В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1109741), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Из условияx 2  y 2  1 следует2 xdx  2 ydy  0 ,22xxyy 2 22xdx  ydy  0 и в точке ,:  dx  dy   0 , т.е. dy  dx . В точке 2 2 222 2 2 ,  2  : 2 dx  dy   0 , т.е. снова dy  dx . 2 2 получается:  2 2dx2  0 ,Поэтому d 2   2dx 2  2 dx 2  4dx 2 , и в точке , 2 2 22 – получается 2 2dx2  0 , т.е. минимум.т.е. максимум, а в точке  ,2  2Вопрос о том, нет ли среди уравнений связи лишних, решается с помощью приема,описанного в конце билета (независимость функций)31.2.

Достаточные условия существования экстремума (условного).Для простоты изложения ограничимся функцией f  f  x1 , x2  от двух переменных,подчиненных условию g  x , x  . Предполагаем, что функции f , g обладают12непрерывными производными до второго порядка включительно и обозначаем, например,gf2 fи т.п. Для нахождения точки, в которой возможенgi ; fi , i  1, 2; f ij xixixi x jусловный экстремум, используем метод множителей Лагранжа, описанный ниже.Математический анализI курс II семестрБилет 31. Условный экстремум (стр.

4 из 7)Строим функцию ЛагранжаL x1, x2   f  x1, x2   g  x1, x2  .(отметим, что иногда пишут f  x1, x2   g  x1, x2  . Никакой разницы это не даст, т.к.уравнение g  x1, x2   0 равносильно уравнению  g  x1 , x2   0 ).Точки, в которых может быть условный экстремум, удовлетворяют системе L x  f 1   g1  0, 1 L f 2   g 2  0, x 2 L g  0. oДля того, чтобы выяснить, есть ли экстремум в найденной точке x (или одной изнайденных точек, если система имеет не одно решение), следует использовать второйдифференциал, как и в случае обычного экстремума.

Однако в рассматриваемом случаеg  x1, x2   0 , откуда дифференцируя, находим g1dx1  g 2dx2  0 , или, например,gdx2   1 dx1 .g2Кроме того, при условии g  x1 , x 2   0 рассматриваемая функция L x1 , x2  простосовпадает с f  x1, x2  и поэтому Li  fi , Lij  fij , где производные вычислены вoисследуемой точке x .2 g1  g1   2Итак, d f  d L  f11dx  2 f12 dx1dx2  f 22 dx   f11  2 f12      f 22     dx1  g2  g 2  dx 2  f11 g 22  2 f12 g1 g 2  f 22 g12  21g2222122Знак d 2 f (при условии что переменные x1, x2 связаны уравнением g  x1, x2   0 , откудаg dx2   1  dx1 ) совпадает со знаком величины g2 f11 g 22  2 f12 g1g 2  f 22 g12Для удобства запоминанияокаймленный гессиан):0g1g20g1g2g1g2L11L12L12  g1L22 g 2f11f12f12 f 22рассмотрим(8)определитель,(иногда(напомним, что в исследуемой точке d 2 f  d 2 L , поэтому Lij  f ij )называемыйМатематический анализI курс II семестрБилет 31.

Условный экстремум (стр. 5 из 7)(разложение по первой строке)  g1g1g2f12g g2 1f 22g2f11  g12 f 22  f12 g1g 2  g1g 2 f12  g 22 f11 f12  g12 f 22  2 f12 g1g 2  g 22 f11(9)Сравнивая (8) и (9) видим, что в рассматриваемой задаче знак второго дифференциалапротивоположен знаку окаймленного гессиана.0g1g2Поэтому если g1g2L11L12L12  0 , то d 2 f  0 и в точке x есть условный максимум,L22o0g1g2если g1g2L11L12L12  0 , то d 2 f  0 и в точке x есть условный минимум.

Вновь обратимL22oвнимание на то, что если уравнение связи g  x1, x2   0 можно решить, выразив, напримерx2  x2 x1  , то вопрос об условном экстремуме сведется к исследованию на экстремумобычных функций от одной переменной.Далее: НА ЭКЗАМЕНЕ НЕОБЯЗАТЕЛЬНО!31.3. Понятие независимости функцийРассмотрим систему функций y1  f1  x1 , x2 , , xn  , y2  f 2  x1 , x2 , , xn  , y  f  x , x , , x  ,m12n m(10)определенных и непрерывных, вместе со своими частными производными, в некоторойn -мерной открытой области D.Рассмотрим случай, когда значение одной из них, например y1 , однозначноопределяется совокупностью тех значений, которые принимают остальные функцииy , , y1j 1, y j  1 ,  , ym  .Точнее говоря, если 0 есть множество таких m  1 -мерных точек, отвечающихвсевозможным точкам  x1 ,  , xn  в D, то предполагается что в 0 будет иметь местофункциональная зависимостьy j    y1 ,  , y j 1 , y j 1 ,  , ym  ,(11)причем это равенство оказывается тождеством относительно x в D, если вместо всехy1 , подставить функции (10).

Тогда говорят, что в области D функция y1 зависит отостальных. Впрочем, для того, чтобы иметь возможность применять дифференциальноеМатематический анализI курс II семестрБилет 31. Условный экстремум (стр. 6 из 7)исчисление, мы включим в определение еще требование, чтобы функция  былаопределена и непрерывна со своими частными производными в некоторой открытойобласти  m  1 -мерного пространства, содержащей множество 0 .Если, в частности, одна из функций (10), y j , сводится к постоянной, то она явно будетзависеть от остальных: здесь можно просто положить   const .

