В.Г. Чирский - Пособие для подготовки к экзамену по математическому анализу для студентов общего потока (1109741), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Положим поопределению n f n  f n  2 f2 f2d f x  d df x  d  dxi    d dxi    dxi dx1  ... dxi dxn  xi xn i 1 xi i 1  xi i 1  xi x1    n2 fdxi dx jj 1 xi x jn i 1(2)Здесь мы воспользовались тем, что d 2 xi  0 .Например:d 2 f  x, y  2 f 22 f2 fdx2dxdydy 2 , при n=222xyxyd 2 f x, y, z  2 f 2 2 f 2 2 f 22 f2 f2 fdxdydz2dxdy2dydz2dxdz., при n=3xyyzxzx 2y 2z 2Математический анализI курс II семестрБилет 25.

Производные высших порядков (стр. 3 из 3)Вообще, легко заметить, что, используя формальную операторную запись,2 d f  dx1  ... dx n  f xx n x12(3)Аналогично, полагая d k f  d d k 1 f , находим:k d f  dx1  ... dx n  f xx n x1k(4)(В предположении, что для f существуют частные производные до k - го порядкавключительно.)Доказательство этого утверждения можно провести индукцией по k . Мы не будемподробно останавливаться на этом.Отметим, что если xi  xi t1 ,..., t k  (т.е. переменные xi не независимые, а представляютсобой функции от других переменных), то, вообще говоря, они не равны 0 и, хотя ввидуинвариантности 1-го дифференциала, формула (1) сохраняется, уже в формулах (2) и (3)(не говоря о (4)) следует внести изменения.Именно, вместо (3) в этом случае верна формула d f  x    ...

x n x122nf 2 f  d xii 1 x i(5).«Добавок» по отношению к (3) получается, из-за того (см. вывод (2)), что в нашемслучае f  2 f f 22 fddxi   dxi dx1  ... dxi dx n  d xi .xi x n xi  xi x1 x iОднако, если xi  ai ,1t1  ...  ai , k tk  bi ,(6)то dxi  ai ,1 dt1  ...  ai ,k dt k и d 2 xi  d const   0 . Поэтому в случае линейной заменыпеременных (6) формулы (3) и (4) сохраняются.25.2.

Второй дифференциал функции.Вернемся к формуле (2). Она означает, что второй дифференциал являетсяквадратичной формой от переменных dx1 ,..., dx n . Как известно из курса алгебры,квадратичной форме сопоставляется матрица квадратичной формы, в рассматриваемомслучае называемая иногда матрицей Гессе и имеющая вид  2 f 2 f2 f  2 x1 x1x2 x1xn .2 2 f f xn2  x1xnМатематический анализI курс II семестрБилет 26. Формулы Тейлора (стр. 1 из 1)Билет 26. Формула ТейлораТеорема 26.1.f x имеет непрерывные производные до n-го порядкаПусть функция включительно в окрестности U x0 точки x0 и непрерывные производные порядка  f x  dn  1 в U x0 .

Тогда для любой точки x  U x0 существует число  , 0    1 такое,  что f x  f x0  df x0    ...  dd 2 f x02nn 10f x0   x  x0 n  1!n!(1),где все дифференциалы вычислены при  x0  x  x0 (2).►Доказательство.Соединим в пространстве  m точку x0 с точкой x прямолинейным отрезком;запишем параметрические уравнения этого отрезка: любая его точка xt  имеет видx  t   x0  t x  x0(3)При t  0 получаем x0 , при t  1 получаем x .Рассмотрим функцию одной переменной F t   f xt  , определенную на отрезкеt  0,1 .Поэтому, при вычислении d k F 0 получаем, в соответствии с билетом 25, чтоd k F 0  d k f x  , k  1,..., n .(4)d n 1F    d n1 f x0   x  x0(5)Осталось применить к функции F t  теорему 25.1:F 1  F 0   F 0  dF 0   d 2 F 0   ...

d n F 0  d n1 F  n  1!n!(6)Подставляя в (6) из (4) и (5), получаем утверждение теоремы.◄Теорема 26.2.Пустьфункциявключительно  f x имеет в f x  f x0  df x0  ... непрерывныеточкиU x0   o  d n f x0n! производныеm x  x i 1i0i2kдоx0 . , где x  x0 .Для доказательства достаточно использовать теорему 26.1.порядкаnТогдаМатематический анализI курс II семестрБилет 27.

Экстремумы функций нескольких переменных (стр. 1 из 3)Билет 27. Экстремум функции нескольких переменных.Пусть f x определена в окрестности точки x0  R n . Будем говорить, что x 0 - точка минимума (строгого), если для всех x из некоторой проколотой окрестности U x 0    f x  f x  . Точкиf x  f x 0 . Точка x 0 - точка максимума, если для всех x  U x 0минимума и максимума обычно называются точками экстремума.Теорема 27.1. Если x 0 - точка экстремума и существует0fx 0  , то f x 0   0 .x ixi►Доказательство.Рассмотрим точки, у которых все координаты, кроме i - ой фиксированы и равныкоординатам точки x 0 , а координата xi меняется.

Тогда функциюf x10 ,..., x i01 , x i , xi01 ,..., x n0 можно рассматривать как функцию от этой точки. Поэтомуfпроизводная этой функции равна 0. Вместе с тем она, по определению, естьx 0  .x iТеорема доказана.◄Замечание 1. Разумеется, в точке экстремума частные производные могут и несуществовать.Пример.

z  x 2  y 2 ,  x0 , y 0   0,0 . Эта точка, очевидно, точка минимума, т.к. еслихотя бы одно из чисел x , y было отлично от 0, величина z  0 . Но z  x,0  x 2  x иz 0, y  y 2  y , поэтому частные производные в точках x  0 и y  0 не существуют.Замечание 2. Если все частные производные в точке экстремума x 0 существуют, товсе они равны 0 и f x 0   0 , а также df x 0   0 , как функция от dx1 ,..., dx n .Замечание 3. В точке экстремума дифференцируемой функции z x, y  касательнаяплоскость параллельна плоскости OXY .27.1.

