)n 1( x' ( i )) 2  ( y ' ( i )) 2 t i  (2)i 0(различие только в том, что в (1) стоят точки  i ,  i , в (2) – только  i ).Требуется доказать, что при стремлении к 0 максимальной длины звена ломаной линииразность величин  и  стремится к 0.Можно доказать (но мы это оставим без строгого доказательства), что стремление к 0максимальной длины звена ломаной эквивалентно стремлению к 0 диаметровсоответствующих разбиений отрезка [T0 , T1 ] .    0 .

Для этого заметим, чтоИтак, будем доказывать, что при d (T )  0n 1  ( x' ( i )) 2  ( y ' ( i )) 2  ( x' ( i )) 2  ( y ' ( i )) 2 t i i 0n 1n 1  ( x' ( i )) 2  ( y ' ( i )) 2  ( x' ( i )) 2  ( y ' ( i )) 2 t i   y ' ( i )  y ' ( i ) .i 0Последнийпереходa 2  b 2  a 2  b12 (3)i022наa 2  b 2  a 2  b12b  b12сделанb 2  b1221a b  a bb  b1  b  b1 , т.

к.основанииэлементарногоb  b1a 2  b 2  a 2  b12a 2  b2  b ,неравенстваb  b1 a 2  b12  b1 .По условию, функция y ' непрерывна на [T0 , T1 ] , следовательно, по теореме Кантора, y 'равномерно непрерывна на [T0 , T1 ] , поэтому   0   0  разбиения [T0 , T1 ] с условиемn 1max t i   y ' ( i )  y ' ( i ) .

Тогда     t i   .bai0 b  aT1Поскольку интегральные суммы стремятся к( x' (t )) 2  ( y ' (t )) 2 dt при max t i  0 ,T0существует предел длины ломаных, причем этот предел равен указанному интегралу.Теорема доказана.◄Следствие 1.

Если кривая задана явным уравнением y  f ( x), x  a, b , то формулаbпринимает вид l   1  ( f ' ( x)) 2 dx .a►Доказательство. Сводим к предыдущему случаю: x  x, y  f ( x) .◄Математический анализI курс II семестрБилет 13. Приложения инте грала: длина ду ги к ривой,площ адь пове рх нос ти вращ е ния (стр. 3 из 3)Следствие 2. Если кривая задана полярным уравнениемr  r ( ),    ,   , тоl   r 2 ( )  (r ' ( )) 2 d .►Доказательство.

Положим x  r ( ) cos  , y  r ( ) sin  . Тогда x'  r ' ( ) cos   r ( ) sin  ,y '  r '( )sin   r ( ) cos  , ( x ' ) 2  ( y ' ) 2  (r ' ( ) cos   r ( ) sin  ) 2  (r ' ( ) sin   r ( ) cos  ) 2  (r ' ( )) 2 cos 2   2r ' ( )r ( ) cos  sin   r 2 ( ) sin 2   (r ' ( )) 2 sin 2   2r ' ( )r ( ) cos  sin   r 2 ( ) cos 2   (r ' ( )) 2  (r ( )) 2 , и можно применитьформулу из доказанной теоремы.◄Примечание. В случае трехмерной кривой x  x(t ), y  y (t ), z  z(t ) , t  T0 ,T1  , где x, y, zT1– непрерывно дифференцируемые функции, l ( x' (t )) 2  ( y ' (t )) 2  ( z' (t )) 2 dt .T013.2.

Площадь поверхности вращения x  x(t ), 0  t  1 - незамкнутая кривая, x, y , x, y  - непрерывные функции.yy(t)Пусть Вращаем кривую вокруг оси Ox . При этом получается поверхность вращения. Не входя вдетали определения площади поверхности в общем случае - это будет сделано в курсе 4-огосеместра, и считая, что площадь поверхности вращения существует и обладает свойством1аддитивности, укажем формулу для ее вычисления: S  2  y  t 2 x  t     y  t   dt .2Действительно, считая поверхность вращения малого участка кривой вокруг оси Ox близкойк части поверхности усеченного конуса с основаниями y  ti  , y  ti 1  и длиной образующей2 x      y   ii2(как и в теореме о длине дуги), получим, чтоy  ti   y  ti 1 22x  i     y   i 1   ti .

Суммируя и переходя к пределу при2ti  0 , получаем требуемое.Si  2Математический анализI курс II семестрБилет 14. Несобственные интегралы и обобщение понятия площади плоской фигуры.1Сходимость интегралов,dxxq(стр. 1 из 2)0Билет 14. Несобственные интегралы и обобщение понятияплощади плоской фигуры. Сходимость интегралов11dx dx,.x p 0 x qbПредположим, что для всехb  [ a,  ) существует F (b)   f ( x)dx .