Функции y1, y2 ,  , ymназываются вообще зависимыми в области D, если одна из них (все равно какая) зависитот остальных.Примеры.1) Если предположить y1  x1  x2    xn ,222 y2  x1  x2    xn , y3  x1 x2  x1x3  x2 x3    xn 1xn ,то нетрудно проверить, что во всем n -мерном пространстве будет выполнятьсятождество y2  y12  2 y3 .2) Аналогично для функций y1  x1 x2  x3 y2  x1 x3  x2232222 y3   x1  1 x2  x3    x1  1 x2 x3  x1  x3  x3 имеем тождественно (в трехмерном пространстве)y3  y13  y1 y2  y32 .Все это – зависимые функции.Если ни в области D, ни в какой-либо частичной, в ней содержащейся, области неимеет место тождество вида F  x, y1 ,..., yn  , то функции y1, y2 ,  , ym называютнезависимыми в области D.Ответ на вопрос о независимости функций дает рассмотрение так называемой матрицыЯкоби, составленной из частных производных этих функций по всем независимымпеременным:Математический анализI курс II семестрБилет 31.

Условный экстремум (стр. 7 из 7) y1 x 1 y2 x 1  ym x 1y1x2y2x2ymx2y1 xn y2 xn    ym xn 12 Предполагая n  m , имеем такую теорему:Теорема 31.1. Если хоть один определитель m -ого порядка, составленный изэлементов матрицы (12), отличен от нуля в области D, то в этой области функцииy1, y2 ,  , ym независимы.y1x1y1x2y1xm 0ymx1ymx2ymxm.(13)Если бы не равным нулю был не этот, а какой-нибудь другой определитель, то, изменивнумерацию переменных, можно было бы свести вопрос к случаю (13).► Доказательство теоремы будем вести от противного.

Предположим, что одна изфункций, например ym , выражается через остальные, так чтоym    y1, y2 ,  , ym 1  ,(14)хотя бы в некоторой части D0 области D.Продифференцировав это тождество по каждой из переменных xi i  1,  , m  , мыполучим ряд тождеств (в D0) видаym ym y1 ym y2ym ym 1, где i  1, 2,, m .x1 y1 xi y2 xiym 1 xiМы видим, что элементы последней строки определителя (13) получаются путемсложения соответственных элементов первых m  1 строк, умноженных предварительно наymyмножители,  , m .

Такой определитель, как известно, равен нулю. Этоy1ym 1противоречит условию теоремы. Полученное противоречие доказывает невозможностьравенства (14).◄Мате матиче с к ий анализI к у рс II с е мес трПрил оже ние 1. Матриц а Я коби и е ё с войс тва (с тр. 1 из 2)Приложение 1. Матрица Якоби и ее свойства.Пусть y1  f1  x1 ,..., x n ,..., y m  f m  x1 ,..., x n -функции,задающиенекотороеотображение из R n в R m .

Предположим, что эти функции имеют частны епроизводные по всем переменным x1 ,..., x n в некоторой точке x 0  x10 ,..., x n0 .Тогда матрицаf1 0  f1 x x0  x x  n 1 fm x  f m x 0  x 0xn 1называется матрицей Якоби. В сл учаеn  m  1 , т. е., когдарассмат ривается функция y  f  x  , то матрица Якоби состоит из одногоэлемент а f '  x0  . Поэтому эт у м атриц у можно считать обобщением понятияпроизводной. Как уже отмечалось, для дифференциала отображения,соответств ующего приращению d x  dx1 ,..., dx n  , имеем    f f1 0x  1 x0xn dy1   x1 d y      dy   f m   m x 0  f m x 0 xxn 1     dx  Предположим, что y1  f1  x1 ,..., x n ,..., y m  f m x  1    .  dxm и что, в свою очередь,x1   t1 ,..., t m ,..., x n   n t1 ,..., t m  Это приводит к сложному отображению (иликомпозиции отображений) y  f  t   F t  , где использованы краткие записи:y   y1 ,..., y m , f x    f1 x ,..., f m x  ,x   x1 ,..., x n  ,  t   1 t ,..., m t  ,t  t1 ,..., t m , F t   F1 t ,..., Fm t  ,  Fi t  fi  t .Для этого отображения, по теореме о производной сложной функции,Fi f i 1f  ...

 i  n ,поэтом у имеет место равенство:t j x1 t jx n t j F1 F1   f1 f1 t  t   x  xm n 1 1    Fm  Fm   f m  f m ttm   x1 xn n 1 1  t  t m  1 . n   n  ttm  1Мате матиче с к ий анализI к у рс II с е мес трПрил оже ние 1. Матриц а Я коби и е ё с войс тва (с тр. 2 из 2)В сл учае, когда m  n , определитель матрицы Якобиf1 f1x1 xkD  y1 ,..., yn называется якобианом отображения.D  x1 ,..., xn f n f nx1 xnПодоказанному,всл учаекомпозицииотображенийy   f1 x ,..., f m x  , x  1 t ,..., m t  , t  t1 ,..., t n выполняется равенствоD y1 ,..., y n  D y1 ,..., y n  D x1 ,..., xn .Dt1 ,..., t n Dx1 ,..., x n  Dt1 ,..., t n Если отображение y  f x  имеет обратное отображение, т.е.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)