В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1109741), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, приходят ксистеме уравнений, из которой и находят значения буквенных коэффициентов.Соответствующие примеры рассмотрим в пункте 2.3.2.2.Неопределённый интеграл от рациональной функцииТеорема 2.1. Неопределённый интеграл от всякой рациональной функции всегдавыражается в конечном виде через алгебраические, логарифмические и обратныетригонометрические (круговые) функции; т.

е., в конце концов, через элементарныефункции.►Доказательство С помощью формул (1)-(5) (пункт 2.1) всякую рациональнуюP ( x)функциюможно представить в виде суммы многочлена степени k , если показательQ( x)степени числителя P(x ) на k единиц выше показателя степени знаменателя Q (x) , ипростых дробей типов I-IV.Тогда нахождение интеграла от данной рациональной функции приведет к нахождениюинтегралов от многочлена и от простых дробей. Рассмотрим все возможные случаиинтегрирования.Интеграл от многочлена степени k есть многочлен степени k  1 . Действительно,Математический анализI курс II семестрБилет 2. Интегрирование рациональных функций (стр. 5 из 10) C x1.0k C1 x k 1  ...

 Ck  dx C0 x k 1 C1 x k ...  Ck x  C (алгебраическая функция).k 1kИнтегралы простых дробей I и II типов выражаются через логарифмические иалгебраические функции. Действительно,Adx2. x  a  A ln x  a  C3.  x  aAdxA 1(  1)  x  a  C (  2, 3, 4,… )Интегралы простых дробей III и IV типов выражаются через алгебраические,логарифмические и обратные тригонометрические функции. Имеем сначалаxMx  NMx  Ndx  dx2 px  qp p2  x    q 2 4 2pMp p2Пусть x   z тогда dx  dz и Mx  N  Mz   N  a 2 (т. к. . Обозначим q 22 4qp2 0 ). Получаем4Mx  N x 2  px  q dx  M2zMp Mz   N 2 dz z 2  a22 zdz Mp dzM1Mp zN ln( z 2  a 2 )   N  2 arctg  C222a 2  z a2a2 aВозвращаясь к переменной x и подставляя вместо a его значение, получаем:xMx  NMz2 N  Mp2x  pdx ln( x 2  px  q ) arctgC px  q24q  p 24q  p 22Осталось указать только способ вычисления интегралаMx  Nx2 px  q dx (  2, 3, 4,… ) .Сделав преобразование и подстановку так же, как и в предыдущем случае, получаем:MpMz  ( N )Мх  N2 dz  Mdx ( x 2  px  q)  ( z 2  a 2 )2 (z2 zdzMpdz (N ) 2.2 a )2( z  a 2 )2Математический анализI курс II семестрБилет 2.

Интегрирование рациональных функций (стр. 6 из 10)Первый из этих интегралов находим подстановкой v  z 2  a 2 , т. е., (z2 zdzdv1111   C   2C2 a )v 1 v  1  1 ( z  a 2 ) 12Второй интегралI  zdzz2 a2 1z2a2  (zz2dzнаходим с помощью рекуррентной формулы a 2 )1z2 a2  2 z 2 dzz2 1 a2 z1z2 a2  2 ( z 2  a 2  a 2 )dzz2 1 a2  2 I   2 a 2 I  1 ,откудаI 1 (2  1) Iz,   0,1, 2,...222 a2 a ( z 2  a 2 )Применяя эту формулу   1 раз,dz1z z 2  a 2  a arctg a  cмыприходимквычислениюинтегралаВо всех полученных таким образом решениях заменяем z через x . На основании этихM Nрезультатов получаем выражение для  2 xdx, которое представляет собой( x  px  q )выражение, содержащее алгебраическую и обратную тригонометрическую функциюИз результатов интегрирования представленных формулами 1, 2, 3, 4, 5 вытекаетсправедливость теоремы.◄2.3.Метод интегрирования рациональных функцийДоказанная в пункте 2.2 теорема позволяет сформулировать следующий методинтегрирования рациональных функций.В данной рациональной дробиP ( x)выделяется в качестве слагаемого многочлена S ( x )Q( x)целая часть степени k , если показатель степени числителя P ( x ) выше показателя степенизнаменателя Q(x) на k единиц; т.

е. выписывается формула (1). Затем раскладываетсязнаменатель Q(x) на действительные линейные и квадратные множители, так чтоQ( x)  ...  ( x  a )  ...  ( x 2  px  q ) . Далее правильная рациональная дробьR ( x)формулы (1)Q( x)представляется в виде суммы простых дробей согласно формулам (2)-(5); при этомкоэффициенты разложения определяются методом неопределённых коэффициентов. ПослеМатематический анализI курс II семестрБилет 2. Интегрирование рациональных функций (стр. 7 из 10)всех этих преобразований данной рациональной дробиP ( x)находится её неопределенныйQ( x)интеграл, который определяется доказанной в пункте 2.2 теоремой.Рассмотрим примеры на применение изложенного метода интегрирования.1. Найтиx5  x 4  8 x3  4 x dxРешение.

В подынтегральной функции выделяется многочлен второй степени делениемчислителя на знаменатель:x5  x4  84 x 2  16 x  82xx4x3  4 xx3  4 x(6)Раскладываем знаменатель данной дроби на простые множителиx3  4 x  x( x  2)  ( x  2) .Правильную рациональную дробь формулы (6) представляем по формуле (2)4 x 2  16 x  8 ABC 3x  4xx x2 x2Домножив на знаменатель x3  4 x , получаем:4 x 2  16 x  8  A  x 2  4   Bx  x  2   Cx  x  2 (7)Приводим подобные слагаемые:4 x 2  16 x  8  x 2  A  B  C   x  2 B  2C   4 AПолучаем систему трех уравнений: A  B  C  4, 2 B  2C  16, 4 A  8.Решая эту систему, находим A  2, B  3, C  5.

