В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1109741)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Московский Государственный Университетим. М.В.ЛомоносоваХимический факультет.Пособие для подготовки к экзамену поматематическому анализу для студентов общегопотока.Второй семестр.Лектор – проф. В.Г.ЧирскийМосква, 2010Уважаемый коллега!Перед вами конспект лекций по математическому анализу проф. В.Г. Чирского. Конспектсоставлен на основе работы предшественников с исправлениями, внесёнными редакцией.Отдельная благодарность выражается редактору Максимовой А.Г., наборщику Яско И.С. атакже разработчику стиля Денисову С.С. Удачи на экзамене.Гл.

редактор Каменев Е.И.Математический анализI курс II семестрБилет 1. Неопределенный интеграл и его свойства.Таблица неопределенных интегралов (стр. 1 из 8)Билет 1. Неопределённыё интеграл и его свойства. Таблицанеопределённых интегралов1.1.Основное определениеПусть f x  определена в промежутке X . Функция F  x  называется первообразнойфункцией для f x  , если для любого x  X выполняется равенство: F x   f  x  .1.2.Основная лемма интегрального счисленияЕсли в некотором промежутке X (конечном или бесконечном) функция F  x  являетсяпервообразной для f x  , то и любая функция F x   C - тоже является первообразной дляf x  ; и обратно: для любой функции  x   F x   C .►Доказательство Очевидно, F  x   C   F   x   0  f  x доказана.

Пусть  x  - какая-либо первообразнаяи первая часть теоремыдля f (x) . Рассмотрим разность x   F  x   x   F x   f x   f x   0 . Последствию из теоремы Лагранжа получим, что   x   F  x   C , что и требовалось доказать. x   F  x  . Производная этой функции◄Множество первообразных для функции f x  на заданном промежутке называется еёнеопределённым интегралом и обозначается f x dx .По доказанной лемме, оно имеет следующую структуру: f x dx  F x   C, где F x -произвольная первообразная, а C - произвольная постоянная.

Обычно используетсяобозначение f  x  dx  F  x   C ,в котором первая часть раенства обозначает не одну из функций, а всё семейство функций,образующих интеграл.1.3.Таблицы основных интеграловКаждая формула F x   f  x  сразу приводит к соответствующей формуле f x dx  F x   C .Поэтому, используя формулы для произвольных элементарных функций получимследующую таблицу:1. 0  dx  CМатематический анализI курс II семестрБилет 1.

Неопределенный интеграл и его свойства.Таблица неопределенных интегралов (стр. 2 из 8)2.1  dx  x  Cx  13.  x dx  C ,   1 . 14.dx ln x  C1 , если x  0,x ln   x   C2 , если x  0.(1) 2Эти формулы часто соединяют в одну: ln x  C . При этом следует иметь в виду, что1, состоит из двух промежутков,xзадаваемых неравенствами x  0 и x  0 , соответственно. На каждом из этихпромежутков постоянную можно выбирать независимо, что и отражено в формуле (2).Так что формулу ln x  C не следует понимать так, что к функции ln x прибавляетсямножество, на котором определена функция f  x  одна и та же постоянная С как при x  0 , так и при x  0 . Еще раз повторим – точныйсмысл отражен в формуле (2).Это же замечание можно сделать для формулы (1) при   0 и таком, что x определена как при x  0 , так и при x  0 .dx5. 1 x6.7.x a dx 8. sin xdx   cos x  C ,9. cos xdx  sin x  C ,10. sin2 arctgx  C ,dx1 x2dx2x arcsin x  C ,ax C , в частности,  e x dx  e x  Cln a ctgx  C ,и, так как функция определена на бесконечном множестве промежутковn  x   n  1 , n  Z , для каждого n следует выбирать свою постоянную C n .Математический анализI курс II семестрБилет 1.

Неопределенный интеграл и его свойства.Таблица неопределенных интегралов (стр. 3 из 8)11.dx cos2x tgx  C ,разумеется, замечание, аналогичное сделанному в п.10, справедливо и здесь.1.4.Правила интегрирования  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx. f  x   g  x  dx   f  x   g  x  ►    f  x   g  x   dx   f  x dx   g  x dx ◄  f  x dx   g  x dx   f  x   g  x  Если a  0 , то af x dx  a  f x dx .►Доказательство аналогично предыдущему◄Замечание. При a  0 формула не верна по двум причинам.

