В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1109741), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

. Эти равенства означают, что пл.  P    f  x  dx. ◄TTaaСледствие. Пусть f1  x  и f 2  x  — непрерывные на  a; b  функции, причем для всехx   a, b  выполняется неравенство f1  x   f 2  x  . Тогда площадь криволинейной трапеции,ограниченной сверху графиком функции y  f 2  x  , снизу — графиком функции y  f1  x  , аbпо бокам — отрезками вертикальных прямых x  a и x  b (рис. 3) равна  f  x   f  x dx.2a1Математический анализI курс II семестрБилет 7.

Критерий интегрируемости (стр. 5 из 6)f (x)2f (x)1Рис. 3.►Доказательство Т.к. f1  x  и f 2  x  непрерывны на  a; b  , они ограничены на этомотрезке. Поэтому существует число M такое, что M  f1  x   0.M  f2  x Тогда площадь рассматриваемойфигуры есть разность площадейкриволинейных трапеций, и она естьbb  M  f 2  x dx    M  f1  x dx aabM  f1  x   f  x   f  x dx,21aчто и требовалось доказать.◄Условие непрерывности функции является достаточным, но не необходимым для еёинтегрируемости. В частности, имеет местоТеорема 7.5. Если функция f  x  ограничена на отрезке  a; b  и имеет на немконечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.Ограничимся схемой доказательства.►Доказательство Для любого разбиения T отрезка  a; b  полученные отрезки  xi ; xi 1 либо содержат точку разрыва, либо не содержат.

Количество отрезков, куда может входитьточка разрыва, не превосходит удвоенного числа точек разрыва, так как точка разрыва можетпринадлежать одному отрезку (когда она не совпадает с точкой деления), либо двум отрезкам(когда она совпадает с точкой деления). По условию, функция f  x  ограничена, поэтомусуществуют точная нижняя грань m и точная верхняя грань M множества её значений.Следовательно, колебание i на любом отрезке, содержащем точку разрыва, не превосходитM  m.Таким образом, для любого   0 можно выбрать d T  столь малым, чтобы суммаМатематический анализI курс II семестрБилет 7.

Критерий интегрируемости (стр. 6 из 6)величин i xi для отрезков, содержащих точки разрыва, стала меньше.2Так же, как при доказательстве теоремы об интегрируемости непрерывной функции,можно доказать, что сумма величин i xi для отрезков, не содержащих точек разрыва,меньше, чем . , при достаточно малых значениях d T  .2n 1Но это означает, что при достаточно малых d T  вся сумма  xii 0доказана.◄i  и теоремаМатематический анализI курс II семестрБилет 8. Интегрируемость монотонной функции. Интегрируемость непрерывной функции (стр. 1 из 2)Билет 8.

Интегрируемость монотонной функции. Интегрируемостьнепрерывной функции.Теорема 8.1. Если f  x   C a; b , то f  x  - интегрируема на a; b .►Доказательство. По теореме Кантора, f  x  равномерно непрерывна на a; b , т.е.  0   0 x, x : x  x   f  x    f  x  (1).2b  a Рассмотрим разбиение T отрезка a; b с диаметром меньшим, чем выбранное  . Тогдана каждом отрезке x i , x i 1  имеет место неравенство:M i  mi ba(2).Действительно, достаточно подобрать точку x  так, чтоM i  f x  4b  a (3)f  x    mi 4b  a (4).и точку x  так, чтобы(Это можно сделать, т.к. числа M i , mi - точные грани множества значений).

Тогда ввиду(1), (3), (4) M i  mi  M i  f  x   f  x    f  x   f  x   m i , иM i  mi  M i  f  x    f  x    f  x    f  x    m i  .4b  a  2b  a  4b  a baНеравенство (2) доказано.n 1n 1n 1 n 1b  a    .x i b  a i 0bai 0i0i 0Т.о. критерий интегрируемости выполняется. Теорема доказана.◄Тогда S T   s T    M i x i   m i x i   M i  mi x i Теорема 8.2. Если f  x  не убывает (не возрастает) на a; b , то она интегрируема наa; b .►Доказательство. Пусть f  x  не убывает.

