Козлов, Зотеев - Задачник Колебания и волны. Волновая оптика (1109672), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Тело совершает установившиеся вынужденные колебанияХимический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова59Колебания и волны. Волновая оптиках(t) = Аcos(t ) под действием силы Fx = Fmcost. Найти:а) среднюю потребляемую системой мощность <P> ;б) работу силы трения за период, считая, что сила тренияпропорциональна скорости движения тела. Показать, что<P>Т = – Атр.5.7. Частота собственных затухающих колебаний подвешенногона пружине тела равна ωс. Считая, что коэффициент вязкоготрения r известен, найти максимальную амплитуду колебанийтела под действием вертикальной силы F(t) = Fmcost.
Прикакой частоте она достигается?5.8. Для колебательной системы, описанной в предыдущейзадаче, построить зависимости от частоты амплитудывынужденныхколебаний,амплитудпоглощенияАпидисперсии Ад.5.9. Доказать, что при вынужденных колебаниях экстремумыамплитудыдисперсиинаблюдаютсяпричастотахвынуждающего воздействия р ± β.5.10.
Частота свободных колебаний некоторой системы с = 50,0радс1, резонансная частота р = 49,9 радс1. Определитьдобротность Q этой колебательной системы.5.11. Найти резонансную частоту р для некоторого механическогоосциллятора, если амплитуды смещений при вынужденныхколебаниях этого осциллятора одинаковы при частотах1 = 20 радс1 и 2 = 40 радс1.5.12. Определитьскорости60частотунекоторого р ,соответствующуюмеханическогорезонансуосциллятора(когдаХимический факультет МГУ им.
М.В. ЛомоносоваВынужденные колебанияамплитуда скорости колеблющегося тела максимальна), еслиамплитуды скоростипри частотах вынуждающей силы1 = 10 радс1 и 2 = 40 радс1 одинаковы.5.13. При некоторой скорости движения поезда его вагоныособенно сильно раскачиваются на рессорах в результатепериодических толчков колес о стыки рельс. Когда поездстоит на станции, рессоры деформированы под нагрузкойвагонов на х = 10 см. Длина рельс l = 12,5 м. Определить поэтим данным скорость движения поезда.5.14.
На крутильный маятник, описанный в задаче 2.10, действуетвнешняя сила, момент которой меняется по закону N(t) =Nmcost. Определить работу сил трения, действующих всистеме, за время, равное периоду колебаний. Считать, чтоустановившиесявынужденныеколебаниямаятникапроисходят по закону: = mcos (t ).5.15. Грузик массы m = 100 г подвешен на невесомой пружинке сжёсткостью k = 32,4 Н/м. Под действием вынуждающейвертикальнойгармоническойсилыгрузиксовершаетустановившиеся колебания с частотой = 17 радс1.
При этомколебания грузика отстают по фазе от вынуждающей силы на = /4. Определить добротность данного осциллятора.5.16. Дляопределениясобственнойчастотынезатухающихколебаний 0 некоторого осциллятора были измерены частотаего затухающих колебаний с = 499 Гц и резонансная р = 498Гц. Определить по этим результатам искомую частоту 0.5.17. Маятник колеблется с частотой с = 6 Гц.
При этом амплитудаседьмого колебания А7 оказалась в n = 12 раз меньшеХимический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова61Колебания и волны. Волновая оптиканачальной А0. На какой частоте наступит резонанс в случаевнешнего периодического воздействия на данный осциллятор?5.18. Грузик пружинного маятника массой т = 200 г совершает ввязкой среде с коэффициентом сопротивления r = 0,2 кг/сустановившиеся вынужденные колебания под действиемсилы F = Fmcost (Fm = 0,1 H). Жёсткость пружины k = 20 Н/м.Определить для данной колебательной системы:а) коэффициент затухания , б) амплитуду при резонансе Ар.5.19.
Поданнымпредыдущейзадачиопределитьчастотусобственных незатухающих колебаний 0, добротность Q иамплитуду при низких частотах А0.5.20. Пружинный маятник, описанный в задаче 5.18, поместилив более вязкую среду с коэффициентом сопротивленияr = 0,85 кг/с.Определить:а) резонансную частоту р;б) резонансную амплитуду Ар; в) добротность Q.5.21. Для пружинного маятника, описанного в задаче 5.18,определитьамплитудувынужденныхколебанийАпричастоте вынуждающей силы в 1,5 раза большей, чемсобственная (0).5.22. Тело, подвешенное на пружине, совершает установившиесявынужденные колебания под действием вертикальной силыF(t) = Fmcost.Восколько разизменится амплитудаколебаний при резонансе, если увеличить в n = 2 раза:а) амплитуду вынуждающей силы Fm, б) коэффициентсопротивления среды r, в) массу груза m.5.23. Ответить на вопросы задачи 5.22, для случая, когда частотавынуждающей силы << 0.62Химический факультет МГУ им.
