Главная » Просмотр файлов » В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока

В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1109741)

Файл №1109741 В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока)В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1109741)2019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Московский Государственный Университетим. М.В.ЛомоносоваХимический факультет.Пособие для подготовки к экзамену поматематическому анализу для студентов общегопотока.Второй семестр.Лектор – проф. В.Г.ЧирскийМосква, 2010Уважаемый коллега!Перед вами конспект лекций по математическому анализу проф. В.Г. Чирского. Конспектсоставлен на основе работы предшественников с исправлениями, внесёнными редакцией.Отдельная благодарность выражается редактору Максимовой А.Г., наборщику Яско И.С. атакже разработчику стиля Денисову С.С. Удачи на экзамене.Гл.

редактор Каменев Е.И.Математический анализI курс II семестрБилет 1. Неопределенный интеграл и его свойства.Таблица неопределенных интегралов (стр. 1 из 8)Билет 1. Неопределённыё интеграл и его свойства. Таблицанеопределённых интегралов1.1.Основное определениеПусть f x  определена в промежутке X . Функция F  x  называется первообразнойфункцией для f x  , если для любого x  X выполняется равенство: F x   f  x  .1.2.Основная лемма интегрального счисленияЕсли в некотором промежутке X (конечном или бесконечном) функция F  x  являетсяпервообразной для f x  , то и любая функция F x   C - тоже является первообразной дляf x  ; и обратно: для любой функции  x   F x   C .►Доказательство Очевидно, F  x   C   F   x   0  f  x доказана.

Пусть  x  - какая-либо первообразнаяи первая часть теоремыдля f (x) . Рассмотрим разность x   F  x   x   F x   f x   f x   0 . Последствию из теоремы Лагранжа получим, что   x   F  x   C , что и требовалось доказать. x   F  x  . Производная этой функции◄Множество первообразных для функции f x  на заданном промежутке называется еёнеопределённым интегралом и обозначается f x dx .По доказанной лемме, оно имеет следующую структуру: f x dx  F x   C, где F x -произвольная первообразная, а C - произвольная постоянная.

Обычно используетсяобозначение f  x  dx  F  x   C ,в котором первая часть раенства обозначает не одну из функций, а всё семейство функций,образующих интеграл.1.3.Таблицы основных интеграловКаждая формула F x   f  x  сразу приводит к соответствующей формуле f x dx  F x   C .Поэтому, используя формулы для произвольных элементарных функций получимследующую таблицу:1. 0  dx  CМатематический анализI курс II семестрБилет 1.

Неопределенный интеграл и его свойства.Таблица неопределенных интегралов (стр. 2 из 8)2.1  dx  x  Cx  13.  x dx  C ,   1 . 14.dx ln x  C1 , если x  0,x ln   x   C2 , если x  0.(1) 2Эти формулы часто соединяют в одну: ln x  C . При этом следует иметь в виду, что1, состоит из двух промежутков,xзадаваемых неравенствами x  0 и x  0 , соответственно. На каждом из этихпромежутков постоянную можно выбирать независимо, что и отражено в формуле (2).Так что формулу ln x  C не следует понимать так, что к функции ln x прибавляетсямножество, на котором определена функция f  x  одна и та же постоянная С как при x  0 , так и при x  0 . Еще раз повторим – точныйсмысл отражен в формуле (2).Это же замечание можно сделать для формулы (1) при   0 и таком, что x определена как при x  0 , так и при x  0 .dx5. 1 x6.7.x a dx 8. sin xdx   cos x  C ,9. cos xdx  sin x  C ,10. sin2 arctgx  C ,dx1 x2dx2x arcsin x  C ,ax C , в частности,  e x dx  e x  Cln a ctgx  C ,и, так как функция определена на бесконечном множестве промежутковn  x   n  1 , n  Z , для каждого n следует выбирать свою постоянную C n .Математический анализI курс II семестрБилет 1.

Неопределенный интеграл и его свойства.Таблица неопределенных интегралов (стр. 3 из 8)11.dx cos2x tgx  C ,разумеется, замечание, аналогичное сделанному в п.10, справедливо и здесь.1.4.Правила интегрирования  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx. f  x   g  x  dx   f  x   g  x  ►    f  x   g  x   dx   f  x dx   g  x dx ◄  f  x dx   g  x dx   f  x   g  x  Если a  0 , то af x dx  a  f x dx .►Доказательство аналогично предыдущему◄Замечание. При a  0 формула не верна по двум причинам.

