В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1109741), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Задача овычислении площади плоской фигуры, ограниченной кривыми линиями, являетсявесьма актуальной. Отправной точкой считается понятие площадь треугольника. Этопонятие считается известным. Для того, чтобы определить площадь многоугольника,разобьём его на треугольники, вычислим площади этих треугольников ипросуммируем их. Следует доказать корректность этого определения. Это означает, чтоесли разбить многоугольник на треугольники другим способом, то его площадь отэтого не измениться.

Докажем это.►Возьмем два разбиения многоугольника на треугольники:Построим общее разбиение:Получится разбиениемногоугольников, которые можно«доразбить» до треугольников.Тогда площади частей как 1-го, так и 2-го разбиения получаются, как суммы площадеймаленьких треугольников из результирующего разбиения. Поэтому суммы частей 1-го и 2го разбиения.◄Площадь многоугольника обладает следующими свойствами:1. Площадь любого многоугольника неотрицательна;2. Если A , B - многоугольники, то S  A  B   S  A   S  B   S  A  B  ,в частности,если S  A  B   0 , то S  A  B   S  A   S  B  . Это свойство называетсяаддитивностью площади. Из него следует, что если A  B , то S  A   S  B  .Пусть теперь P - ограниченная плоская фигура. Рассмотрим множество  Aмногоугольников таких, что A  P и множество B многоугольников таких, что P  B .1Математический анализI курс II семестрБилет 5.

Площадь плоской фигуры (стр. 2 из 4)Множество площадей { S  A  } многоугольников A  P ограничено сверху площадьюлюбого многоугольника B такого, что P  B . Поэтому существует точная верхняя граньэтого числового множества, sup S  A  .A PАналогично, для множества площадей { S  B  }многоугольников B , P  B , существуетточная нижняя грань inf S  B  .P BОпределение 5.1. Плоская фигура P называется имеющей площадь (квадрируемыммножеством), если:sup{S ( A)}  inf{S ( B)}  S  P  ,P BA Bпри этом общее значение этих величин называется её площадью S  P  .Нетрудно заметить, что:1. Площадь любой квадрируемой фигуры P неотрицательна, т.к., по определениюпл.( P)  inf{пл.( B)}, а все S  B   0 .2.

Аддитивность площади, т.е. равенство S  Р1  Р2   S  Р1   S  Р2   S  Р1  Р2 также имеет место для квадрируемых фигур P1 , P2 .►Докажем это равенство в случае, когда S  Р1  Р2   0Пусть   0. Выберем многоугольники Ai , Bi , i  1, 2, так, чтобыAi  Pi  Bi , S  P1   S  Ai   , S  Bi   S  Pi   Тогда A1  A2  P1  P2  B1  B2 и44A1  A2  P1  P2 , откуда S ( A1  A2 )  S ( P1  P2 )  0, т.е. S ( A1  A2 )  0.Следовательно,   S ( P1 )  S ( P2 )  .4 42 S ( B1  B2 )  S ( B1 )  S ( B2 )  S ( P1 )  S ( P2 )    S ( P1 )  S ( P2 )  .4 42S ( A1  A2 )  S ( A1 )  S ( A2 )  S ( Р1 )  S ( Р2 ) Поэтому:S ( P1 )  S ( P2 )  S ( A1  A2 )  S ( B1  B2 )  S ( B1 )  S ( B2 )  S ( P1 ) 2 S ( P2 )  .2Ввиду произвольности числа   0, это означает, что P1  P2 имеет площадь, иS ( P1  P2 )  S ( P1 )  S ( P2 ), что и требовалось доказать.

◄2Математический анализI курс II семестрБилет 5. Площадь плоской фигуры (стр. 3 из 4)Теорема 5.1. Пусть P- плоская фигура, {R}- множество квадрируемых фигурR, R  P,{Q} - множество квадрируемых фигур и если sup{S ( R)}  inf {S (Q )}, то PRPPQквадрируемая фигура, причем её площадь равна общему значению этих величин.►Для доказательства достаточно для произвольного   0 выбрать сначалаквадрируемые фигуры R, Q так, чтобы R  P  Q и S (Q )  S ( R)  .