М.В. ЛомоносоваПеременный ток6. Переменный токРассмотрим вынужденные колебания в электрических цепях,содержащих элементы R, L, C – переменный ток. Такие колебаниявозникают при подключении цепи к источникуI0cos(t+)ЭДС, периодически изменяющейся во времени.Цепь“R, L, C”~U0costБудем считать, что выполняется условиеквазистационарности: значения силы тока вовсех последовательно соединенных участкахlцепи в один и тот же момент времениРис. 6.1одинаковы.Этовозможно,есливремяраспространения электромагнитного сигналавдоль цепи много меньше периода колебаний ЭДС источника:lc T .(6.1)Пусть ЭДС изменяется по гармоническому закону U(t) = U0cos t(см. рис.6.1). Сила тока в общем случае не совпадает по фазе сприложенным напряжением: I(t) = I0cos(t + ).
(Так же как вмеханических колебательных системах смещение и скоростьосцилляторанесовпадаютпофазесвынуждающимвоздействием). Поэтому теряет смысл запись соотношения междумгновенными значениями силы тока и напряжения (аналогичнаязакону Ома для постоянного тока) – это соотношение меняется вовремени.Интересамплитуднымипредставляетзначениями,тольконеизменнаясвязьвомеждувремениихприустановившихся колебаниях в цепи.Химический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова63Колебания и волны. Волновая оптикаОтношение амплитуды напряжения к амплитуде силы тока вцепиZU0I0(6.2)называется полным сопротивлением цепи (или её участка)переменному току, а соотношениеI0 U0Z(6.3)называется законом Ома для переменного тока.
Суть этого законасостоит в том, что амплитудное значение силы переменного токапрямо пропорционально амплитудному значению приложенного кучастку цепи напряжения.Длядальнейшеговоспользуемсяужеанализазнакомойцепей(см.п.5)переменноговекторнойтокаформойпредставления гармонических функций, и построением векторныхдиаграмм. Для примера на рис. 6.2 представлено сложение силтоков I1(t) = I01cos( t + 1) и I2(t) = I02cos(t + 2) для двухпараллельных участков цепи, а также вектор, соответствующийколебанию U(t) = U0cost (приложенное к цепи напряжение).Такое представление делает весьма наглядными амплитудные ифазовые соотношения между колебаниями, позволяет качественнои количественно описывать процессы в достаточно сложныхцепях переменного тока.I1+I2Ниже мы рассмотрим применениеэтого подхода.I2I02I1210I01UU0Рис.
6.264Химический факультет МГУ им. М.В. ЛомоносоваПеременный токЗадача6.1. На зажимы цепи переменного тока подано напряжение самплитудным значениемгармоническиU0 = 308 В,изменяющееся с частотой = 50 Гц. В цепь включеныпоследовательно соединенные резистор R = 80 Ом, катушкас индуктивностьюиL = 0,56 Гнконденсаторсэлектроёмкостью С = 30 мкФ.Найти: а) сдвиг по фазе между током и напряжением;б) амплитудное значение силы тока в цепи.РешениеВLRCI0Rслучаепостроениевекторной диаграммы удобно начать сII0LданномI0/Cвектора I, соответствующего силетока, так как для последовательногоконтура в условиях квазистационар-~U0costности этот вектор является общимРис. 6.3для всех элементов цепи. НаправимегоULгоризонталивправо.Напряжение на резисторе совпадаетUUL0попо фазе с силой тока, протекающегоUL0 + UC0поU0UR0UC0UCURнему,поэтомуивекторURнапряжения на резисторе направимIтак же.
Длина этого вектора равнапроизведению амплитудного значенияРис. 6.4силы тока в цепи на сопротивлениерезистора:UR0 = I0 R.Колебаниянапряжениянакатушке(6.4)индуктивности,Химический факультет МГУ им. М.В. Ломоносовакак65Колебания и волны. Волновая оптикаизвестно, опережают по фазе на /2 колебания силы тока,протекающего через неё*), следовательно, вектор напряжения ULдолжен быть повернут на этот угол против часовой стрелки.