Во-первых, может несуществовать интеграл в правой ее части, в то время как интеграл в левой ее частисуществует для любой функции f  x  и равен произвольной постоянной. Во-вторых, в случаесуществования интеграла f  x  dx правая часть в формулеравна 0 и опять не совпадает сее левой частью.С помощью этих правил и формул из таблицы неопределенных интегралов можновычислить интегралы всех целых рациональных функций и некоторых других функций,представимых в форме суммы тех функций, интегралы которых могут быть найдены.Например, имеемnnnkk  ak x dx  ak  x dx   akk 0k 0k 0x k 1C ,k 1dxsin 2 x  cos 2 xdxdx sin 2 x cos2 x  sin 2 x cos2 x dx   cos2 x   sin 2 x  tgx  ctgx  C .1.5.331x  1 dx   x 2 dx  3 xdx  3 x 2 dx   dx 32 52 3 2x  x  2x 2  x  C .52Интегрирование по частямПредыдущие правила не дают указаний на способы вычисления интегралов, например, отфункций x ln x , x n e x .

Для того, чтобы продвинуться дальше, рассмотрим приеминтегрирования, обратный приему дифференцирования произведения двух функций.Математический анализI курс II семестрБилет 1. Неопределенный интеграл и его свойства.Таблица неопределенных интегралов (стр. 4 из 8)Из равенства d UV   UdV  VdU следует, что  d UV    UdV   VdU . Отсюда UdV   d UV    VdU .Но интеграл от дифференциала функции совпадает с этой функцией или отличается отнее на постоянную величину; т.е.,  d UV   UV .

Учитывая это, получимUdV  UV  VdU .(3)Здесь мы не писали произвольной постоянной первого интеграла потому, что такаяпостоянная имеется во втором интеграле (сумма двух произвольных постоянных –произвольная постоянная).Формула (3) называется формулой интегрирования по частям.Рассмотрим примеры применения этой формулы:1.xln xdx ,   1.Полагая U  ln x , dU  x ln xdx dxx 1, dV  x  dx , V , находимx 1x 1x 1 dx x 11x 1x 1ln x   ln x xdxlnxC . 1 1 x  1 1  1  12В частности,  ln xdx  x ln x  x  C .2. xexdx .В первом примере у нас не могло быть двух мнений по поводу выбора множителей U иdV . Там мы не могли положить dV  ln xdx , потому что в этом случае мы не знали бы, чемуравно V (первообразная от логарифмической функции нам была неизвестна). Множители xи e x в этом смысле кажутся одинаково удобными.

Однако при определении множителей U иdV нужно руководствоваться тем, что в итоге применения формулы интегрирования почастям должен получиться более простой интеграл. Иными словами, выражениеdUdVVdU  V dx должно быть проще выражения UdV  U dx . Значит, за U берем тот изdxdxмножителей, производная которого больше упрощается. Полагаем:U  x , dU  dx , dV  e x dx , V  e x .При этом xexdx  xe x   e x dx  xe x  e x  C .Математический анализI курс II семестрБилет 1.

Неопределенный интеграл и его свойства.Таблица неопределенных интегралов (стр. 5 из 8)3.2 x x e dx .Полагая U  x 2 , dU  2 xdx , dV  e x dx , V  e x , находим2 x2 x e dx  x ex  2  xe x dx  x 2 e x  2  xd e x  x 2 e x  2 xe x  2  e x dx  x 2 e x  2 xe x  2e x  C .Два последних примера позволяют сделать вывод, что интеграл от функции P x e x( P x  - многочлен) представляется в форме:nnxkxk e  ak x dx  e  Ak x  C .k 0k 0Для определения коэффициентов Ak следует продифференцировать обе части равенства иприравнять коэффициенты при подобных слагаемых. Такой прием интегрированиявстретится и в других случаях.Здесь мы рассмотрим только один пример такого рода.4. e 2 xx2Пишем x  1 dx . 2 x2 x  1 e x dx  e x A0  A1 x  A2 x 2  C .Дифференцируя обе части равенства: e 2xx2 x  1dx  e x  2 x 2  x  1  e x  A0  A1 x  A2 x 2   e x  A1  2 A2 x   e x  A0  A1    A1  2 A2  x  A2 x 2  .Так как e x  0 , то2 x 2  x  1   A0  A1    A1  2 A2 x  A2 x 2 .Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , имеемA2  2, A1  2 A2  1, A0  A1  1  A1  3, A0  4Окончательно, e 2 xx5.ex2 x  1 dx  e x 4  3x  2 x 2  C .sin xdx .В этом примере производные функций e x и sin x не упрощаются.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)