В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1109741), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы.Интегрирование выражений R  x, mx  x  (стр. 1 из 6)Билет 4. Интегрирование некоторых выражений, содержащихрадикалы. Интегрирование выражений R  x, m4.1.x  x Интегрирование рациональных выраженийВыше мы уже научились интегрировать рациональные дифференциалы.

В дальнейшемосновным приемом интегрирования тех или иных классов дифференциальных выраженийбудет поиск таких подстановок t    x  , которые привели бы подынтегральноевыражение к рациональному виду и дали бы возможность представить интеграл в видефункции от t . Если при этом сама функция   x  , которую надлежит подставить вместо t ,выражается через элементарные функции, то интеграл представится в виде функции от x .Назовем этот прием методом рационального подынтегрального выражения. В качествепервого примера его применения рассмотрим интеграл вида R  x,mx  x (1)R означает рациональную функцию от двух аргументов, m - натуральное число, а ,  ,  ,  - постоянные.Пусть:x  m x  tm  t    x ,t , x   t  . x  x    tmИнтеграл перейдет вm R t , t  ' t dt ;Здесь дифференциал имеет уже рациональный вид, так как R ,  ,  ' - рациональныефункции.

Вычислив этот интеграл по правилу из билета 2, к старой переменной вернемся,подставив t    x  .К интегралу вида (1) сводятся и более общие интегралы  x    r  x    s R  x,  x    ,  x    ,...dx ,где все показатели r , s,... рациональны; стоит лишь привести эти показатели к общемузнаменателю m , чтобы под знаком интеграла получить рациональную функцию x отx  радикала m.x  Математический анализI курс II семестрБилет 4. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы.Интегрирование выражений R  x, mx  x  (стр.

2 из 6)Примеры.x 1  21. dx .( x  1) 2  x  1Здесь дробно-линейная функцияx  свелась просто к линейной функции. Пустьx  t  x  1 , dx  2tdt ; тогда2x 1  2t22t  2 t  122t  1 2 ( x  1) 2  x  1 dx  2 t 3  1 dt    t  1  t 2  t  1 dt  ln t 2  t  1  3 arctg 3  Cгде остается лишь подставить t  x  1 .dx2. x  1x  123Пусть t  33 3x  1 dx.x 1 x 1x 1t3 16t 2 dt, x 3, dx  ; тогдаx 1t 1t 3  12x  1 dx 3dtt 2 1 t 2  t 12t  1 1 3  2dtln 3arctgC,2x 1 x 1t 123t  1 t 1 t  t 1где t  34.2.x 1x 1Интегрирование биноминальных дифференциаловБиноминальным называется дифференциал вида:px m  a  bx n  dx ,где a, b – любые показатели m, n, p – рациональные числа.

Выясним случаи, когдаэти выражения интегрируемы.Один такой случай ясен непосредственно: если p – число целое (положительное, нульили отрицательное), то рассматриваемое выражение относится к типу, изученному впредыдущем пункте. Именно, если через  обозначить наименьшее общее кратноезнаменателей дробей m и n , то мы имеем здесь выражение вида R  x dx , так что для его представления в виде рационального выражения достаточна подстановка t   x .Преобразуем теперь данное выражение подстановкой z  x nМатематический анализI курс II семестрБилет 4. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы.Интегрирование выражений R  x, mmТогда x a  bxn p1pdx  a  bz  znm 11nx  x  (стр. 3 из 6)и, предположив для краткостиm 1 1  q,nбудем иметь:1p(2) a  bz  z q dz.nЕсли q  число целое, то мы приходим к выражению уже изученного типа.Действительно, если обозначить через  знаменатель дроби p , то преобразованное x  a  bx mnpdx выражение имеет вид R z ,  a  bz .

Рационализации подынтегрального выражения можнодостигнуть и сразу – подстановкой:t   a  bz   a  bx n .pНаконец, перепишем  a  bz Легко увидеть, что приp a  bz  p  qz dz в виде   z dz . z qцелом мы также имеем изученный случай:pqa  bz преобразованное выражение имеет вид R z ,. Подынтегральное выражение вz a  bzданном интеграле рационализируется и сразу подстановкой t  ax  n  bzТаким образом, оба интеграла в формуле (2) выражаются в конечном виде, еслиm 1 m 1оказывается целым одно из чисел: p, q, p  q ; или одно из чисел: p,, p.nnЭти случаи интегрируемости были известны ещё Ньютону.

Однако лишь в серединепрошлого столетия П.Л. Чебышев установил замечательный факт, что других случаевинтегрируемости для биноминальных дифференциалов нет.Рассмотрим пример:31111 4 xdx   x 2 (1  x 4 ) 3 dx .x1 12 2, то имеем второй случай14интегрируемости. Заметив, что   3 , положим (по общему правилу)111m 1Здесь m   , n  , p  ; так как243n43t  3 1  4 x , x   t 3  1 , dx  12t 2  t 3  1 dt ;3тогда1 4 x3dx  12  t 6  t 3 dt  t 4 4t 3  7  C и т.д.7xМатематический анализI курс II семестрБилет 4. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы.Интегрирование выражений R  x, mИнтегрирование выражений вида4.3.x  x  (стр.

