В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1109741), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Значит, в качестве Uможет быть принят любой из этих множителей. ПолагаяМатематический анализI курс II семестрБилет 1. Неопределенный интеграл и его свойства.Таблица неопределенных интегралов (стр. 6 из 8)U  e x , dU  e x dx , dV  sin xdx , V   cos x ,находимexsin xdx  e x cos x   e x cos xdx .Последний интеграл оказался такой же сложности, что и исходный.

Однако избранныйнами путь не окажется безнадежным, если мы применим к последнему интегралу еще разформулу интегрирования по частям:U  e x , dU  e x dx , dV  cos xdx , V  sin x ,excos xdx  e x sin x   e x sin xdx .Подставляя в ранее найденное равенство значение этого интеграла, получимexsin xdx  e x cos x  e x sin x   e x sin xdx .Перенося интеграл из правой части равенства в левую, учтем, что в левой части уже естьпроизвольная постоянная.

Ее, следовательно, надлежит оставить и в правой части равенства.При этом получим:2  e x sin xdx  e x sin x  cos x   C ,  e x sin xdx 1 xe sin x  cos x   C .2(Половина произвольной постоянной – произвольная постоянная).1.6.Замена переменной интегрированияПереходим к изучению приема интегрирования, обратного приему дифференцированиясложной функции.Предположим, что функция F  x  - одна из первообразных функций для функции f x  ,F x   f x  и f x dx  F x   C . Вычислим интеграл f  x  x dx .Поскольку из равенстваF   x   F  x    x   f   x   x следует, что функция F  x  - первообразная для функции f  x  x  , то f  x  x dx  F  x   C .Все это дает нам право писать равенстваМатематический анализI курс II семестрБилет 1.

Неопределенный интеграл и его свойства.Таблица неопределенных интегралов (стр. 7 из 8) f  x  x dx   f  x d x    f U dU  F U   C  F  x   C ,согласно которым вычисление первого из этих интегралов с помощью замены переменнойU   x  сведено к вычислению последнего интеграла (при выполнении всех условийтеоремы о дифференцировании сложной функции).При этом вычисление последнего интеграла сводится с помощью той же заменыпеременнойквычислениюпервогоинтеграла,еслифункцияU    x  удовлетворяет всем условиям теоремы о существовании и дифференцируемостиобратной функции, поскольку в этом втором случае после вычисления первого интеграла мыдолжны будем вместо величины x подставить ее значение, которое может быть найдено изуравнения U   x  , и решением этого уравнения будет функция x   U  , обратная дляU   x  .Таким образом, f U dU   f  x  x dx  x   C   U   C ,где  x  - первообразная функция функции f  x   x  .Последнее равенство содержит фактически бесконечно много равенств, получающихсядля тех или иных функций U   x  .

Задача замены переменной и состоит в том, чтобы извсех замен переменной выбрать такую, которая упрощает подынтегральное выражение.Задача эта сложная вследствие большого многообразия возможных замен. В этом отношенииметод интегрирования по частям проще: там имеется конечное число различных вариантов.Кроме того, там можно было указать принцип, придерживаясь которого, интегрирование почастям доводилось до конца всякий раз, когда такое доведение было возможно.Рассмотрим несколько примеров, в которых применяется замена переменной квычислению интегралов.1.  x dx  x Положив U   x  , dU    x dx , найдем  x dx  xdU ln U  C  ln  x   C .UЭто равенство полезно запомнить.Математический анализI курс II семестрБилет 1.

Неопределенный интеграл и его свойства.Таблица неопределенных интегралов (стр. 8 из 8)2. Предположим, что функция F  x  - первообразная для f x  .Вычислим интеграл: f ax  bdx , a, b  R , a  0 .Полагая U  ax  b , dU  adx , dx 11dU , находимa11 f ax  b dx  a  f U dU  a F U   C  a F ax  b  C .Пользуясь этим, получим 1ax  b  ax  b  dx  a  1  C ,   1,a2dx1 22xadxa2  x2dx x1  a1a2dx x1  a21 1x1xarctg  C  arctg  C , a  0 ,2aaaa 1a1 1xxarcsin  C  arcsin  C , a  0 .a 1aaaМатематический анализI курс II семестрБилет 2.

Интегрирование рациональных функций (стр. 1 из 10)Билет 2. Интегрирование рациональных функций.2.1.Алгебраическое введениеРассмотрим некоторые нужные нам в дальнейшем сведения алгебраического характера.P( x)Всякая рациональная функция может быть представлена в виде дроби, где P( x) иQ( x )Q ( x) – многочлены с действительными коэффициентами; т.е.P( x)  b0 x m  b1 x m 1  ...  bm 1 x  bm , b0  0Q( x)  a0 x n  a1 x n 1  ...  an 1 x  anНе нарушая общности, можно считать, что a0  1 .Такую дробь называют обычно рациональной дробью. Если m  n , то рациональнаядробь называется правильной; если же m  n – неправильной. Если рациональная дробьP( x)является неправильной, то делением числителя на знаменатель она может бытьQ( x )P( x)R( x)представлена в виде суммы S ( x) ,(1)Q( x )Q( x )в которой S ( x) (частное) – многочлен с показателем степени k ( k  m  n ) и R( x) (остаток) –тоже многочлен, показатель степени которого ниже показателя степени n многочлена Q ( x) .Таким образом, неправильная рациональная дробь может всегда быть представлена в видесуммы многочлена и правильной рациональной дроби.x 5  3x3  x 22x 1Пример 1: 3 x2  1  3x  2x 1x  2x  1В высшей математике доказывается, что всякая правильная рациональная дробьпредставима в виде суммы некоторого количества так называемых простых дробейследующих четырех типов:I.II.III.AxaA,   2,3, 4... ,( x  a)Mx  Nx  px  q2Математический анализI курс II семестрБилет 2.

