В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1109741), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Суммы Дарбу и их свойства (стр. 3 из 4)Определение 6.2. Разбиение T2 отрезка  a, b  называется продолжением разбиения T1(или измельчением), если оно получено присоединением к T1 новых точек деления.T1abT2Теорема 6.2.1. Если T2 продолжает T1 , то s  T1   s  T2  , S T1   S T2  .(3)2. Для любых разбиений T1 и T2 имеет место неравенство: s  T1   S  T2  .(4)► Сначала докажем неравенства (3) в случае, когда T2 получено присоединением к T1одной новой точки. Пусть эта точка, обозначим её x , попала в интервал xi  x  xi 1 .Рассмотрим суммы Дарбу, соответствующие старому разбиению и новому разбиению.Поскольку остальные отрезки старого разбиения остались без изменения,соответствующие им слагаемые сумм Дарбу не изменятся.

Поэтому различие старой и новойсуммы Дарбу только в том, что:1. дляверхнейсуммыДарбуслагаемоеM i xiзаменяетсянасуммуM i  x  xi   M i xi 1  x  , где M i — точная верхняя грань множества значений f  x на  xi , x , M i — на  x, xi 1  ;2. длянижнейсуммыДарбуслагаемоеmi xiзаменяетсясуммойmi  x  xi   mi xi 1  x  , где mi, mi — соответствующие точные нижние грани.Очевиднынеравенства:множества значенийM i  M i , M i  M i , mi  mi , mi  mi(точнаяверхняяграньf  x  на части отрезка не превосходит точной верхней гранимножества значений f  x  на всем отрезке, а точная нижняя грань множества значенийf  x  на части отрезка не меньше, чем точная нижняя грань множества значений f  x  навсем отрезке).ПоэтомуS T1   S T2   Mi xi  Mi  x  xi   Mi xi1  x  Mi   x  xi    xi1  x   Mi  x  xi   Mi xi1  x   Mi  Mi x  xi    Mi  Mi xi1  x  0, тк.

. Mi  Mi, Mi  Mi, x  xi , xi1  x.Аналогично, s  T2   s  T1   mi  x  xi   mi xi 1  x   mi  xi 1  xi   mi  x  xi   mi xi 1  x   mi   xi 1  x    x  xi     mi  mi  x  xi    mi  mi  xi 1  x   0,т. к. mi  mi , mi  mi , x  xi , xi 1  x.3Математический анализI курс II семестрБилет 6. Суммы Дарбу и их свойства (стр.

4 из 4)Итак, первое утверждение теоремы доказано в случае, когда T2 получено из T1 добавлениемодной новой точки.Если же таких новых точек — несколько, то мы можем рассматривать T2 как результатпоследовательного присоединения по одной точке.

При этом, по доказанному выше, прикаждом таком присоединении точки верхняя сумма Дарбу не увеличивается. Значит,S T2   S  T1  и в общем случае. Аналогичное рассуждение справедливо и для нижних сумм.Поэтому первое утверждение теоремы доказано.Докажем утверждение 2. Неравенство (4) легко следует из первой части теоремы.Действительно, рассмотрим разбиение T3 , которое получается, когда мы берем все точки,входящие в T1 , и все точки, входящие в T2 . Тогда T3 — продолжение T1 и T2 .

Но тогдаs  T1   s  T3   S T3   S T2  . Первое и последнее неравенства следуют из доказанной первойчасти теоремы, среднее неравенство очевидно. ◄4Математический анализI курс II семестрБилет 7. Критерий интегрируемости (стр. 1 из 6)Билет 7. Критерий интегрируемости.Теорема 7.1.: Для того, чтобы функция f  x  была интегрируема на отрезке a; bнеобходимо и достаточно, чтобы для любого   0 существовало число      0 такое,что для всех разбиений T , удовлетворяющих условию d T    , выполнялосьнеравенство: S T   s T   (1)►Необходимость.выберем  так, чтобы T , d T      f , T ,    I  , T , что33можно сделать ввиду интегрируемости f  x  на  a; b  .

Тогда    f , T ,    I  ,33I    f , T ,     I для любого выбора   . Значит, число I - верхняя грань333множества значений  f , T ,   при всевозможных выборах   .Для числа I , поскольку по доказанной теореме 6.1, S T  - точная верхняя грань3этого множества, а точная верхняя грань является наименьшей из верхних граней и не может   2превосходить числа  I . Аналогично s T   I  . Поэтому S  T   sT   I   I      .3  3 33Неравенство (1) доказано.Значит, S T  Достаточность.Поскольку для любых T1 , T2 выполняется неравенство:s T1   s T2  2 ,множество s  T  значений s  T  при всевозможных разбиениях T отрезка  a; b ограничено сверху (любым числом вида S T  ).