Во-первых, может несуществовать интеграл в правой ее части, в то время как интеграл в левой ее частисуществует для любой функции f  x  и равен произвольной постоянной. Во-вторых, в случаесуществования интеграла f  x  dx правая часть в формулеравна 0 и опять не совпадает сее левой частью.С помощью этих правил и формул из таблицы неопределенных интегралов можновычислить интегралы всех целых рациональных функций и некоторых других функций,представимых в форме суммы тех функций, интегралы которых могут быть найдены.Например, имеемnnnkk  ak x dx  ak  x dx   akk 0k 0k 0x k 1C ,k 1dxsin 2 x  cos 2 xdxdx sin 2 x cos2 x  sin 2 x cos2 x dx   cos2 x   sin 2 x  tgx  ctgx  C .1.5.331x  1 dx   x 2 dx  3 xdx  3 x 2 dx   dx 32 52 3 2x  x  2x 2  x  C .52Интегрирование по частямПредыдущие правила не дают указаний на способы вычисления интегралов, например, отфункций x ln x , x n e x .

Для того, чтобы продвинуться дальше, рассмотрим приеминтегрирования, обратный приему дифференцирования произведения двух функций.Математический анализI курс II семестрБилет 1. Неопределенный интеграл и его свойства.Таблица неопределенных интегралов (стр. 4 из 8)Из равенства d UV   UdV  VdU следует, что  d UV    UdV   VdU . Отсюда UdV   d UV    VdU .Но интеграл от дифференциала функции совпадает с этой функцией или отличается отнее на постоянную величину; т.е.,  d UV   UV .

Учитывая это, получимUdV  UV  VdU .(3)Здесь мы не писали произвольной постоянной первого интеграла потому, что такаяпостоянная имеется во втором интеграле (сумма двух произвольных постоянных –произвольная постоянная).Формула (3) называется формулой интегрирования по частям.Рассмотрим примеры применения этой формулы:1.xln xdx ,   1.Полагая U  ln x , dU  x ln xdx dxx 1, dV  x  dx , V , находимx 1x 1x 1 dx x 11x 1x 1ln x   ln x xdxlnxC . 1 1 x  1 1  1  12В частности,  ln xdx  x ln x  x  C .2. xexdx .В первом примере у нас не могло быть двух мнений по поводу выбора множителей U иdV . Там мы не могли положить dV  ln xdx , потому что в этом случае мы не знали бы, чемуравно V (первообразная от логарифмической функции нам была неизвестна). Множители xи e x в этом смысле кажутся одинаково удобными.

Однако при определении множителей U иdV нужно руководствоваться тем, что в итоге применения формулы интегрирования почастям должен получиться более простой интеграл. Иными словами, выражениеdUdVVdU  V dx должно быть проще выражения UdV  U dx . Значит, за U берем тот изdxdxмножителей, производная которого больше упрощается. Полагаем:U  x , dU  dx , dV  e x dx , V  e x .При этом xexdx  xe x   e x dx  xe x  e x  C .Математический анализI курс II семестрБилет 1.

Неопределенный интеграл и его свойства.Таблица неопределенных интегралов (стр. 5 из 8)3.2 x x e dx .Полагая U  x 2 , dU  2 xdx , dV  e x dx , V  e x , находим2 x2 x e dx  x ex  2  xe x dx  x 2 e x  2  xd e x  x 2 e x  2 xe x  2  e x dx  x 2 e x  2 xe x  2e x  C .Два последних примера позволяют сделать вывод, что интеграл от функции P x e x( P x  - многочлен) представляется в форме:nnxkxk e  ak x dx  e  Ak x  C .k 0k 0Для определения коэффициентов Ak следует продифференцировать обе части равенства иприравнять коэффициенты при подобных слагаемых. Такой прием интегрированиявстретится и в других случаях.Здесь мы рассмотрим только один пример такого рода.4. e 2 xx2Пишем x  1 dx . 2 x2 x  1 e x dx  e x A0  A1 x  A2 x 2  C .Дифференцируя обе части равенства: e 2xx2 x  1dx  e x  2 x 2  x  1  e x  A0  A1 x  A2 x 2   e x  A1  2 A2 x   e x  A0  A1    A1  2 A2  x  A2 x 2  .Так как e x  0 , то2 x 2  x  1   A0  A1    A1  2 A2 x  A2 x 2 .Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , имеемA2  2, A1  2 A2  1, A0  A1  1  A1  3, A0  4Окончательно, e 2 xx5.ex2 x  1 dx  e x 4  3x  2 x 2  C .sin xdx .В этом примере производные функций e x и sin x не упрощаются.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6366
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее