В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1109741), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Теоремы о сравнении для несобственных интегралов от неотрицательных функций(стр. 2 из 2)f1 ( x) k  0,x  0 f ( x )2где f1 ( x), f 2 ( x) , как обычно, определены и интегрируемы в обычном смысле наТеорема 15.2. Пусть при a  x   f 1 ( x)  0 , f 2 ( x)  0 и пусть  limлюбом [ a; b] , где b   . Тогда либо оба интегралаf1 ( x )dx ,af2( x)dx сходятся, либоaоба расходятся.►Доказательство. Очевидно, что k  0 (т.к.

то что k  0 следует из свойств предела,kи k  0 по условию). Тогда для   , используя определение предела, получаем, что2f ( x)f ( x) 3kkkсуществует окрестность точки  такая, что в ней 1 k  или  1или,f 2 ( x)22 f 2 ( x) 2так как f 2 ( x)  0 ,k3kf 2 ( x)  f1 ( x ) f 2 ( x ) . Далее, если сходится22теореме 15.1, сходитсяka 2 f 2 ( x)dx и, значит,сходится3ka 2 f 2 ( x)dx и, значит, f ( x)dx ,1aто, поf 2 ( x )dx . Если сходитсяaf2( x )dx , тоa f ( x)dx . Теорема доказана.◄1a1)dx сходится.2x1111 ►Доказательство.

0  2  1 , значит, sin 2  0 и ln 1  sin 2   0 . Кроме того,xxx 22ln 1  sin 1 / xsin 1 / xlim lim 1 . (Использовали, что ln(1  t )  t , sin t  t при2x  x  1/ x1/ x 2t  0 ). Поэтому применима теорема 15.2. и сходимость доказана.◄Пример. Доказать, что интеграл  ln(1  sinМатематический анализI курс II семестрБилет 16. Абсолютно сходящиеся интегралы, условно сходящиеся интегралы (стр. 1 из 1)Билет 16. Абсолютно сходящиеся интегралы, условно сходящиесяинтегралы.Перейдем к несобственным интегралам.Определение 16.1. f ( x)dxназывается абсолютно сходящимся, если сходитсяabf ( x) dx (и, разумеется, еслиa f ( x)dxсуществует для любого b   ).aЛегко видеть, что абсолютно сходящийся интеграл сходится, что следует из критерияbКошисуществованияпределафункции,примененногоF (b)   f ( x)dxкиabb2ab1~F (b)   f ( x) dx . Дано, что   0 B ( )  0 b1 , b2  B( ) , b1 ,b2  b2тогдаf ( x ) dx   .

Ноb2f ( x)dx b1f ( x) dx   по свойству 9.5 и, значит, выполнен критерий Коши дляb1bF (b)   f ( x)dx .aВместе с тем, существуют сходящиеся интегралы f ( x)dxтакие, чтоaf ( x) dxaрасходится. Такие интегралы называются условно сходящимися. Примером служит1sin xsin xsin x0 x dx  0 x dx  1 x dx . Первое слагаемое – это собственный интеграл. Второйинтеграл,поопределению,равенbb  cos b cos1sin xsin xcos x   cos b dxlimdxlimdx  .

Так как lim   0, а1 x2bb  bx1 b 11 x bcos x1dxи- сходится, то рассматриваемый интеграл сходится.222xxx1С другой стороны, если бы сходился1следовало бы, чтоsin xxdx , то из неравенства sin x  sin 2 x21  cos 2 xsin xиdx - сходится. Но это не так, поскольку sin 2 x 2x11  cos 2 xdxcos 2 x1 x dx  1 x  1 x dx .

Причем первый из интегралов расходится, а второй –сходится, что можно доказать аналогично доказательству сходимостиsin xdx .x1Математический анализI курс II семестрБилет 17. Формулы приближённого интегрирования (стр. 1 из 3)Билет 17. Формулы приближенного интегрированияПусть f (x ) - непрерывная на отрезке [a, b] функция. Если удалось найти еёпервообразную F (x) , тоbf ( x ) dx  F ( b )  F ( a ).aОднако во многих задачах отыскать первообразную в виде элементарной функции неbудаётся. Тем не менее, интеграл f ( x)dxво многих случаях легко вычислить с требуемойaточностью, используя формулы приближённого интегрирования.Простейшая формула может быть получена так.