Аналогично множество S T  ограниченоснизу. Поэтому существуют I   sup s T  , I   inf S T  . Из неравенства (2) сразу следует,что I   I   0 .Покажем сначала, что из (1) следует, что I   I  . Действительно, S T   I  , s T   I  иI   I   S T   s T    . Значит, ввиду произвольности  , I   I  . Обозначим I  I   I  .Далее, s T   S T    f , T ,    I  S T   s T  , или  f , T ,    I  S T   s T   согласно (1). Поэтому f  x  - интегрируема на  a; b  . Теорема доказана.◄Математический анализI курс II семестрБилет 7. Критерий интегрируемости (стр.

2 из 6)Замечание 1. Часто используется обозначение i  M i  mi . Величину i называютколебанием f  x  на отрезке  xi ; xi 1  .n 1Неравенство (1) можно переписать в виде  xii .i 0Замечание 2. В доказательстве теоремы установлены равенства I  I   I  , означающие,bsup s  T   inf S T    f  x  , где точная нижняя и верхняя грани взяты сочтоTTaвсевозможными разбиениями T отрезка  a; b  .Замечание 3. Докажем, что существует неинтегрируемые ограниченные функции.

Вкачестве примера рассмотрим функцию Дирихле1, если x  рациональное число,D  x  0, если x  иррациональное числоДлялюбогоразбиенияTотрезкаn 1 a; bвыполняютсяравенства:n1 S T    M i xi  1  xi  b  a,i 0i 1n 1n2  s  T    mi xi   0  xi  0,i 0i 1поэтому для всех разбиений Tинтегрируемости не выполняется.имеемS T   s  T   b  a,и требование критерияПростым следствием доказанного критерия является монотонность функции.Теорема 7.2. Если f  x  не убывает (не возрастает) на  a; b  , то она интегрируема на a; b .►Доказательство Пусть f  x  не убывает. Тогда на отрезке  xi ; xi 1  выполняютсяравенства: mi  f  xi  , M i  f  xi 1  .

Если f  b   f  a  , то f  x  - постоянная и ееинтегрируемость очевидна  S T   s T   . Если f  b   f  a  , то положим. Тогда если xi   , то:f b   f  a n 1  xii 0in 1n 1i 0i 0    M i  mi     f  xi 1   f  xi     f  xn   f  x0      f  b   f  a     . ◄Математический анализI курс II семестрБилет 7. Критерий интегрируемости (стр. 3 из 6)7.1.Интегрируемость непрерывной функции.Площадь криволинейной трапецииТеорема 7.3.

Если f  x   C  a; b  , то f  x  — интегрируема на  a; b  .►Доказательство По теореме Кантора, f  x  равномерно непрерывна на  a; b  , т.е.  o   0 x, x : x  x   f  x   f  x  2 b  aРассмотрим разбиение T отрезка  a; b  с диаметром меньшим, чем выбранное  . Тогдана каждом отрезке  xi ; xi 1  имеет место неравенство:M i  mi 2 b  a(3).Действительно, достаточно подобрать точку x так, что:M i  f  x  4b  a(4)и точку x так, чтобыf  x   mi 4 b  a(5).(Это можно сделать, т.к. числа M i , mi — точные грани множества значений).Тогда ввиду (3), (4), (5): M i  mi  M i  f  x   f  x    f  x   f  x    mi , иM i  mi  M i  f  x   f  x   f  x   f  x   mi .4 b  a  2 b  a  4  b  a  b  aНеравенство (3) доказано.

Тогдаn 1n 1n 1S T   s T    M i xi   mi xi    M i  mi  xi i 0i 0i 0 n 1xi b  a    .b  a i 0baТо есть критерий интегрируемости выполняется.◄Вернёмся к поставленной задаче нахождения площади фигуры, ограниченной кривымилиниями.Математический анализI курс II семестрБилет 7. Критерий интегрируемости (стр. 4 из 6)Теорема 7.4. Пусть P — фигура, ограниченная снизу осью x , по бокам — отрезкамивертикальных прямых x  a и x  b, a  b , а сверху — графиком непрерывной наотрезке  a, b  функции f  x  (см. рис.1).

Тогда P имеет площадь, причемbпл.  P    f  x  dx.ayyf(x)abxxРис. 1Рис. 2.►Доказательство Для произвольного разбиения T отрезка  a; b  нижняя сумма Дарбуs  T  представляет собой площадь многоугольника A, A  P, а верхняя сумма Дарбу —площадь многоугольника B, B  P (рис.

2). Так как f  x  непрерывна на  a; b  , онаинтегрируема на этом отрезке и для любого   0 существует   0 такое, что для всехразбиений T с диаметром d T    имеет место неравенство S T   s T    . Значит, длялюбого   0 существуют многоугольники A  P  B такие, что пл.  B   пл.  A    . Этоозначает квадрируемость P. Наконец, площадь P равнаsup пл.  A  inf пл.  B  иP BA Pbbinf S T   sup s T    f  x  dx.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)