Егодлина равна произведению амплитудного значения силы тока наиндуктивное сопротивление:UL0 = I0 XL = I0 L .(6.5)Колебания напряжения на конденсаторе, напротив, отстаютпо фазе на /2 от силы тока через него, соответствующий векторUC повернут на 90 по часовой стрелке. Его длина равнапроизведению амплитудного значения силы тока в цепи наёмкостное сопротивление:UC0 = I0 XC = I0 1/C .(6.5)Для последовательно соединенных участков цепи должновыполняться равенство:U(t) = UR(t) + UC(t)+ UL(t).(6.6)Сложение колебаний как раз удобно выполнить с помощьювекторной диаграммы. Сначала можно сложить направленныепротивоположно векторы UC и UL длина вектора UL + UC равнаI0(L 1/C), а затем прибавить к результату вектор UR. В итогеполучимвекторU,соответствующий общему напряжению,приложенному к цепи. На векторной диаграмме хорошо видно,что он, в общем случае, повёрнут относительно оси токов нанекоторый угол.
На нашем рисунке этот угол положительный, т.е.общее напряжение опережает по фазе силу тока в цепи. Этохарактерно для цепей, в которыхL > 1/C – цепей с«индуктивной нагрузкой». В обратном случае нагрузка носитТак же как при механических колебаниях (t ) опережает по фазе (t ) на /2 – см.соотношения (5.4) и (5.3).*)66Химический факультет МГУ им. М.В. ЛомоносоваПеременный ток«ёмкостной характер». Из векторной диаграммы фазовый сдвигмежду напряжением и током в цепи можно найти количественно:L tg Длина1CR( 41) . 0,87результирующеговектора(6.7)напряженияUлегконаходится по теореме Пифагора:21 U 0 I 0 R L .C2(6.8)Отсюда, с учётом численных данных задачи:U0I0 2 3 А.(6.9)1 R 2 L CПолное сопротивление в рассмотренном случае оказываетсяравным21 Z R L . C 2Величинасопротивлением»,1 X L C тогда(6.10)называетсякакR«реактивнымназывается«омическимсопротивлением».Подчеркнём, что соотношение (6.10) получено только дляслучая последовательно соединенных элементов R, L, C.
Выражениедля полного и реактивного сопротивления цепи переменного токаво всех иных случаях определяется конкретным способомсоединенияэтихэлементовидолжнобытьопределеноаналогичным методом**) (см., например, задачу 6.11).Альтернативой является применение символического метода на основе представленияколебаний в комплексной форме.**)Химический факультет МГУ им. М.В.
Ломоносова67Колебания и волны. Волновая оптикаРассмотрим далее вопрос о мощности, выделяющейся в цепипеременного тока.Мгновенная мощность, выделяющаяся в цепи, к которойприложено напряжение U0cos t и по которой протекает токI0cos( t + ), по закону Джоуля–Ленца может быть записана ввиде:P (t) = U0cos( t)I0cos( t + ).Простейшиетригонометрическиепреобразования(6.11)позволяютпоказать, что это быстропеременная функция с частотой 2. В тоже время тепловое действие тока определяется, очевидно, немгновенным, а средним (за большой по сравнению с периодомколебаний промежуток времени) значением мощности P. Этозначение может быть найдено усреднением P(t) за период:U0 I0 T1Tcos ( t ) cos( t )dt 1 U 0 I 0 cos .
(6.12)P P(t )dt T0T 02Величину cos называют «коэффициентом мощности».Для элементов R, L, C, соединенных последовательно, U0cos =UR0 = I0R (см. рис. 6.4). ПоэтомуP 1 2I0 R .2(6.13)Отсюда видно, что протекание по цепи с сопротивлением Rгармонического переменного тока вызывает в ней такое жетепловое действие, что и протекание постоянного тока силойIд =1I 0 через резистор с таким же омическим сопротивлением.2Эта величина называется действующим (или эффективным)значением силы переменного тока. По аналогии вводится68Химический факультет МГУ им. М.В. ЛомоносоваПеременный ток1U 0 *).2действующее (или эффективное) значение напряжения Uд =Следовательно,выражениедлясреднеймощности,выделяющейся в цепи переменного тока, может быть записано ввиде:(6.14)P IдUдcos.Отметим, что в общем случае несинусоидального переменноготока коэффициент, связывающий амплитудные и действующиезначениятокаилинапряжения,будетиным.Процедуранахождения этого коэффициента определяется равенствами:1T 2I I (t )dt ;T02дПроиллюстрируемэтона1T 2U U (t )dt .T02дпримере«пилообразной»зависимости тока от времени.Задача6.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