Затем выберем2многоугольники A и В, A  R  P  Q  B так, что S ( R )  S ( A)  , S ( B )  S (Q)  ,44  тогда S ( B)  S ( A)      .4 2 2Таким образом, для фигуры P можно выбрать многоугольники A и B так, чтоA  P  B и площади A и B столь угодно близки, что и означает квадрируемость P .◄5.2.Определение интеграла.Для дальнейшего потребуется понятие разбиения отрезка.Определение 5.2. Точки x0  a  x1  ...  x n 1  x n  b задают разбиение отрезка a; b .Для краткости будем обозначать разбиение буквой T .Обозначим xi  xi 1  xi , i  0,1,..., n  1.Определение 5.3.

Наибольшее из чиселxi , i  0,1,..., n  1 называется диаметромразбиения T и обозначается d (T ).Определение 5.4. Если произвольнымобразом выбрать точки  i ,  i  xi ; x i 1 , i  0,1,..., n  1, то получится разбиение T сотмеченными точками  i , i  0,1,..., n  1.Иногда, для краткости, будем обозначать набор точек  0 ,  1 ,...,  n1 символом  .Определение 5.5. Пусть функция f (x ) определена на отрезке a; b , и пусть заданоразбиение T этого отрезка с отмеченными точками  . Интегральной суммой называетсявеличинаn 1i 0f ( i )x i .Для обозначения интегральной суммы будем использовать символ  ( f ( x), T ,  ) , илипросто  .f  xДляf i xaiнеотрицательнойфункцииf (x )интегральная сумма  ( f ( x), T ,  ) представляетсобойпростоплощадьступенчатогомногоугольника,составленногоизпрямоугольников с основаниями xi , имеющихвысоты, равные f ( i ) .b3Математический анализI курс II семестрБилет 5.

Площадь плоской фигуры (стр. 4 из 4)Определение 5.6. Пусть существует число I  R такое, что для любого   0существует число  ( )  0 такое, что для любого разбиения T отрезка a; b ,удовлетворяющего условию d (T )   , и для любого выбора точек выполняетсяn 1неравенство f (i)xi  I   . Тогда функция f (x ) называется интегрируемой наi 0отрезкеa; b ,а число Iназывается ее интегралом по отрезкуa; b .Интегралbобозначается символом f ( x)dx.aИнтеграл – одно из важнейших понятий математического анализа, имеющеемногочисленные приложения к практическим задачам.

Именно с помощью этого понятияудастся решить задачу о площади фигуры, ограниченной кривыми линиями.5.3.Необходимое условие существования интеграла.Теорема 5.2. Если функцияограничена на [ a; b] .f (x ) интегрируема на отрезке [ a; b] , то она►Возьмем в определении интеграла  = 1 и рассмотрим соответствующее ему  .Пусть T – любое разбиение, удовлетворяющее условию d (T )   . Для того, чтобыубедиться в справедливости теоремы, достаточно доказать, что при всехj, (j  0,1,…, n  1) функция f (x ) ограничена на отрезке [ x j ; x j 1 ] , т.е. f ( x )  M j .Действительно, тогда для M  max( M 0 ,..., M n1 ) имеем при x  [ a; b] : f ( x)  M , т.к. xвходит в некоторый отрезок [ x j ; x j 1 ] и, значит f ( x)  M j  M .Выберем любое j , ( j = 0,1,…, n  1) и представим интегральную сумму  ( f , T ,  ) ввиде:j 1i 0n 1f ( i )xi  f ( j )x j  f ( )xii(1)i  j 1Зафиксируем произвольным образом числа 0 ,  j 1 ,  j 1 ,  n 1 выбранные всоответствующих промежутках.