Разобьём всю фигуру – под графикомf на отрезке [a, b] - на вертикальные полоски равной ширины, а затем заменим каждуюиз этих полосок прямоугольником, за высоту которого примем величину f (i ) , гдеbaxi   i  xi 1 , i  0,1,..., n  1 и xi . При этом искомая площадь заменяетсяnплощадью некоторой состоящей из прямоугольников ступенчатой фигуры. Инымисловами, неполный интеграл заменяется его интегральной суммой. Эта приближеннаяx  xi 1формула носит название формулы прямоугольников. В ней обычно берут  i  iи2обозначают эту величину x1i2, а f  x 1   y 1 . Итак, формула прямоугольников (см. рис. 1) i  i2b f ( x)dx a2b  a y 1  y 3  ...

 y 1 n 2n  22 (1)Геометрические соображения – замена прямоугольника трапецией (см. рис. 2) –приводят к другой часто используемой формуле, формуле трапеций. В ней график f (x )заменяется ломаной с вершинами в точках ( xi , y i ) , где y i  f ( xi ) , i  0,..., n ; площадиb  a  y 0  y1 ,n  2 Сложив эти площади, получим формулу трапеций:получающихся трапеций равныb f ( x)dx ab  a  y1  y 2 b  a  y n 1  y n  ,…,.n  2 n 2b  a  y 0  yn y1  ...  y n 1 n  2(2)Какова точность этой формулы.

Без доказательства сообщим, что если f (x ) обладаетвторой производной f (x) на [a, b] , и если M 2  max f ( x ) , то абсолютная погрешностьx[ a ,b ]Rn формулы (2) удовлетворяет неравенствуRn  M 2(b  a) 3.12n 2Математический анализI курс II семестрБилет 17. Формулы приближённого интегрирования (стр. 2 из 3)Если вместо приближения графика функции ломаными линиями использоватьприближения параболами, то, для четного числа n получим формулуbh f ( x)dx  3 ( y0 yn )  4( y1  y3  ...  yn 1 )  2( y2  y4  ...

 yn 2 )  ,(3)aназываемую формулой Симпсона (параболической формулой).Точность этой формулы, при условии существования fтак:Rn (b  a ) 5M 4 , где M 4  max fx[ a ,b ]180n 4IVIV(x ) , x  [a, b] , оценивается( x)Попробуем теперь решить те же самые задачи, привлекая вероятностные соображения.1Для этого снова вернёмся к однократному интегралу f ( x)dxи вспомним, что0геометрически он представляет собой площадь области A , ограниченной графикомфункции f (x ) (рис.3).Проведём опыт, заключающийся в бросании случайным образом (т.е. в соответствии спринципом геометрической вероятности) двух точек на отрезок [0,1] . Обозначимкоординату одной из них через  , а другой – через  и отложим  и  по осям абсцисс иМатематический анализI курс II семестрБилет 17.

Формулы приближённого интегрирования (стр. 3 из 3)ординат соответственно (см. рис.3). Проверим выполнение неравенства   f ( ) .Справедливость этого неравенства означает, что точка ( , ) попала в область A . Но всоответствии с принципом геометрической вероятности вероятность P( A) попаданияточки ( , ) в область A есть отношение площади A к площади единичного квадрата, т.е.1P ( A)   f ( x)dx .0Повторим описанный выше опыт n раз и по результатам наблюдений определимnчастоту f  A появления события A , т.е. попадания точки ( , ) в область A .nПоскольку по теореме Бернулли частота f с ростом n стремится к вероятности P( A) , то,подставляя вместо вероятности P( A) ее значение, получаем приближенное равенство1 f ( x)dx 0f nA,nкоторое и служит для оценки интеграла по результатам случайных испытаний.Описанный метод приближенного вычисления определенного интеграла носитназвание метода статистических испытаний или метода Монте-Карло (город МонтеКарло – место сосредоточения всемирно известных игорных домов).