Тогда на отрезке x i , x i 1  выполняютсяравенства: mi  f  x i , M i  f  x i 1  . Если f b   f a  , то f  x  - постоянная и ееинтегрируемость очевидна ( S T   s T  ). Если f b   f a  , то положим(5).f b   f a Математический анализI курс II семестрБилет 8. Интегрируемость монотонной функции. Интегрируемость непрерывной функции (стр.

2 из 2)Тогда если x i   , тоn 1n 1n 1i 0i 0i 0  i xi    M i  mi    f xi 1   f xi     f x n   f x 0     f b   f a    ввиду (5).Т.о., теорема доказана.◄Математический анализI курс II семестрБилет 9.Свойства определённого интеграла (стр. 1 из 6)Билет 9.Свойства определённого интеграла.Распространим определение интеграла на случай a  b .Определение 9.1. Если a  b , тоbaf  x  dx    f  x  dx,a1bесли f  x  интегрируема на отрезке  a; b  .Также по определению положимa f  x  dx  0 2aЗаметим, что равенство (1) справедливо и в случае a  b , так как тогдаabbf  x  dx    f  x  dx , что равносильно равенству (1).aЭто замечание, вместе с определением (2), означает, что равенство (1) выполняется привсех a и b .Теорема 9.1. Пусть функция f  x  интегрируема на отрезке  a; b  , a  b .

Тогдаf  x  интегрируема на  c; d    a; b  .►Доказательство Рассмотрим произвольное разбиение отрезка  c; d  и проведемразбиение оставшихся частей отрезка  a; b  .В итоге будет получено разбиение T отрезка  a; b  , причем точки c и d войдут в числоточек деления этого разбиения.n 1Рассмотрим суммучасть этой суммыотрезка  a; b  и выделим  x , соответствующую разбиению Tii 0'ii  x , соответствующую тем отрезкам разбиения, которые входят вi c; d  .n 1Так как i  0, x  0 , а сумма'  xii  x , очевидноявляется частью суммыiii 0n 1неравенство'i xi   i xi .i 0n 1Поскольку за счет выбора диаметра разбиения величину  xiiможно сделать меньшеi 0любого заданного   0 , то же верно и дляc; d  .◄'  x , что означает интегрируемость f  x  наiiМатематический анализI курс II семестрБилет 9.Свойства определённого интеграла (стр.

2 из 6)Теорема 9.2. Пусть f  x  интегрируема на отрезках  a; c  и  c; b  , a  c  b . Тогда онаинтегрируема и на отрезке  a; b  , причемcabbf  x  dx   f  x  dx   f  x  dxc3a►Доказательство По условию для любого   0 существует такое   0 , что дляразбиения отрезков  a; c  и  c; b  с диаметром меньшим  , выполняются неравенства  xii a ; c,3  xii c ;b . Рассмотрим теперь произвольное разбиение T отрезка  a; b  .3n 1  x    x    xЕсли точка c попала в число точек деления, то суммаii 0ii a ; ciii  3 3 c ;b Если же c не попала в число точек деления, то при некотором j, 0  j  n  1 ,c   x j ; x j 1  . Тогдаj 1n 1n 1 i xi  i xi   j x j   i xii 0i 0(4)i  j 1Обе суммы стоящие в правой части (4), не превосходят, соответственно,  xiiи a ; c  xii. c ;b Так как функция f  x  ограничена на  a; c  и  c; b  она ограничена и на всем отрезке a; b .

Пустьm и M соответственно, точная нижняя и точная верхняя грани её значения.Поэтому i  m  M .Следовательно, при достаточно малом d T  все три величины  x ,   x ,i a ; c j x j меньше, чем, а с ними и величина3iiiи c ;b n 1  xiii 0Таким образом, f  x  интегрируема на  a; b  .Равенство (3) сразу следует из равенстваa;c f i  xi   c ;b f i  xi    a ;b f i  xi(5),в котором в левой части стоят интегральные суммы, соответствующие произвольнымразбиениям отрезков  a; c  и  c; b  , а в правой части – интегральная сумма, соответствующаяразбиению отрезка  a; b  , среди точек деления которого есть точка c .

