В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1109741), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

3 из 3)Пусть  ( x k )  f (a1 ,..., a k 1 , x k ,..., x n ) (то есть фиксируем все переменные, кроме x k ).Тогда рассматриваемая разность (5) имеет вид  ( x k )   (a k ) . Функция  по условиюдифференцируема на отрезке, соединяющим a k и x k . Значит, она непрерывна на этомотрезкеиможноприменитьтеоремуЛагранжа,согласнокоторой ( x k )   (a k )   (a k   k ( x k  a k ))( x k  a k ) , где 0   k  1 .Но  (a k   k ( x k  a k )) Поf(a1 ,..., a k 1 , a k   k ( x k  a k ), x k 1 , x k ) .x kусловиюнепрерывностичастныхпроизводныхff(a1 ,..., a k   k ( x k  a k ), x k 1 , x k ) (a)   k ( x ) , где  k ( x)  0 при x  a .x kx kf(a)( x k  a k )   k ( x)( x k  a k ) , аx kприращение (4) совпадает с (1) из определения дифференцируемости.

Теорема доказана.◄Поэтому каждая из разностей (5) имеет видЗамечание 1. Непрерывность частных производных не является необходимымусловием дифференцируемости функций. Например можно доказать, что функция x 2 sin(1/ x )  y 2 sin(1/ y ), xy  0; 2 x sin(1/ x ), x  0 y  0;f ( x, y )   2дифференцируема в точке (0,0) , но частные y sin(1/ y ), x  0 y  0;0, x  0 y  0;производные в этой точке не непрерывны.Замечание 2. Тем не менее, для функции f ( x, y )  3 xy частные производные в точке(0,0) равны 0, так как f ( x,0)  0 и f (0, y )  0 (в остальных точкахf1 3 y ,x k 3 3 x 2f1 3 x и ясно, что эти производные терпят разрыв в точке (0,0) . Но приращениеy k 3 3 y 2xy  3 0  0 не имеет вид 0 x  0 y   1 ( x, y ) x   2 ( x, y ) y , где 1 ( x, y ),  2 ( x, y )  0 при( x, y )  ( 0,0) .Действительно,полагаяy  xипредполагая,что33xy  0 x  0 y   1 ( x, y ) x   2 ( x, y ) yполучаем3x 2  ( 1 ( x, x )   2 ( x, x)) x ,или11  ( 1 ( x, x)   2 ( x, x ))  x 3 что невозможно, так как при x  0 правая часть стремитсяк 0, а левая нет!Математический анализI курс II семестрБилет 21.

Достаточные условия дифференцируемости функции (стр. 1 из 2)Билет 21. Достаточные условия дифференцируемости функции.Достаточные условия дифференцируемостисодержатся в следующей теореме.функциинесколькихпеременныхf, i  1,..., n существуют вx iокрестности точки a и непрерывны в самой точке a . Тогда f дифференцируема вточке a .Теорема 21.1. Пусть частные производные► Доказательство.Ограничимся случаем n  2 .Пусть точки ( x1 , x2 ) и (a1 , a 2 ) принадлежат рассматриваемой окрестности U (a ) точкиa . Рассмотрим приращение функции в точке (a1 , a 2 ) : f ( x1 , x2 )  f (a1 , a 2 ) и представимего в виде:f ( x1 , x2 )  f (a1 , a 2 )  f ( x1 , x2 )  f (a1 , x2 )  f (a1 , x 2 )  f (a1 , a 2 ).(1)Зафиксировав x2 , рассмотрим функцию от переменной x1 вида1 ( x1 )  f ( x1 , x2 )  f (a1 , x2 ).(2)Поскольку в U (a ) существуют частные производные, функция  1 дифференцируемана любом промежутке, содержащем x1 и а1 .

