В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1109741), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

При этом касательная имеет уравнениеy  f ( x0 )  f ' ( x 0 )( x  x0 ) ) будем называть плоскость касательной к поверхности в точке( x 0 , y 0 , z 0 ) , если расстояние от точки M ( x, y, z) до этой плоскости есть бесконечно малаяболее высокого порядка, чемx  x0 2   y  y0 2при ( x, y )  ( x0 , y 0 ) .Рассмотрим некоторую плоскость, проходящую через точку ( x 0 , y 0 , z 0 ) :z  z0  A( x  x0 )  B ( y  y0 ) 2Из курса аналитической геометрии известно, что расстояние от точки поверхности( x, y , z ( x, y )) до плоскости (2) равно (нормальное уравнение плоскости):A( x  x0 )  B ( y  y0 )  ( z ( x , y )  z ( x0 , y0 ))3A2  B 2  1Если z ( x, y ) дифференцируема в точке ( x 0 , y 0 ) , то положим в (2)zzA  ( x0 , y0 ), B  ( x0 , y0 ) 4xyи заметим, что:zzz  z ( x0 , y 0 )  ( x0 , y0 )(x  x0 )  ( x0 , y0 )( y  y0 )   0 ( x, y)( x  x0 )   0 ( x, y )( y  y0 ),  5 xyгде  0 ( x, y ),  0 ( x, y )  0 при ( x, y )  ( x0 , y 0 ) .

Тогда из (3), (4), (5) следует, чторасстояние от рассматриваемой точки до плоскости есть 0 ( x, y )( x  x 0 )   0 ( x, y )( y  y 0 )  0 ( x, y )   0 ( x, y )( x  x 0 ) 2  ( y  y 0 ) 2 , что2222A  B 1A  B 1представляет собой бесконечно малую более высокого порядка, чем ( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2 .Обратно, если есть касательная плоскость (2), т.е.A( x  x 0 )  B ( y  y 0 )  ( z ( x, y )  z ( x 0 , y 0 ))  0 ( x, y ) x  x 0   0 ( x, y ) y  y 0 , где  ,   0A2  B 2  1при ( x, y )  ( x0 , y 0 ) то, раскрывая модуль, получаем, чтоz ( x, y )  z ( x 0 , y 0 )  A( x  x 0 )  B( y  y 0 )   ( x, y )( x  x0 )   ( x, y )( y  y 0 ) , где  ,   0 при( x, y )  ( x0 , y 0 ) , т.е.

z - дифференцируемая в точке ( x 0 , y 0 ) функция иzzA  ( x 0 , y 0 ), B  ( x0 , y 0 ) .xyМатематический анализI курс II семестрБилет 24. Производная по направлению, градиент (стр. 1 из 2)Билет 24. Производная по направлению, градиент.Пусть мы снова рассматриваем график функции z  z  x, y  и сечения этой поверхностиплоскостями, проходящими через точку M 0  x0 , y0  плоскости OXY и параллельными осиZ. В сечениях получаются кривые, проходящие через точку  x0 , y0 , z0  . Проекция такойкривой на плоскость OXY есть прямая линия, проходящая через точку M 0 .

Будемобозначать направляющий вектор этой прямой через l , а точки прямой – буквами М.Введём понятие величины отрезка M 0 M :M 0 M  длине отрезка M 0 M со знаком “+”, если M 0 M и l имеют одинаковыенаправления;M 0 M  длине отрезка M 0 M со знаком “-”, если M 0 M и l имеют разные направления;Предположим теперь, что мы рассматриваем некоторую плоскость, на ней фиксируемточку M 0 и направление l .

Пусть для этой точки плоскости определена величина z M  функция от точки М.Важно отметить, что пока мы не вводим никакой системы координат (точки наплоскости, направления и функции от точек можно определить без системы координат).Рассмотрим теперь точки М, лежащие на прямой, проходящей через M 0 в указанномz M   z M 0 направлении l и соответствующую величину; если существует предел этойM 0Mвеличины при стремлении М к М0 вдоль прямой, то он называется производной z(M) вzточке M0 по направлению l и обозначаетсяM 0  . Как мы видим, в определенииlпроизводной по направлению координаты не участвовали. Однако для получения простойформулы для вычисления этой производной удобно ввести систему координат.

Итак,пусть M 0 имеет координаты  x0 , y0  , М – координаты x, y  , l имеет координаты cos  ,sin   .Тогда, вводя параметризацию x  x0  t cos  , y  y0  t sin  , для прямой,соединяющейМ0сМ,М0М=t,получаем:z M   z M 0  z ( x0  t cos  , y0  t sin  )  z ( x0 , y0 ) (т. к. мы предположили, что z –M 0Mtдифференцируемавx0 , y0  )zx0 , y 0   t cos  z x0 , y 0   t sin    0 x0  t cos , y0  t sin    t cosxyt  x  t cos , y 0  t sin    t sin  zz 0 0  x0 , y 0 cos    x0 , y0 sin  txy  0  x0  t cos , y 0  t sin   cos   0  x0  t cos  , y0  t sin  sin  .Приt 0x0  t cos , y0  t sin    x0 , y0 и 0 , 0  0 .Поэтомуz M   z M 0  zzzM 0   Mlim ( x0 , y 0 ) cos    x0 , y 0  sin    z M 0 , l (1)M0lMM 0xyАналогично, в случае 3-х переменныхu uuucos  cos  cos    z M 0 , l (2)l xyzСкалярное произведение в правых частях (1) или (2) можно представить какМатематический анализI курс II семестрБилет 24.