При стремлении к 0Математический анализI курс II семестрБилет 9.Свойства определённого интеграла (стр. 3 из 6)диаметра вышеупомянутого разбиения отрезка  a; b  обе суммы, стоящие в левой частиcравенства, стремятся, соответственно, к интеграламbf  x  dx иa f  x  dx ,bдоказали существованиеа так как мыcbf ( x)dx , то и правая часть равенства (5) стремиться кa f ( x)dx ◄aРавенство (3) выражает свойство аддитивности интеграла по отрезку. Заметим, что этосвойство, ввиду (1) останется верным при любом взаимном расположении a, b, c .Свойство 9.1. Если f  x  интегрируема на  a; b  , то для любого числа k функция kf  x bинтегрируема на  a; b  иb kf  x  dx  k  f  x  dxa(6)aСвойство 9.2. Если f  x  , g  x  - интегрируемы наbинтегрируема на  a; b  иb a; b ,  f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dxaaто функция f  x   g  x  -b(7)aДоказательство свойств 9.1.

и 9.2.►Доказательство Обозначим S f (T ), S g (T ), s f (T ), s g (T ) суммы Дарбу для f (x ) и g (x ) .Поскольку sup{kf ( x )}  k sup{ f ( x )}inf kf ( x)  k inf{ f ( x)} ,S kf (T )  s kf (T ) , что выполняется при d (T )   ввиду интегрируемости f (x) .kДалее, sup{ f ( x)  g ( x )}  sup{ f ( x )}  sup{ g ( x)}, inf{ f ( x)  g ( x)}  inf{ f ( x)}  inf{g ( x )} .Поэтому, при S f (T )  s f (T ) , S g (T )  s g (T )  , имеем:22S f  g (T )  s f  g (T )  S f (T )  s f (T )  S g (T )  s g (T )   .2 2Итак, интегрируемость в свойствах 1 и 2 доказана. Равенства (6) и (7) следуют теперь изочевидных равенств:  (kf , T , { })  k ( f , T , { }) и  ( f  g , T , { })   ( f , T ,{ }   ( g , T , { })для интегральных сумм при стремлении d (T ) к 0.◄Свойство 9.3.

Если f  x   0 на  a; b  ,  a  b  , и f  x  – интегрируема на  a; b  , тоb ( x)dx  0.aМатематический анализI курс II семестрБилет 9.Свойства определённого интеграла (стр. 4 из 6)►ПоусловиюTразбиенияивыбораs T   0, S T   0 и, т. к. s T   I  S  T  , тожеточек ,   f , T ,     0 .ПоэтомуI  0 .◄Свойство 9.4. Если f  x  , g  x  интегрируемы на  a; b   a  b  и для всех x   a; b  имеетbместо неравенство f  x   g  x  , тоb(8) ( x)dx   g ( x)dxaa►Доказательство По свойствам 9.2. и 9.3. функция f  x   g  x  интегрируема. Поbсвойству 9.3.,  ( g ( x)   ( x))dx  0.(9)abВновь по свойствам 9.2. и 9.3.,bb ( g ( x)  ( x))dx   g ( x)dx   f ( x)dx  0 Поэтому из (9)aaaследует (8).◄Свойство 9.5.

Пустьf  x  – интегрируема наb a; bи a b.Тогдаf  x-bинтегрируема на  a; b  и |   ( x)dx |  |  ( x) | dx.a(10)a► Известно, что для всех A, B A  B  A  B . Значит, x, xf  x   f  x   f  x   f  x  .

Из этого следует, что i - колебание функции f  x  на xi ; xi 1 отрезкеn 1iне превосходит колебания i функции xi ; xi 1  .Значит,n 1  x    xi 0f  x  наiii  при достаточно малом d T  . Это доказывает интегрируемостьi 0функции f  x  .n 1n 1Наконец, |  i  xi  i  xii 0(11)i 0(т. к. A0  ...  An 1  A0  ...  An 1 для любых чисел A0 ,..., An 1 ).Из (11) при d T   0 следует (10).◄Замечание 9.1. Из того, что f  x  интегрируема на  a; b  не следует, что f  x  –интегрируема на  a; b  .Математический анализI курс II семестрБилет 9.Свойства определённого интеграла (стр.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)