В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1109741), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

5 из 6)Пример.1, если x  рациональное числоf  x  1, если x  иррациональное числоТогда S T   s  T   2  b  a   0 , а f  x   1 – очевидно, интегрируемая функция.Свойство 9.6. Пусть f  x  – интегрируема на  a; b  , a  b и при x   a; b  m  f  x   M .bТогда m  b  a     ( x )dx  M  b  a a.bЭто сразу следует из свойства 9.5. и того, что для постоянной с  cdx  c  b  a aТеорема 9.3. (Теорема о среднем значении).

Пусть f  x  – интегрируема на  a; b  , a  bиприx   a; b  m  f  x   M .Тогдасуществует, m    Mтакое,чтоb ( х)dx    b  a  . Если, кроме того, f  x   C  a; b , то существует    a; b :  f   ,abт. е.   ( x) dx  f    b  a  .a►Доказательство Первое утверждение сразу следует из свойства 9.6.Действительноmbb ( x)dx  ( x)dxa(b  a )M.Обозначивa(b  a),получаемтребуемоеутверждение.Если же f  x  – непрерывна, то она принимает все свои промежуточные значения междунаименьшим m0 и наибольшим M 0 значениями на отрезке  a; b  .bПри этом m0  b  a     ( x) dx  M 0  b  a  иab  ( x)dx    b  a  , где m0   M0 .aВвиду непрерывности f  x  на  a; b  , как отмечено выше,   f   ,    a; b  .◄Математический анализI курс II семестрБилет 9.Свойства определённого интеграла (стр.

6 из 6)Теорема 9.4. (Обобщенная теорема о среднем значении).Пусть:1. g  x  и f  x  – интегрируемы на  a; b  ;2. m  f  x   M для всех x   a; b  ;3. g  x  не меняет знак на  a; b  ,bТогда существует  , m    M такое, чтоb ( х) g ( х)dx    g ( x)dx . Если, при этом,aaf  x  – непрерывна на  a; b  , то существует    a; b  :   f   .►Доказательство Пусть, для определенности, g  x   0 на  a; b  , a  b .Тогдаbbbmg  x   f  x  g  x   Mg  x  и m  g ( x) dx    ( x) g ( x) dx   g ( x)dx .abПо свойству 9.4.ab g ( x)dx  0 . Если оказалось, что  g ( x)dx  0 , то из (12) следует, чтоaab ( x) g ( x)dx  0 и теорема справедлива при любом значении  .◄a(12)aМатематический анализI курс II семестрБилет 10. Определенный интеграл с переменным верхним пределом (стр.

1 из 2)Билет 10. Определенный интеграл с переменным верхним пределом .Пусть f  x  интегрируема на  a; b  . Тогда, по свойству аддитивности интеграла, f  x интегрируема на  a; x  при любом x   a; b  .xРассмотрим функцию   x    f  t  dtaТеорема 10.1. (Формула Ньютона-Лейбница). Если f ( x )  C [a; b] , то для любойbпервообразной F (x) имеет место равенство f ( x ) dx  F ( b )  F ( a ) .a►Доказательство.

По доказанному следствию, первообразная  (x ) существует. Если F (x) –любая другая первообразная, то существует С  const такая, что ( x)  F ( x)  C , т.е.  ( x)  F ( x )  C . Тогдаb f ( x)dx  (b)  (a)  F (b)  C   F (a)  C   F (b)  F (a) , что и требовалось доказать.◄aТеорема 10.2. Если f  x  – интегрируема на  a; x  при любом x   a; b  , то   x   C   a; b  .►Доказательство. Достаточно доказать, что при x  0   x  x     x   0 (при этомпредполагается, что x, x  x  [a; b] ). По теоремам 9.2, 10.1.x  x  x  x     x  xx  x f (t )   f (t )dt   f (t )dt  x , согласно теореме о среднем (при этомaaxm    M , где m  inf { f ( x)} , M  sup{ f ( x )} ).

При x  0 очевидно, x  0 . Теорема[ a ;b ][ a ;b ]доказана.◄Теорема 10.3. Пусть f  x  интегрируема на  a; b  и непрерывна в точке x   a; b  . Тогда  x  имеет производную в точке x , причём   x   f  x  .►Доказательство.x  x ( x  x )   ( x ) f ( x) xx  xxxx  x  f (t )  f ( x) dxf (t )dt  f ( x )xxxf ( t )  f ( x ) dxxx.По условию, f  x  непрерывна в точке x , следовательно, f (t )  f ( x )   , как толькоt  x   .

Но t  x  x . Значит, при x  означает, что   x   f  x  .◄ ( x  x )   ( x )x f ( x)   , что как раз иxxМатематический анализI курс II семестрБилет 10. Определенный интеграл с переменным верхним пределом (стр. 2 из 2)Определение 10.1. Если для всех x  a; b  справедливо равенство   x   f  x  то   x называется первообразной для f  x  на (a; b) .Можно рассматривать первообразную и на отрезке [a; b] , тогда в точке a должно выполнятсяравенство  прав a   f a  , а в точке b – равенство  лев b   f b  .Следствие.