Производная по направлению, градиент (стр. 2 из 2)u  M 0   cos  ,(3)поскольку l  1 , где  - угол между и M 0  и заданным направлением l .Мы видим, что выражение (3) имеет наибольшую величину, когда cos   1 . Этопозволяет определить градиент, как вектор, модуль которого равен наибольшей извеличин производных по направлению в этой точке.

А направление его как раз такое, вкотором производная достигает наибольшей величины. Это определение градиента, вкотором не участвуют координаты, позволяет рассматривать его как характеристикуфункции, не зависящую от наблюдателя.Установим ряд важных свойств градиента: пусть f1 x  и f 2 x  имеют все частныепроизводные 1-го порядка. Тогда1.  f1 x   f 2 x   f1 x   f 2 x  ;2. cf x   cf x  ;3.  f1 x   f 2 x   f1  x f 2 x   f 2 x f1  x  ;4.

Если f 2 x   0 , то f1 x  f 2 x f1 x   f1 x f 2 x ;f 2 x  f 2 x 25. Если F u  - функцияF  f x   F '  f x f x  .однойпеременной,имеющаяпроизводную,тоДоказательства всех этих свойств аналогичны. Разберем, например, свойство (3).Пусть, для определенности, x   x, y , z  . Тогда, по правилам дифференцирования,ffffff f1  f 2   f1 2  f 2 1 ,  f1  f 2   f1 2  f 2 1 ,  f1  f 2   f1 2  f 2 1 иxxx yyy zzz  ffffff   f1  f 2     f1  f 2  , f1  f 2  ,  f1  f 2     f1 2  f 2 1 , f1 2  f 2 1 , f1 2  f 2 1  yzxyyzz  x  x f1f 2  f 2f1Пусть r   x, y, z , r  r  x 2  y 2  z 2 .Найдёмxyz  r   x 2  y 2  z 2   r , r , r   ,, x y z   x 2  y 2  z 2x2  y2  z 2x2  y2  z2 r . rДля часто встречающихся в физике радиальных функций F r  согласно свойству (5)rполучаем: F r   F ' r r  F ' r   .rМатематический анализI курс II семестрБилет 25.

Производные высших порядков (стр. 1 из 3)Билет 25. Производные высших порядковЕсли функция f x обладает в некоторой окрестности точки a частной производной2fa , а эта производная обозначается  f a  . Далее индуктивным образом можноx jx i x jопределить производные более высокого порядка. Возникает вопрос: всегда ли2 f2 fa axi x jx j xiОтвет на него такой: нет, не всегда! Можно показать, что функция x2  y 2 22, x  y2  02 f xy0,0 и  f 0,0 .f  x, y    x 2  y 2имеет неравные производныеxyyx0, x  0, y  0Однако имеет место следующая теорема.Теорема 25.1.

Пусть f  x, y  определена в открытой области D и пусть в этойf f  2 f2 f2 f2 f,,,. Пустьинепрерывны в точкеxy yxx y xy yx22x0 , y0  . Тогда в этой точке  f x0 , y0    f x0 , y 0 xyyxобласти существуют►Доказательство.Пусть h, k  0 числа такие, что область D содержит все точки из прямоугольника состоронами от x 0 до x 0  h и от y 0 до y 0  k .1Пусть W h, k   f x0  h, y 0  k   f x 0  h, y 0   f x 0 , y 0  k   f x 0 , y 0  .hkf  x0  h, y   f  x0 , y f  x, y 0  k   f  x, y 0 ; тогда,   y kh1    x  h     x 0   1   y 0  k     y 0  W   0 h.khkПоложим   x  В промежутке x0 ; x 0  h  , по условию теоремы, функция   x  имеет производнуюfx, y0  k   f x, y 0 x '  x   xи, значит,   x  непрерывна, причем по теореме Лагранжаk1    x  h     x 0   1  ffW   0   x 0  1h, y 0  k    x0  1h, y 0   (вновь по теоремеkhx k  x2 fx0  1 h, y 0   2 k  , где 0  1  1 , 0   2  1 .Лагранжа) xyМатематический анализI курс II семестрБилет 25.

Производные высших порядков (стр. 2 из 3)С другой стороны, аналогично, получаем2 fx0   3 h, y0   4 k  , где 0   3  1 ,yx0  4  1.Следовательно, устремляя h, k  к 0,0 , получаем, ввиду непрерывности2 f2 flim W x0 , y 0  , lim W x0 , y0  . Таким образом, теорема доказана.◄ h , k 0 , 0  h , k 0 , 0 xyyxЗамечание. По аналогии можно доказать следующую теорему.Теорема 25.2. Пусть u  f  x1 ,..., x n  определена в открытой области D  R n иимеет в этой области всевозможные частные производные до n-го порядкавключительно и смешанные производные k -го порядка, причем все этипроизводные непрерывны в D . При этих условиях значение любой k -ой смешаннойпроизводной не зависит от того порядка, в котором производится последовательноедифференцирование.Например,4 f4 fи т.п.x 2 y 2 xy 2 x25.1. Дифференциалы высших порядков .Пусть u  f x  имеет непрерывные производные в области D  R n .

Тогдаnfdf x  dx ii 1 x i(1)При этом, если x1 ,..., x n - независимые переменные, то dx1 ,..., dx n можно считатьпостоянными величинами, не зависящими от x . Поэтому d 2 xi  0 , i  1,...., n .Пусть f x  имеет непрерывные частные производные 2-го порядка.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)