Поэтому применим теорему Лагранжа,согласно которой1 ( x1 )  1 ' (a1  1x1 )x1 , где 0    1 .(3)По определению частной производной,.fa 1   1  x 1 , x 2 x1(4)fa 1   1  x 1 , x 2  x 1 x1(5)fa 1 , a 2   2  x 2  x 2x 2(6) 1 ' ( a1   1  x1 ) Поэтому.f ( x1 , x 2 )  f ( a1 , x 2 ) Аналогичным образом,.f (a1 , x 2 )  f (a1 , a 2 ) Из (1), (5) и (6) получаем:f ( x1 , x 2 )  f ( a1 , a 2 ) fa 1   1  x 1 , x 2  x1   f a 1 , a 2   2  x 2  x 2 x1x 2a1 x  a  1 x1  0 и  стремятся к точкеДалее, при  1  →   точки  1x2 x 2 0  a 2   2 x 2 (7) a1   . a2 Математический анализI курс II семестрБилет 21.

Достаточные условия дифференцируемости функции (стр. 2 из 2)Непрерывность частных производных в этой точке означает, что их можнопредставить в виде:fa 1   1  x 1 , x 2    f ( a 1 , a 2 )   1 (  x 1 ,  x 2 ) , x1 x1fa 1 , a 2   2  x 2    f ( a 1 , a 2 )   2 (  x 1 ,  x 2 )x 2x 2(8) x 0где  i (x1 , x 2 )  0 при  1  →   . x 2 0Из (7) и (8) следует:f ( x1 , x2 )  f (a1 , a2 ) ff(a1 , a2 ) x1 (a1 , a2 )x2  1 ( x1 , x2 ) x1   2 ( x1 , x2 ) x2 ,x1x2означающее дифференцируемость функции f .◄Математический анализI курс II семестрБилет 22.

Дифференциал. Производная сложной функции. Инвариантность формы первогодифференциала (стр. 1 из 3)Билет 22. Дифференциал. Производная сложной функции.Инвариантность формы первого дифференциала.Пусть f определена в некоторой окрестности точки a , и пусть в этой точкеfсуществуют(a ) , i  1,..., n .x iОпределение 22.1. Линейная функция от n независимых переменных h1 ,..., hn видаff(a )  h1  ... ( a )  hnx1x n(1)называется дифференциалом f в точке a и обозначается df (a ) .Каждую из независимых переменных xi , i  1,..., n можно рассматривать как функциюxxxi , причем i  1 , i  1,..., n , а для любого i и любого j  i имеем i  0 .xix jТогда, последовательно выбирая f  xi , i  1,..., n и применяя равенство (1), получаемdxi  0  h1  ...

 1  hi  0  hi 1  ...  0  hn  hi .(2)Подставляя в (1) вместо hi величину dxi согласно (2), получаем более частоупотребляемую запись дифференциала:df (a ) ff(a )dx1  ... (a )dx n .x1x n(3)Обычно величинам переменных hi придают значения xi приращений независимыхпеременных, не входящих при добавлении nx к рассматриваемой точке за границурассматриваемой области. Независимость переменных x1 ,..., x n означает, что если взятькакое-то приращение x  (x1 ,..., x n ) , то оно не меняется при переходе от одной точкиобласти к другой (а для зависимых переменных переход к другой точке вызываетсоответствующие изменения вектора x ).Поэтому выражение (3) можно заменить наdf (a ) ff(a )x1  ...

(a )x nx1x nдля независимых переменных x1 ,..., x n (для них, x i  dx i ).(4)Математический анализI курс II семестрБилет 22. Дифференциал. Производная сложной функции. Инвариантность формы первогодифференциала (стр. 2 из 3)Вспомним (см. билет 20) определение дифференцируемой функции: ее приращениеимело видf (a ) ff(a )x1  ... (a )x n   1 (x )x1  ...   n (x )x n ,x1x n(5)где  i (x )  0 при x  0 .Согласно (4), равенство (5) можно переписать в видеf (a )  df (a )   1 (x )x1  ...

  n (x )x n .(6)ff(a ),...,(a ) есть отличное от нуля, то df (a )x1x nпредставляет собой главную, притом линейную по x1 ,..., x n часть приращения.Оно означает, что если среди чисел fff (a )  (a ),...,(a )  .Тогдаx n x1df (a )  f (a ), dx  (скалярное произведение, причем Вектор градиента служитобобщением понятия производной функции.