При этом первое и третье слагаемые в равенстве (1)примут определенное фиксированное значение. Обозначим сумму этих слагаемых буквойJ . Таким образом, при любом  j  [ x j ; x j 1 ] : ( f , T ,  )  J  f ( j )x j(2)По условию, функция интегрируема, значит |  ( f , T ,  )  I |<1, т.е.–1<  ( f , T ,  )  I <1, или I  1   ( f , T ,  )  I  1 , откуда, учитывая (2):I  1  J  f ( j ) x j  I  1, I  J  1  f ( j ) x j  I  J  1 ,I  J 1I  J 1 f ( j ) (3)x jx jЛевая и правая части неравенства (3) представляют собой величины, не зависящие от I  J 1 I  J 1 M .◄ j . Поэтому неравенство (3) означает, что f ( j )  max ,j x jxj4Математический анализI курс II семестрБилет 6. Суммы Дарбу и их свойства (стр. 1 из 4)Билет 6.Суммы Дарбу и их свойстваПри исследовании вопроса о существовании интеграла важную роль играют суммыДарбу (Г.

Дарбу (18421917)).По доказанной в пункте 2 билета 5 теореме f  x  ограничена на  a, b  и, следовательно,для любого разбиения T отрезка она ограничена на всех отрезках  xi , xi 1  (т.е. множество еёзначений на этом отрезке ограничено сверху и снизу). Обозначим M i  точную верхнююгрань, аmi xi , xi1  , i  0, 1, точную нижнюю грань множества значений функцииf  xна..., n  1.n 1n 1Определение 6.1. Числа S T    M i xi и s  T    mi xi называются, соответственно,i 0i0верхней и нижней суммами Дарбу функции f  x  для разбиения T на отрезке  a, b  .Теорема 6.1. Верхняя сумма Дарбу S T  представляет собой точную верхнюю грань,а нижняя сумма Дарбуs T  точную нижнюю грань множества значенийинтегральных сумм при заданном разбиении T и всевозможных выборах точек   .► Проведем его для верхней суммы Дарбу.

Для нижней суммы рассужденияаналогичные.Во-первых, для любого i и для любой точки i   xi , xi 1  имеет место неравенствоf i   M i (по определению M i ). Значит,f  i  xi  M i xi i  0, 1, ..., n  1.(1)Суммируя неравенства (1) по всем i  0, 1, ..., n  1, получаем:n 1n 1i0i 0  f , T ,    по всевозможным выборам   . f , T ,     f i  xi   M i xi  S T . То есть S T  — верхняя грань множестваОсталось доказать, что S T  — точная верхняя грань.

Для этого возьмем произвольное  0. Поскольку M i — точная верхняя грань множества значений f  x  на отрезке  xi , xi 1  ,i  0, 1, ..., n  1 существует точка i   xi , xi 1  такая, чтоf i   M i , i  0, 1, ..., n  1 иbaf  i  xi  M i xi xi, i  0, 1, ..., n  1.ba(2)Суммируя неравенства (2) по i  0, 1, ..., n  1, получаем, что1Математический анализI курс II семестрБилет 6. Суммы Дарбу и их свойства (стр. 2 из 4) f , T ,  n 1n 1n 1xi n1  f i  xi   M i xi   S T   xi  S T    ,b  a i 0i0i 0i 0 b  an 1т.к. xi b  a (суммарная длина отрезков, составляющих отрезок  a; b  , равна длинеi 0этого отрезка).Итак, доказано, что для любого   0 можно так выбрать точки  0 , ..., n 1 , что  f , T ,    S T    , что как раз, и означает, что S T   sup  f , T ,   , где верхняягрань взята по всевозможным выборам точек  0 , ..., n 1 , .

Теорема доказана.◄Замечание. Очевидны неравенства: s  T    f , T ,    S T  .ya o x1 1x2 2xn-2n- 2 xn-1 n-1 bxЗаметим,чтонижняясуммаДарбу,соответствующаяразбиениюa  x0  x1  ...  xn 1  xn  b, представляет собой площадь многоугольника, верхняя границакоторого на рисунке есть нижняя ломаная, отмеченная жирной линией.Верхняя сумма Дарбу — это площадь многоугольника, верхняя граница которого —верхняя из 3 ломаных линий, отмечена еще более жирной линией.Наконец, интегральная сумма, соответствующая выбору точек  0 , ..., n 1 , — этоплощадь многоугольника, верхняя граница которого на рисунке заключенамеждуописанными выше линиями и изображена простой линией.2Математический анализI курс II семестрБилет 6.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)