Поэтому4 x 2  16 x  8 235 3x  4xx x2 x2Приняв во внимание (6) и (8), находим:(8)Математический анализI курс II семестрБилет 2. Интегрирование рациональных функций (стр. 8 из 10)x5  x 4  82352 x3  4 x dx =  ( x  x  4  x  x  2  x  2 )dx x3 x2   4 x  2 ln x  3ln x  2  5ln x  2  C3 2Замечание. Часто при нахождении коэффициентов разложения применяют другойприем, который сводится к тому, что в тождестве, полученном после отбрасыванияобщего знаменателя в обеих его частях придают х некоторые «выгодные» числовыезначения и тем самым получают опять-таки уравнения, служащие для отысканиянеизвестных коэффициентов простых дробей.

Этот прием особенно выгоден в случаепростых корней.Так, в рассмотренном примере имеем тождество (7). Уравнение x3  4 x  0 имеет корниx1  0, x2  2, x3  2 . В тождестве (7) придаем x последовательно значения, равные этимкорням. Это сразу даетПри х=08  4AПри х=-224  8BПри х=240  8C ,Откуда A  2, B  3, C  5 (прежний результат)Таким образом, в этом случае не приходится решать сложную систему уравнений сомногими неизвестными.2. Найтиx 2 dx x3  5 x 2  8x  4Решение. Подынтегральная функция есть правильная дробь.

Разложим знаменатель этой2дроби на простые множители: x3  5 x 2  8 x  4   x  2   x  1 . Представляем даннуюдробь по формуле (3)A2Ax2B 1 22( x  2) ( x  1) ( x  2)x  2 x 12Домножив на  x  2   x  1 , получаемx 2  A2 ( x  1)  A( x  2)( x  1)  B ( x  2) 2Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему трехуравнений:Математический анализI курс II семестрБилет 2. Интегрирование рациональных функций (стр. 9 из 10) A1  B1  1, A2  3 A1  4 B1  0, A  2 A  4 B  0.11 2Решая эту систему, находим A2  4, A1  0, B1  1.

Следовательноx24122( x  2) ( x  1)( x  2)x 1С учетом этого:x 2 dx41 4 ( x  2)2 ( x  1)     ( x  2)2  x  1 dx  x  2  ln x  1  C3. Найтиx4 dx 4x3Решение. x3  4 x  x( x 2  4) , следовательно по формуле (3)4A Mx  N  2.x( x  4) xx 42После домножения на x  x 2  4  получаем:4  A( x 2  4)  x( Mx  N )  ( A  M ) x 2  Nx  4 xПриравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему трехуравнений A  M  0,41x, откуда A  1, M  1, N  0, так что  2 N  0,2x( x  4) x x  4 4 A  4.Следовательно,4.

Найти (x2x4dxdxxdx  2 ln x  ln 4xxx 43x2  4  Cdx x)  ( x 2  1)Решение. По формуле (4)1ABMx  N  2, откуда2x( x  1)  ( x  1) x x  1 x  11  A( x  1)  ( x2  1)  Bx( x 2  1)  ( Mx  N ) x( x  1)(9)Математический анализI курс II семестрБилет 2. Интегрирование рациональных функций (стр. 10 из 10)1При x  0 , получим A  1 , при x  1 имеем B   , при x  1 с участием найденных211значений, получим M  N  1 , при x  2 имеем 2 M  N   , и следовательно, M   ,221N   .

Поэтому211 1 11 x 1    2и2x( x  1)  ( x  1) x 2 x  1 2 x  1 (x2dxdx 1 dx 1 x  111    2 dx  ln x  ln x  1  ln( x 2  1) 2 x)  ( x  1)x 2 x 1 2 x  1241 arctgx  C2Математический анализI курс II семестрБиле т 3.

Бимоле ку ля рная ре ак ция (с тр. 1 из 1)Билет 3. Бимолекулярная реакцияПример применения неопределенных интегралов в исследовании математическихмоделей химических реакций.Закон действующих масс для тримолекулярной реакции гласит: скорость химическойреакции пропорциональна концентрациям участвующих в ней реагентов,– и выражаетсяследующей формулой:dx k  a  x   b  x    c  x  ,dtгде x  концентрация продукта; a, b, c ,  начальные концентрации реагентов.Перепишем это равенство в виде:dx kdt .(1) a  x    b  x   c  x 1Представим при a  b , a  c , b  c функци юв виде a  x   b  x    c  x 1ABC.(2) a  x   b  x    c  x   a  x  b  x   c  x Для этого можно привести правую часть этого равенства к общему знаменателю:A b  x    c  x   B  a  x    c  x   C  a  x   b  x ABC a  x  b  x   c  x  a  x   b  x    c  x  A  B  C  x2   A  b  c   B  a  c   C  a  b   x  Abc  Bac  Cab. a  x   b  x    c  x Откуда A  1 a  b  c  a , B1 a  b  b  c , C1 b  c  c  a .Согласно (1) и (2):dx1dx1dx1dx  a  x  b  x  c  x     a  b  c  a   a  x   a  b  b  c   b  x   b  c  c  a   c  x 1 a  b  c  a и, так как1 a  b  c  a ln  a  x  1 a  b  b  c ln  b  x  1 b  c  c  a ln  c  x   C0 kdt  kt  C , получаем:ln  a  x  11 a  b  b  c ln  b  x  1 b  c  c  a ln  c  x   kt  constМатематический анализI курс II семестрБилет 4.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)