Интегрирование рациональных функций (стр. 2 из 10)Mx  NIV.x2 px  q ,    2,3, 4...Где A, M , N , a, p, q – постоянные действительные числа иp2p2 q  0 (или q  0 );44т.е. трехчлен x 2  px  q не раскладывается на множители.Рассмотрим эту теорему в частных случаях.1. Если уравнение Q( x )  x n  a1 x n1  ...  an  0 имеет только простые действительныеR( x)корни a , b, … (их всего n ), то правильную рациональную дробьможноQ( x )представить в виде суммы простых дробейR( x)R( x)AB ...Q( x)  x  a  x  b  ...

x  a x  bПример:(2)2x  22x  211x  2 x  3  x  1 x  3  x  1 x  322. Пусть уравнение Q( x)  x n  a1 x n1  ...  an  0 опять обладает только действительнымикорнями, но среди этих корней имеются кратные, например, корень a кратности α,корень b кратности β, и т.д. (в частности все корни могут быть кратными).

ТогдаR( x)правильную рациональную дробьможно представить в виде суммы простыхQ ( x)дробейBR( x)R ( x)AA 1A ...  1  1Q( x)  x  a   x  b  ...  x  a x  a  x  b  x  aB 1 x  b 1 ... B1.x b 3где в недописанной части могут быть члены, соответствующие простым корнямуравнения Q( x)  0 .3. Легко проверяется, что если уравнение Q( x)  0 имеет комплексный кореньa  u  iv  v  0  (т.е. Q  a   0 ), то оно обязано иметь также комплексно сопряженныйему корень a  u  iv (т.е. Q  a   0 ). Действительно, на основании свойствкомплексного сопряжения и условия вещественности коэффициентов многочленаQ( x )  x n  a1 x n1  ...

 an заключаем, что Q( a )  Q( a ) , и так как Q( a )  0  0 (числокомплексно сопряженное к нулю равно нулю), то Q( a )  0 .Математический анализI курс II семестрБилет 2. Интегрирование рациональных функций (стр. 3 из 10)В этом случае2Q( x )   x  a  x  a  ...   x  u  iv  x  u  iv  ...   x  u   v 2  ...2Множитель  x  u   v 2  можно, очевидно, представить в виде x 2  px  q , так что2уравнение x  px  q  0 имеет только комплексные корни u  iv ; т.е., трехчленx 2  px  q не раскладывается на действительные корни.Пусть среди корней уравнения Q( x)  0 имеются комплексные корни, которые всеявляются простыми. Согласно сказанному выше, совокупности этих корней будутсоответствовать множители ( x 2  px  q ),  x 2  rx  s  , ...

разложения многочленаQ ( x) (т.е., Q( x)  ( x 2  px  q )  x 2  rx  s  …). При этом правильную рациональнуюдробьR( x)можно представить в виде суммы простых дробейQ( x )R( x)R( x)M x  N1U x  W1= 2 2 1 21 ...2Q( x) ( x  px  q )  x  rx  s  ... ( x  px  q ) ( x  rx  s)(4)Где в недописанной части могут быть члены, соответствующие действительнымкорням уравнения Q  x   0 (смотреть предыдущие два случая).111xxx3  3 .Пример: 3 2 32x  1 ( x  x  1)( x  1) x  x  1 x  14. Среди корней уравнения Q( x)  0 имеются кратные комплексные корни, например,корень u  iv кратность –  , корень u1  iv1 кратности  , и т.д.Согласно сказанному выше, этим корням будут соответствовать множители( x 2  px  q )  ,  x 2  rx  s  , … разложение многочлена Q ( x) ; т.е.,Q(x)= ( x 2  px  q ) x2 rx  s  …При этом правильную рациональную дробьпростых дробейR( x)можно представить в виде суммыQ( x )Математический анализI курс II семестрБилет 2.

Интегрирование рациональных функций (стр. 4 из 10)R( x)R ( x)M  x  N22Q( x)  x  px  q   x  rx  s   ...  x 2  px  q  M  1 x  N 1x... 2 rx  s  1 ... M 1 x  N1 x   x   1  12 122x  px  q  x  rx  s  x  rx  s 1 x  1 ...x 2  rx  s(5)где в недописанной части могут быть члены, соответствующие простым комплекснымкорням и действительным корням уравнения Q( x)  0 (см. предыдущие три случая).Рассмотренные нами четыре случая полностью решают вопрос о возможностипредставления всякой правильной рациональной дроби в виде суммы простых дробей.Теперь встаёт вопрос: как в том или ином случае практически находятся постоянныекоэффициенты в числителях простых дробей соответствующего разложения? Это делаетсяобычно с помощью метода неопределённых коэффициентов.В первую очередь определяют, по какой из формул (2)-(5) следует представить даннуюправильную дробь.

Затем записывают соответствующее разложение с буквеннымикоэффициентами. Далее приводят все дроби к общему знаменателю, которым, естественно,будет Q(x) .Отбрасывая слева и справа этот знаменатель, приходят к равенству двух многочленов,тождественному относительно x: справа с буквенными коэффициентами, слева – сконкретными числами.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)