4 из 6)R x, ax 2  bx  c . ПодстановкиЭйлераПереходим к рассмотрению очень важного класса интегралов  R x, ax 2  bx  c dx.Предполагаем, что квадратный трёхчлен не имеет одинаковых корней, так что кореньиз него может быть заменён рациональным выражением. Мы изучим подстановку,называемую подстановкой Эйлера (L. Euler), с помощью которой можно достигнуть здесьрационализации такого подынтегрального выражения.Подстановка применима в случае, если a  0 . Тогда полагают, что:ax 2  bx  c  t  a x(3)Возведём это равенство в квадрат и приведём подобные слагаемые в обеих частях.t2  cПолучим x .

Подставим x в формулу (3):2 at  bt  2 at  b  a   t 2  c  2 at 2  bt  at 2  cat2  cax  bx  c  t  a 2 at  b2 at  b2 at  b22 at 2  bt  ca2 at  bИ dx  2at  bt  ca2at  b2dtВсё остроумие эйлеровой подстановки именно в том, что для определения xполучается уравнение первой степени , так что x , а одновременно с ним также и радикалax 2  bx  c выражаются рационально через t: t  ax 2  bx  c  a x .4.4.Интегрированиевыражений,содержащихтригонометрическуюипоказательную функции. Интегрирование дифференциалов R  sin x, cos x  dxДифференциалы видаподстановкой t  tgR  sin x, cos x  dxвсегда могут быть рационализированыx   x    . Действительно,2Математический анализI курс II семестрБилет 4.

Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы.Интегрирование выражений R  x, mx1  tg 22t2 sin x , cos x 21t2 x1  tg1  tg 22так что:2tg 2t 1  t 2R sin x, cos x dx  R ,221  t 1  tx  x  (стр. 5 из 6)x22  1  t , x  2arctgt , dx  2dt ,x 1 t21 t22 2dt.21 tТаким образом, интегралы типа Rsin x, cos x dxвсегда берутся в конечном виде; дляих выражения, кроме функций, встречающихся при интегрировании рациональныхдифференциалов, нужны лишь её тригонометрические функции.Упомянутая подстановка, являющаяся универсальной для интеграла определенноготипа, приводит иной раз к сложным выкладкам. Ниже указаны случаи, когда цель можетбыть достигнута с помощью более простых подстановок. Предварительно сделаемследующие элементарные замечания из области алгебры:Если целая или дробная рациональная функция Ru ,  не меняет своего значения приизменении знака одного из аргументов, например, u (т.е.

если R u ,   Ru ,  ), то онаможет быть приведена к виду R  u ,   R1  u 2 ,  , содержащему лишь чётные степени u .Если же, наоборот, при изменении знака u функция Ru ,  также меняет знак (т.е.если R u ,    Ru,  ), то она приводится к виду Ru ,   R2 u 2 , u ;Это сразу вытекает из предыдущего замечания, если его применить к функцииI.Пусть Ru ,  меняет знак при изменении знака u ;Тогда:R sin x, cos x dx  R0 sin 2 x, cos x sin xdx   R0 1  cos 2 x, cos x d cos x ,и рационализация достигается подстановкой t  cos x .Если Ru ,  меняет знак при изменении знака  , тоR sin x, cos x dx  R *0 sin x, cos 2 x cos xdx   R *0 sin x,1  sin 2 x d sin x , и здесьцелесообразна подстановка t  sin x .II.III.Предположим наконец, что функция Ru ,  не меняет своего значения приодновременном изменении знаков u и  :R u ,   Ru ,  .Ru , .uМатематический анализI курс II семестрБилет 4.

Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы.Интегрирование выражений R  x, mx  x  (стр. 6 из 6)uuu  , будем иметь Ru ,   R  ,   R *  ,  . По uсвойству функции R , если изменить знаки u и  (отношение при этом неuu u * uизменится), R *  ,   R *  ,  , а тогда, как мы знаем, R *  ,   R1  , 2   1 ~ , т.е. R sin x, cos x   R tgx  .Поэтому. R sin x, cos x   R * tgx, cos 2 x  R1*  tgx,2 1  tg x В этом случае, заменяя u наdt~ Здесь достигает цели подстановка t  tgx   x   , ибо Rsin x, cos x   R t .21 t2 2Замечание. Нужно сказать, что каково бы ни было рациональное выражение Ru ,  ,его всегда можно представить в виде суммы трёх выражений рассмотренных вышечастных типов.

Например, можно предположитьRu ,  Ru ,   R u ,  R u ,   R u,   R u,   Ru , 222Первое из этих выражений меняет знак при изменении знака u , второе меняет знакпри изменении знака  , а третье сохраняет значение при одновременном изменениизнака u и  . Разбив выражение Rsin x, cos x  на соответствующие слагаемые, можно кпервому из них применить подстановку t  cos x , ко второму подстановку - t  sin x и,наконец, к третьему – подстановку t  tgx типа.

Таким образом, для вычисленияинтегралов типа (1) достаточно этих трёх подстановок.Длявычисленияинтегралов sin ax cos bxdx ,  sin axsin bxdx ,  cos ax cos bxdxиспользуются формулыsin ax cos bx 1sin a  b x  sin a  b x  ,2sin ax sin bx 1cosa  b x  cosa  b x  ,2cos ax cos bx 1cosa  b x  cosa  b x  .2Математический анализI курс II семестрБилет 5. Площадь плоской фигуры (стр. 1 из 4)Билет 5. Площадь плоской фигуры.5.1.Площадь фигурыВ этом пункте мы дадим определение понятия «площадь фигуры».

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)