Козлов, Зотеев - Задачник Колебания и волны. Волновая оптика (1109672), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В общем случае колебательное движениекаждогоосцилляторанормальныхпредставляетгармоническихколебанийсобойссуперпозициючастотамидвухI и II.Амплитуды (AI и AII) и начальные фазы (I и II) нормальных модможно определить из начальных условий конкретной физическойзадачи – начальных смещений и начальных скоростей каждогоосциллятора.26Химический факультет МГУ им.
М.В. ЛомоносоваКолебания в системе связанных осцилляторовНесколько труднее определять нормальные координаты ичастотынормальных«несимметричных»12осцилляторов.Рис. 3.2колебанийсистемдлясвязанныхНапример, для системы,показанной на рис. 3.2, исходные уравнениядинамики таковы:m 1 k1 k(1 – 2),(3.6)2m 2 – k2 + k(1 – 2).(3.7)Разделив (3.6) на m, а (3.7) на 2m и обозначая k/m = а,получаем:1 – 2а1 + а2,(3.6,а)2 – а2 + а1/2.(3.7,а)Будем искать нормальные координаты в виде линейнойкомбинации 1 и 2 : = 1 + n2 ,(3.8)где n искомые постоянные коэффициенты (разные для разныхнормальных мод).
Умножим (3.7,а) на n и сложим почленно (3.6,а)и (3.7,а):1 + n 2 а(2 n/2)1 а(n 1)2.(3.9)Для того, чтобы (3.9) было дифференциальным уравнениемгармонических колебаний, необходимо, чтобы коэффициентперед 2 был в n раз больше, чем перед 1 :а(n 1) = nа(2 n/2), или иначе n2 2n 2 = 0.(3.10)Из уравнения (3.10) получаем два возможных значения n,соответствующих двум нормальным модам:nI = 1 + 3иnII = 1 3 .Химический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова(3.11)27Колебания и волны.
Волновая оптикаПоскольку ( 1 + n 2 ) = 2(1 + n2), из уравнения (3.9) следует,что а(2 n/2) = 2 (здесь – собственная частота соответствующихнормальных колебаний). Используя (3.11), получаем частотыдвух нормальных мод:I2 3 3 kkи II2 3 3.2m2m(3.12)Нормальные координаты равны при этом:I = 1 + nI2 ;II = 1 + nII2.(3.8,a)Если в системе возбуждена только первая мода (II = 0), топри этом из (3.8,а) и (3.11) следует, что отношение амплитудколебаний двух осцилляторов CI = (1/2)I = nII =3 1 0,73.Аналогично, при возбуждении только второй моды CII = (1/2)II = nI = 3 1 2,73. Первой (низкочастотной) моде, как и для«симметричной» системы (рис.
3.1), соответствует синфазноедвижение обоих осцилляторов, второй (высокочастотной) –противофазное. Однако амплитуды колебаний двух осцилляторовтеперь разные.При возбуждении в колебательной системе только однойнормальной моды колебания отдельных осцилляторов происходятпо гармоническому закону либо в фазе, либо в противофазе.Поэтому определить частоты нормальных колебаний можноследующим общим методом.Будем искать решение уравнений (3.6,а) и (3.7,а) в виде:1 = A cos t,2 = B cos t,(3.13)где A и B – амплитуды колебаний, – искомая частотанормальных колебаний.
После подстановки (3.13) в (3.6,а) и(3.7,а) получаем два уравнения с двумя неизвестными ( и С = А/В):28Химический факультет МГУ им. М.В. ЛомоносоваКолебания в системе связанных осцилляторовЛегко2C = 2аC а,(3.6,б)2 = а – аC/2.(3.7,б)убедиться,чтоI1L– Cq1 +решенияLI2– C+ q2– C1+ qуравнений (3.6,б) и (3.7,б) для частотнормальных мод (I и II) и отношенийамплитудколебанийРис.
3.3отдельныхосцилляторов CI и CIIсовпадают с полученными ранее.CI = nII, а CII = nI, легко найти линейныеПосколькукомбинации координат осцилляторов 1 и 2, соответствующиедвум колебательным модам (3.8).Покажем, что аналогично решаются задачи, в которыхтребуетсянайтиколебательныехарактеристикисистемысвязанных электрических контуров. Пусть, например, нужноопределить,какизменяютсясовременемзарядынаконденсаторах в системе, состоящей из двух одинаковых LCконтуров.Связьмеждуконтурамиосуществляетсячерезконденсатор C1 (рис.