Если существуетalim F (b)  I , то этот предел называется несобственным интегралом f (x ) от a до   иb  обозначается f ( x)dx(1).aГоворят еще, что интеграл (1) сходится.bАналогично, пусть для всех b  [ a;  ) ,   R существует F (b)   f ( x)dx . Еслиaсуществует lim F (b)  I , то этот предел называется несобственным интеграломb   0f (x ) от a до  и обозначается f ( x)dx(2).aОтметим,чтоеслиf (x )простоинтегрируема на отрезке [ a;  ] , то ввидунепрерывности интеграла с переменным верхнимпределом понятие несобственного интеграласовпадает с обычным интегралом. Но бывает итак, что в обычном смысле интеграл несуществует, а в несобственном – существует.Понятие несобственного интеграла позволяет обобщить понятие площади на случайнеограниченных фигур.Именно, можно считать величину интеграла f ( x)dxплощадью фигуры подaграфиком y  f (x) , если рассматриваемый интеграл сходится.Аналогично, площадь такой фигуры можно выразить интегралом f ( x)dx , если онaсходится.Математический анализI курс II семестрБилет 14.

Несобственные интегралы и обобщение понятия площади плоской фигуры.1Сходимость интегралов,dxxq(стр. 2 из 2)0Выясним, когда сходитсяdxxp, a0(3).a 1 1 px  C, p  1dx 1  pИзвестно, что  p  .x ln x  C , p  1bПоэтому при p  1: limb  dxxabпри b   . При p  1 limb  bap 1 1 p1 1 p 1 1 p lim b a   a , т.к.

b1 p  0b   1  p1p1pdxb lim ln   и при p  1bxa 1 1 p1 1 p  lim b a    , т. к. b1 p   . То есть интеграл (3)b  b   1  p1paсходится при p  1 и расходится при остальных значениях p .limdxxp1Аналогичные рассуждения проведем дляdxxq(4).0При q  0 это – обычный интеграл. При q  0 этот интеграл не может существовать в1собственном смысле, так как q не ограничена в окрестности x  0 . Далее при q  1x , q  111 1dx 1q  dxlim  q  lim , а при q  1 имеем lim  lim  ln     . 0 x 0 1  q  0  01 q   1 x,q 11  qЗначит, интеграл (4) расходится при q  1 .Математический анализI курс II семестрБилет 15. Теоремы о сравнении для несобственных интегралов от неотрицательных функций(стр. 1 из 2)Билет 15.

Теоремы о сравнении для несобственных интегралов отнеотрицательных функцийЧасто бывает важно установить не само значение интеграла, а только сходится он илинет. Для этого используются признаки сходимости. Особенно простой вид они имеютдля неотрицательных функций. Это связано с тем, что для неотрицательной f (x )bинтеграл F (b)   f ( x)dx есть неубывающая функция от b . Поэтому, используя теоремуaВейерштрасса о пределе монотонной ограниченной функции получаем, что сходимостьтакого интеграла равносильна ограниченности всех F (b) , b   в совокупности.

Этосоображение позволяет доказать важные теоремы сравнения.Теорема 15.1. Пусть f1 ( x), f 2 ( x) определены и интегрируемы в обычном смыслена любом [ a; b) , где b   (а  - либо бесконечно удаленная точка, либо   R ). Пустьпри a  a 0   выполняется неравенство 0  f1 ( x)  f 2 ( x) . Тогда если сходитсяf 2 ( x )dx , то сходится и f ( x)dx .1aa►Доказательство.Во-первых,заметим, что f ( x)dxсходимость интегралаaравносильна сходимости интеграла f ( x)dx , поскольку эти величины отличаются лишьa0a0постоянным слагаемым f ( x)dx .abДалее, bb f ( x)dx   f1a02( x )dx , или F1 (b)  F2 (b) .

По доказанному выше, сходимостьa0bf 2 ( x)dx равносильна ограниченности величины F2 (b) a0f2( x )dx . Значит, C : ba0F2 (b)  C . Но тогда и F1 (b)  F2 (b)  C , то есть F1 (b) ограничена и, значит, f ( x)dx1a0сходится.◄Примечание. Эта теорема равносильна такой: при выполнении остальных условийтеоремы, еслиf 1 ( x )dx расходится, то расходится иaf2( x )dx .aДействительно, если быaf 2 ( x )dx сходился, то по теореме 1, сходился бы и f ( x)dx .1aМатематический анализI курс II семестрБилет 15.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)