Если f ( x )  C [a; b]   x   f  x  и   x  – первообразная для f  x  .x1, t  0Замечание. Пример f  t   ,  x    f (t )dt показывает, что  0   f 0 (т. к.0, t  01  x   0 ), т.е.   x   f ( x)  1 , поэтому в случае точки разрыва теорема может оказатьсяневерной.Математический анализI курс II семестрБилет 11. Приёмы вычисления определённых интегралов (стр.1 из 1)Билет 11. Приёмы вычисления определённых интегралов.Уже сформулирована и доказана теорема Ньютона-Лейбница (см. бил. 10)Теорема. 11.1. (Замена переменной.) Пусть f  x   C  a; b  и x    t  , где:1.

  t  определена и непрерывна на  ,   ;2. значения   t  при t   ,   не выходят за пределы отрезка  ,   ;3.     a,      b ;4.    t   C  ,   .bТогда f  x  dx   f   t      t  dta►Доказательство. Пусть F  x  — первообразная для f  x  . Тогда F   t     F   x      t   F    t      t  .

Поэтому выполняются равенства:bbf  x  dx  F  b   F  a  ,a f   t      t  dt  F   b    F   a    F  b   F  a  и требуемоеaравенство установлено.◄Теорема. 11.2. (Интегрирование по частям) Пусть u  x  ,   x  , u  x  ,    x bbbнепрерывны на  a, b  . Тогда  u  x    x  dx  u  x   x  a   u  x   x  dx .aa►Доказательство.  u  x   x    u   x   x   u  x    x  . Поскольку u ( x ) ( x ) —непрерывная функция, то существует её первообразная   x  , т.е.

u   x   x     x  .Тогда u  x    x    u  x   x    u   x   x    u  x   x      x  иbbba u  x    x  dx  a   u  x   x      x  dx  u  x   x  a bbbbb   x  a  u  x   x  a      x  dx  u  x   x  a   u   x   x  dx.aТеорема доказана. ◄aМатематический анализI курс I семестрБилет 12.

Приложения интеграла: объём тела (стр. 1 из 3)Билет 12. Приложения интеграла: объём тела.Определение объема можно дать аналогично определению площади образом: считаяизвестным понятие объема многогранника, рассмотреть множество объемов содержащихся вданном теле многогранников и множество объемов содержащих данное теломногогранников. Если точная верхняя грань первого из рассматриваемых множеств равноточной нижней грани второго, то тело называется кубируемым, или имеющим объем,равный общему значению этих точных граней.Теорема 12.1. Если T представляет собой прямой цилиндр высоты H в основаниикоторого лежит квадрируемая фигура P с площадью S  P  то T - кубируема, причемV T   S  P  H .►Доказательство.

Пусть   0 . Рассмотрим многоугольники A  P  B такие, чтоS  B   S  A  .HПостроим содержащийся в Tисодержащий T многогранники высотой H , восновании которых лежат, соответственно,A и B. Тогда объемы этих многогранниковотличаются на H  S  B   S  A    H    .HВвиду произвольности   0 , теоремадоказана.◄Теорема 12.2. Пусть T - пространственное тело, а оси расположены так, что любоесечение, перпендикулярное оси x этого тела, представляет собой квадрируемую фигурус площадью S  x  , a  x  b, причем для любых x1 , x2   a; b  проекция одного из сеченийна плоскость OYZ целиком содержится в проекции другого сечения.

Тогда T bкубируемое тело, и V  T    S  x  dx.a►Доказательство. Для произвольного разбиения отрезка  a; b  суммы Дарбупредставляют собой объемы тел, содержащихся внутри T (нижняя сумма Дарбу) исодержащих T (верхняя сумма Дарбу). Поскольку S  x  интегрируема, при измельченииразбиения разность между верхней и нижней суммой Дарбу стремится к нулю.

Это означает,bчто T имеет объем, причем V  T    S  x  dx. ◄a1Математический анализI курс I семестрБилет 12. Приложения интеграла: объём тела (стр. 2 из 3)Следствие. Объем тела, полученного вращением вокруг оси OX графика функцииby  f  x  равен V T     f 2  x  dx.a►Доказательство. Площадь круга радиуса f  x  равна   f 2  x  .◄12.1. Приложение интеграла: площадь в полярных координатах.Теорема 12.3. (Площадь в полярных координатах).Пусть фигура представляет собойчасть угла:      , ограниченнуюr(  )графиком r  r   , r   - непрерывная на1 ;   функция. Тогда пл.

 P    r 2   d .2►Доказательство. Рассмотрим разбиение отрезка  ;   и соответствующие емунижнюю и верхнюю суммы Дарбу для интеграла из формулировки теоремы. По известной изшкольного курса формуле для площади кругового сектора, эти суммы представляют собойплощади фигур A1  P  B1 .2Математический анализI курс I семестрБилет 12. Приложения интеграла: объём тела (стр. 3 из 3)При измельчении разбиения эти суммыn 1 n 1 2 1иM i2 i ,гдеm i 22i 0 i0mi  min r   , M i  max r    стремятсяi1 ;i  i 1 ;i 1к общему значению:  r 2   d , которое и2равно искомойвеличинеплощади,поскольку A1 и B1 - квадрируемые фигуры.◄3Математический анализI курс II семестрБилет 13. Приложения инте грала: длина ду ги к ривой,площ адь пове рх нос ти вращ е ния (стр.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)