Напомним, что df ( a )  f ' ( a ) dx .)Определим(покаформально)векторДля отображения f ( x )   f1 ( x ),..., f m ( x )  пространства R n в R m , состоящего из df 1 (a ) дифференцируемых функций, также можно определить дифференциал df (a )   ...  . df (a )  mПри этомff f1  f(a )dx1  ...  1 (a )dx n   1 (a )... 1 (a )  dxx nx n x1  x1 1 df ( a )  ...... ...   Jdx .f mf m f m  f m x (a )dx1  ...

 x (a )dx n   x (a )... x (a )  dx n nn 1  1Матрица J называется матрицей Якоби отображения f (свойства матрицы Якобиданы в приложении 1 к лекционному материала). Перейдем к вопросу о том, что будет вслучае зависимых переменных xi .Математический анализI курс II семестрБилет 22. Дифференциал. Производная сложной функции. Инвариантность формы первогодифференциала (стр. 3 из 3)Производнаядифференциаласложнойфункции.ИнвариантностьформыпервогоДопустим, что f дифференцируемая в точке a функция, xi  xi (t ) и xi (t 0 )  ai ,причем xi (t ) – дифференцируемые в точке t 0 функции. Положим F (t )  f ( x(t )) .

ТогдаF (t 0 )  f (a)  f ( x)  f (a )  f ( x1 (t ),..., x n (t ))  f (a1 ,..., a n ) ff(a )( x1 (t )  a1 )  ... (a )( x n (t )  a n )   1 ( x)( x1 (t )  a1 )  ...   n ( x)( x n (t )  a n ) x1x nff(a)( x1(t )(t  t0 )  1 (t )(t  t0 ))  ... (a)( xn (t )(t  t0 )   n (t )(t  t0 ))  1 ( x) x1xn( x1 (t )  1 (t ))(t  t0 )  ...   n ( x )( xn (t )   n (t ))(t  t0 ) , где  i  0 при t  t 0 .Правило 1В определении дифференцируемости можно доопределить функции  i (x ) в точке a ,положив  i (a)  0 .

Тогда при t  t 0 xi (t )  ai (а может быть, и принимает значения ai ).Но тогда  i ( x)  0 (так как  i (x ) у нас доопределены в точке a нулем) иnF (t 0 )flim(a )  xi (t 0 ) , таким образом:i t 0 t  ti 1 xi0nfF (t 0 )  (a)  xi (t 0 )i 1 xiПравило 2(7)Рассмотрим теперь случай, когда xi  xi (t1 ,..., tk ), i  1,..., n . Применяя полученноевыше правило, получим, в очевидных обозначенияхnF (t10 ,..., t n0 )xft  (t ,..., t ), x(t )  a,(a )  i (t 0 )t jt ji 1 xi0010n0(8)Равенства (7) и (8) дают правила вычисления производных сложных функций.Следствие 1. Инвариантность форм первого дифференциала.Пусть f  f ( x ), x  x (t ), F (t ) kk  nFf xidF (t )  dt j    j 1 t jj 1  i 1 x i t jf ( x (t )) .

Тогдаnkndt j   f  xi  fi 1 j 1 x i t ji 1 x ikx i tj 1jndt j  i 1f df .xiЭто означает, что как в случае независимых переменных x1 ,..., x n , так и в случаеnзависимых переменных df  i 1fdxi .xiМатематический анализI курс II семестрБилет 23. Касательная плоскость (стр. 1 из 1)Билет 23. Касательная плоскость.Пусть z  z ( x, y ) дифференцируема в точке ( x 0 , y 0 ) . Докажем, что существуеткасательная плоскость к этой поверхности в точке ( x 0 , y 0 ) и что она задается уравнением:z  z ( x0 , y0 ) zz( x0 , y 0 )( x  x0 ) ( x0 , y0 )( y  y0 )xy1 По аналогии с одномерным случаем (прямая называется касательной к кривой в точке x0 ,если расстояние от точки M до этой прямой представляет собой бесконечно малую болеевысокого порядка, чем x  x 0 при x  x 0 .

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)