Достаточные условия экстремума.Сначала мы изложим схему исследования функции f x на экстремум. Прежде всего,найдем стационарные точки x 0 , т. е. такие, что f x 0   0 (или df x 0   0 ). Затем,предполагая, что f x имеет частные производные до 2-го порядка включительно,непрерывные в стационарных точках, применим в этих точках формулу Тейлораnn11f x 0  df x 0  d 2 f x 0   x   0    1  d 2 f x 0   ai , j x xi x j , где22i 1 j 1aij x   0 при x  0 .   (Поскольку  x - точка, близкая к 0, а производные 2-го порядка непрерывные иdf x 0   0 .) Таким образом, знак приращения совпадает со знаком 2-го дифференциала.Математический анализI курс II семестрБилет 27.

Экстремумы функций нескольких переменных (стр. 2 из 3)Второй дифференциал есть квадратичная форма от x1 ,..., x n . Если это – положительноопределенная форма, то f x 0   0 и в точке x - минимум. Если отрицательноопределенная, то - максимум. Если форма неопределенная (т.е. меняет знак), тоэкстремума нет. Для выяснения вопроса определенности формы можно использоватькритерий Сильвестра из курса линейной алгебры.Для этого следует рассмотреть определитель (гессиан)f11  f1n2 f, где f ij обозначают производныеx 0  и его главные миноры,xi x jf1n  f nnт.е.

f11 ,f11 f12f12 f 22f11 f12 f13,f11  f1nf12 f 22 f 23 ,..., .f1n  f nnf13 f 23 f130Если все эти миноры положительные, то x - точка минимума.0Если знаки этих миноров чередуются, начиная со знака «-» - то x - точка максимума.В двумерном случае имеем геометрическую иллюстрацию. При данных условиях вокрестности точки экстремума график функции z  z ( x, y ) имеет вид «почти»эллиптического параболоида: В случае точки минимумаМатематический анализI курс II семестрБилет 27.

Экстремумы функций нескольких переменных (стр. 3 из 3) В случае точки максимумаЕсли же график «почти» гиперболического параболоида (седло), то экстремума нет.Математический анализI курс II семестрБилет 29. Неявная функция. (стр. 1 из 3)Билет 29. Неявная функция.Термин «неявная функция» относится к способу задания функциональной зависимостимежду x и y и означает, что вместо явной формулы y  f  x  эта зависимостьпредставлена уравнением F  x, y   0 .Следует отметить, что уравнение F  x, y   0 не всегда определяет функцию y  f  x  .Например, уравнение x  1 функцию y  f  x  не определяет.Кроме того, уравнение F  x, y   0 не всегда позволяет однозначно выразить y черезx .

Например, уравнение x 2  y 2  1 , задающее окружность на плоскости, определяет при1  x  1 две непрерывные функции y1  1  x 2 и y2   1  x 2 .В этом примере можно, например, дополнительно потребовать, чтобы выполнялосьнеравенство y  0 .

Тогда мы получим только y1  1  x 2 .В общей ситуации условия, при которых существует единственная функция y  f  x  ,задаваемая уравнением F  x, y   0 задает следующая теорема.Теорема 29.1. Пусть F  x, y  определена и непрерывна вместе с частнымипроизводнымиFFив окрестности точки  x0 , y0  , такой, что F ( x0 , y0 )  0 иxyF x0 , y0   0 . Тогда существуют числа  и  такие, что на множествеyx  x0   , y  y0   уравнение F  x, y   0 равносильно уравнению y  f  x  гдеFf  x  непрерывная и дифференцируемая на  x0   , x0    функция, и f   x    x .FyЗамечание.

РавносильностьF  x, y   0иy  f  xозначает, что уравнениеF  x, y   0 однозначно определяет в рассматриваемой области дифференцируемуюфункцию y  f  x  такую, что y0  f  x0  , вообще, F  x, f  x    0 при x   x0   , x0    .►Доказательство.ПоусловиюF x0 , y0   0 .yПусть,дляопределенности,FF, это неравенство выполняется при всех  x, y  x0 , y0   0 . Ввиду непрерывностиyyиз некоторой окрестности точки  x0 , y0  .Математический анализI курс II семестрБилет 29.

Неявная функция. (стр. 2 из 3)Следовательно,   0 такое, что функция F  x0 , y  обладает на отрезке  y0   , y0   положительной производной и, значит, возрастает. Поскольку F  x0 , y0  , из этого следует,что при y0    y  y0 функция F  x0 , y   0 , а при y0  y  y0   F  x0 , y   0 . x0 , y0   Окрестность, гдеF0x x0 , y0  x0 , y0   Далее, F  x, y  - также непрерывна.

Поэтомуона сохраняет знак в некоторой окрестности любойточки, где она положительна или отрицательна.Значит, можно выбрать  так, чтобы F  x, y0   , x   x0   ; x0    F  x, y0   При любом фиксированном x  [ x0   ; x 0   ] функцияF ( x, y ) возрастаетна[ y 0   ; y0   ] .ПриэтомF ( x, y0   )  0, F ( x, y0   )  0 . Поэтому существует, притомединственное значение y такое, что F ( x, y )  0 . Это значениесоответствует точке x . Это соответствие и обозначаетсяy  f (x ) .Таким образом, искомая функция построена.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)