В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1109741), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

(без доказательства) K  R n компактно тогда и только тогда, когдаоно ограниченное (т.е. содержится в некотором шаре с центром в начале координат)и замкнутое.Математический анализI курс II семестрБилет 19. Функции и отображения. Предел, непрерывность (стр. 1 из 3)Билет 19. Функции и отображения.

Предел, непрерывность .Определение 19.1. Функция f ( x )  f ( x1 ,..., x n ), f ( x ) :   R сопоставляет элементаммножества   R n (называемого областью определения) числа y  R .Определение 19.2 Отображение f ( x ) : X  R m сопоставляет элементам множества  R n элементы y  R m .Таким образом, функция – это частный случай отображения (m  1) . Задатьотображение – это все равно, что задать m функций y1  f1 ( x1 ,..., xn ). y  f ( x ,..., x )m1n mПримеры.1. z  x  y - функция двух переменных, паре ( x, y ) сопоставляет число z , z  x  y . y1  x1  x 2  x32. Отображение R 3  R 2 .222 y 2  x1  x 2  x3 x  a cos t3. Вектор-функция R  R  y  a sin t , t  ( x, y , z ). Винтовая линия. z  bt13Пусть a  R n , b  R m , f : R n  R m , a - предельная точка области определения f .b  lim f ( x )  V (b) U (a )  x  U (a) f ( x )  V (b).xa“Конкретизируя” окрестности, это определение в метрических пространствах   0   0  x  U  (a) f ( x )  V (b) , или, для f : R n  R m  0   0  x : 0   ( x, a)    ( f ( x), b)   .

Или   0   0RnRmnx : 0 (xj 1j a j ) 2   выполняется неравенствоm ( f ( x)  b )1i 1i2(1)Математический анализI курс II семестрБилет 19. Функции и отображения. Предел, непрерывность (стр. 2 из 3)Теорема 19.1. f ( x) : R n  R m , lim f ( x)  b  i, i  1,..., m lim f i ( x)  bi .x ax a►Доказательство.m Поскольку ( f ( x)  b )i2il 1 max f i ( x)  bi , из (1) следует, что f i ( x )  bi   приi 1,..., mi  1,..., m . Но это как раз и означает, что lim f i ( x)  bi .x a Пусть   0 - фиксировано. Выберем  1 ,..., m так, чтобы при 0   ( x, a)   i. Взяв   min(  1 ,..., m ) получаем, что привыполнялось неравенство f i ( x )  bi m0   ( x, a)   выполняется следующее неравенство:m2  .◄i 1 mm ( f i ( x)  bi ) 2 i 1Определение 19.3. Отображение f (x ) непрерывно в точке a , если lim f ( x)  f (a).x aСогласно сказанному выше, непрерывность отображения f ( x )  ( f1 ( x),..., f m ( x))равносильна непрерывности всех функций f1 ( x ),..., f m ( x ) .Так же, как и в случае функций одной переменной, справедлива следующая теорема.Теорема 19.2.

Если lim f1 ( x)  A1 , lim f 2 ( x )  A2 , то lim ( f 1 ( x )  f 2 ( x))  A1  A2 ,x ax ax alim ( f 1 ( x )  f 2 ( x)  A1  A2 , и если A2  0 , то limx ax af 1 ( x)f 2 ( x)A1.A2Следствие. Сумма, разность, произведение и частное (при f 2 ( x)  0 ) непрерывныхфункций f1 ( x ) и f 2 ( x) являются непрерывными функциями.Теорема 19.3. Если y  f (x ) непрерывно в точке a  R n , b  f (a) , отображениеz  g ( y ) непрерывно в точке b  R m , то отображение z  g ( f ( x )) непрерывно в точкеa.►Доказательство.

Для всякой окрестности W ( g (b)) существует V (b) такая, что y  V (b) g ( y )  W ( g (b)) . Но V (b) U  (a ) :  x  U  (a) f ( x )  V (b) . Этаокрестность U  (a ) - искомая, т.к. f ( x )  V (b)  g ( f ( x))  W ( g (b)) .◄Теорема 19.4. (Теорема о сохранении знака непрерывной функции). Еслиf  C (a), f (a )  0, то U (a ) :  x  U (a ) f ( x)  f (a )  0 .Математический анализI курс II семестрБилет 19. Функции и отображения. Предел, непрерывность (стр. 3 из 3)►Доказательство.

Достаточно доказать, что если f (a)  0 , то и f ( x )  0 .f (a)получаем по определению непрерывности окрестность2f (a )f ( a)U (a ) такую что  x  U (a) : f ( x)  f (a)  f ( x)  0 .◄22Действительно, взяв  Теорема 19.5. (без доказательства) Непрерывный образ компактного множестваесть компактное множество.Замечание. Эта теорема непосредственно обобщает теоремы 1 семестра о том,что непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает наибольшего инаименьшего значений.Теорема 19.6. (без доказательства) Непрерывный образ связного множества (т.е.множества, любые 2 точки которого можно соединить кривой, целиком лежащейвнутри этого множества) есть связное множество.Замечание. Эта теорема обобщает теорему 1 семестра о том, что непрерывная наотрезке функция принимает все свои промежуточные значения.Теорема 19.7.

(Теорема Кантора). Непрерывная на компактном множестве Kфункция равномерно непрерывна на нем, т.е.   0   0 x1 , x 2 :  ( x1 , x 2 )  f ( x1 )  f ( x 2 )   .Математический анализI курс II семестрБилет 20. Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные(стр. 1 из 3)Билет 20.

Дифференцируемость функции многих переменных.Частные производные.Пусть f (x ) определена в некоторой окрестности точки a  R n , x - точка из этойокрестности.Определение 20.1. Величина f ( x)  f (a)  f (a) называется приращением функцииf в точке, a соответствующим приращению аргумента x  a  x .Определение 20.2. Функция f (x ) называется дифференцируемой в точке a , еслисуществуют такие постоянные числа A1 ,..., An и функции  i   i ( x),  i ( x)  0 приx  a, i  1,..., nf (a)  A1 ( x1  a1 )  ...  An ( x n  a n )   1 ( x1  a1 )  ...   n ( x n  a n )(1)Часто обозначают  x  x  a и  x i  x i  a i , i  1,..., n . Тогда (1) перепишем в видеnnf (a)   Ai xi    i ( x)xi ,  i ( x)  0, x  a, i  1,..., n .i 1i 1При n  1 наше определение (1) совпадает с известным из материалов 1-го семестраопределением дифференцируемостиf (x ) .

Для функций одной переменнойдифференцируемость равносильна существованию производной. В случае несколькихпеременных ситуация немного сложнее.Сначала введем в рассмотрение величину  i f (a)  f (a1 ,..., a i 1 , xi , ai 1 ,...a n ) . Онапредставляет собой приращение функции при фиксированных значениях всехпроизводных, кроме i-той.Пусть f (x ) дифференцируема в точке a . Тогда для любого i, i  1,..., n равенство (1)дает: i f (a )  Ai ( xi  ai )   i ( x )( xi  ai ) при x  a(2)Поскольку x  a при фиксированных значениях x j  a j , j  i равносильно тому,что xi  ai , равенство (2) означает, что функция одной переменной xi .f (a1 ,..., a i 1 , xi , ai 1 ,...a n ) дифференцируема в точке ai и, значит, существуетi f (a )deff(3)(a )  Aixi  aixi  aixiназываемый, по определению, частной производной функции f по переменной xi вlimточке a .Мы только что, тем самым, доказали теорему:Математический анализI курс II семестрБилет 20.

Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные(стр. 2 из 3)Теорема 20.1. Если f (x ) дифференцируема в точке a , то для всех i, i  1,..., nfсуществуют(a ) .xiТаким образом, существование частных производных – необходимое условиеnnfдифференцируемости. При этом f (a)  (a )xi    i ( x )xi ,  i ( x )  0, при x  a .i 1 xii 1Другое необходимое условие дифференцируемости – непрерывность функции, какпоказывает следующая теорема.Теорема 20.2. Если f (x ) дифференцируема в точке a , то f  C (a) .►Доказательство. Достаточно доказать, что при x  a , f (a)  0 , (т.к.f ( x)  f (a)  f (a) ).

Но это сразу следует из равенства (1), так как lim xi  0 .◄x aОднако, в отличие от случая n  1 , из существования частных производныхf(a ) ,xiопределенных равенством (3) не следует даже непрерывность функции f (x ) в точке a итем более не следует дифференцируемость f (x ) в точке a , согласно теореме 20.2.0, x1 x2  0f (x1 ,0)  f (0,0)fПример. n  2, f ( x1 , x2 )  . Тогда(0,0)  lim 0 , такx01x1x11, x1 x2  0fкак f (x1 ,0)  0 (x1  0  0) .

Аналогично,(0,0)  0 . Однако f ( x1 , x2 ) даже неx 2непрерывна в точке (0,0) .Достаточное условие дифференцируемости дает следующая теорема.Теорема 20.3. Пусть частные производныеfсуществуют в окрестности точкиx ia и непрерывны в этой точке. Тогда f (x ) дифференцируема в точке a .►Доказательство. Пусть x принадлежит рассматриваемой окрестности a . При этомвсе точки (a1 , x 2 ,..., x n ), (a1 , a 2 , x3 ..., x n ), (a1 ,..., a n1 , x n ) так же принадлежат рассматриваемойокрестности.

Приращение функции f ( x)  f (a) представим в виде:f ( x1 ,..., x n )  f (a1 , x 2 ,..., x n )  f (a1 , a 2 , x3 ,..., x n )  ...  f (a1 ,..., a n 1 , x n )  f (a1 ,..., a n ) (4)и рассмотрим разности:f ( a 1 ,..., a k 1 , x k ,..., x n )  f ( a 1 ,..., a k , x k 1 ,..., x n )составляющие в сумме приращение (4).(5)Математический анализI курс II семестрБилет 20. Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные(стр.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)