Название «методМонте-Карло» связано с тем, что проводимые испытания очень напоминаютподбрасывание монеты, бросание игральной кости или игру в рулетку.Имеетсясущественноекачественноеразличиемеждупогрешностями,возникающими при применении методов численного интегрирования и метода МонтеКарло. В первом случае при выполнении соответствующих условий можно датьгарантированную оценку точности, т.е. указать достоверные границы, в которыхобязательно будет заключено истинное значение вычисляемого интеграла.

Во второмслучае гарантированную оценку нельзя дать в принципе, а можно сказать только, чтоотклонение значения интеграла, вычисленного методом Монте-Карло, от истинногозначения этого же интеграла не превосходит некоторой величины с определеннойвероятностью.Математический анализI курс II семестрБилет 18. Пространство Rn, множества в нем (стр. 1 из 3)Билет 18. Пространство  n , множества в нём.Напомним, что арифметическое n-мерное пространство  n представляет собоймножество точек x  ( x1 ,..., xn ), xi  , i  1,..., n.Это векторное пространство с операциями суммы x  y и произведения на число  ,определяемыми такx  y  ( x1  y1 ,..., x n  y n ), y  ( y1 ,..., y n ). x  (x1 ,..., x n )Более того – это евклидово пространство со скалярным произведением( x  y )  x1 y1  ...  x n y n .

Следовательно, определена норма вектора x , равнаяnx x2iи расстояние между x и y ,заданное формулой:i 1n ( x, y )  x  y  (xi yi ) 2(1)i 1При n  2 и n  3 эта формула становится очевидной формулой для расстояний наплоскости и в пространстве, поэтому общую формулу (1) для расстояния можнорассматривать как естественное обобщение известных формул на случай n-мерногопространства.В курсе линейной алгебры было доказано:1. x, y  ( x, y )  0 , причем  ( x, y )  0  x  y ;2. x , y  ( x, y )   ( y , x) ;3. x , y , z  ( x, z )   ( x, y )   ( y , z ).Свойство 3 называется неравенством треугольника.Определение 18.1.

Множество, на котором определена функция  , обладающаясвойствами 1-3, называется метрическим пространством, а  - метрикой (илирасстоянием) а этом пространстве.Итак, R n - метрическое пространство с расстоянием  .Математический анализI курс II семестрБилет 18. Пространство Rn, множества в нем (стр. 2 из 3)Определение 18.2.

 - окрестностью точки a  R n называется множество точекx   n таких, что  ( x, a)   . Обозначим ее U  (a ) (рис. 1)Определение 18.3. Пусть a  A  R n . Тогда a называется внутренней точкой этогомножества, если   0 : U  a  A (рис. 2)Определение 18.4.

E  R n - открытое множество, если все его точки – внутренние.Примеры: интервал, круг без границы.Определение 18.5 Пусть A  R n . Точка a  R n называется предельной точкоймножества A , если   0 U  a  A   .Определение 18.6. F  R n называется замкнутым множеством, если оно содержит всесвои предельные точки.Примеры: отрезок, круг с границей.Замечание. Часто вместо «круглых» окрестностей рассматривают«прямоугольные», т.е. x : x i  ai   , i  1,..., n .Легко видеть, что каждую «круглую» окрестность можно вписать в «прямоугольную»и наоборот (рис. 3, 4).Математический анализI курс II семестрБилет 18.

Пространство Rn, множества в нем (стр. 3 из 3)Определение 18.7. Множество K называется компактным если из любойбесконечной системы открытых множеств G такой, что K   G можно выбратьконечное число  1 ,..., m так, что K  G1  ... G m .Иными словами, из любого покрытия K можно выделить конечное подпокрытие.Теорема 18.1.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)