3.3).Совершая обходы в указанных направлениях по двум малымконтурам и, используя второе правило Кирхгофа, получаем:q1 qdI L 1 ,C C1dt(3.14)q2 qdI L 2 .C C1dt(3.15)Здесь q1, q2 и q – заряды на левом, правом и среднемконденсаторах, соответственно; I1 и I2 – токи через левый иправый конденсаторы.Поскольку I1 dq1dq, a I 2 2 , системаdtdtуравнений (3.14) и (3.15) преобразуется к виду:Химический факультет МГУ им.
М.В. Ломоносова29Колебания и волны. Волновая оптикаL q1 + q1/C – q/C1 = 0,(3.14,а)Lq2 + q2/C + q/C1 = 0.(3.15,б)Сложим, а затем вычтем почленно уравнения (3.14,а),Учитывая, что(3.15,а).из-за электронейтральности системыq1 + q2 + q = 0, можно получить два независимых дифференциальныхуравнения, описывающих нормальные колебания:L qI + qI/C + 2qI/C1 = 0,(3.16)L qII + qII/C = 0.(3.17)Уравнения полностью (3.16) и (3.17) аналогичны уравнениям(3.4) и (3.3) соответственно. Здесь нормальные координаты qI = q1 + q2и qII = q1 q2. Решения уравнений (3.16) и (3.17) представляютсобой нормальные моды:qI = QI сos(It + I),где I2 qII = QIIсos (IIt + II),где II 11 2 ,L C C1 (3.16,a)1.LC(3.17,а)Решения (3.16,a) и (3.17,б) аналогичны (3.3,а) и (3.3,б) с тойтолько разницей, что низкочастотной модесоответствует в данном случае нормальнаякоордината qII, а высокочастотной qI. На рис.3.4показанынаправлениятоковввременидлянизкочастотной(а)ивысокочастотной (б) мод.
Из рисунка видно, чтодлянизкочастотнойвообщенемодыконденсаторперезаряжается,адляадвухконтурах в некоторый произвольный момент–++–+–+–бРис. 3.4высокочастотной –C1заряжается в два раза больше, чем «основные» конденсаторыC.30Химический факультет МГУ им. М.В. ЛомоносоваКолебания в системе связанных осцилляторовРазберём несколько задач по рассматриваемой темеЗадача3.1. Вначальноймоментпредставленнойрисунке,m1телаотклоняютотпускают.mобавпосистеме,осиХнаодинаковое расстояние b вправо иkk1kнавремениСчитая,чтотрениеотсутствует, найти зависимости отX2времениотклоненийтелотположений равновесия 1 (t) и 2 (t).РешениеВоспользуемся решением задачи, рассмотренной в началеданного параграфа (см. (3.3) – (3.4)):1 =1[AI cos(It + I) + AII cos(IIt + II)],2(3.18)2 =1[AI cos(It + I) AII cos(IIt + II)].2(3.19)В начальный момент времени:Суммируя1(0) =1(AI cos I + AII cosII) = b,2(3.18,a)2(0) =1(AI cos I AII cosII) = b,2(3.19,a)1 (0) =1(AII sin I AIIII sinII) = 0,2(3.18,б)2 (0) =1(AII sin I + AIIII sinII) = 0,2(3.19,б)(3.18,б)и(3.19,б),получаем,чтоsinI,II=0,следовательно, I,II = 0.
Из (3.18,а) и (3.19,а) имеем AI = 2b, AII = 0.Отсюда следует, что в рассматриваемой ситуации возбуждаетсяХимический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова31Колебания и волны. Волновая оптикатолькоперваянизкочастотнаянормальнаямода.Искомыезависимости смещений двух тел от времени выглядят так:1(t) = 2(t) = bcosIt ,(3.20)Собственная частота нормальных колебаний I была определенанами ранее (см. (3.3,a)).Задача3.2. В начальный момент времени оба тела задачи 3.1 отклоняютна одну и ту же величину b от положения равновесия, но вразные стороны.
Найдём зависимости 1 (t) и 2 (t).РешениеВданномслучаеначальныеусловиязаписываютсяследующим образом:1(0) =1(AI cos I + AII cosII) = b,2(3.18,в)2(0) =1(AI cos I AII cosII) = b,2(3.19,в)Два других условия аналогичны (3.18,б) и (3.19,б). Как и в задаче3.1, из них следует I = II = 0. Суммируя и вычитая (3.18,в) и(3.19,в), получаем AI = 0, AII = 2b; таким образом, в системевозбуждается только высокочастотная нормальная мода (счастотой II =k 2 k1– см.
(3.3,б)):m1(t) = bcosIIt , 2(t) = bcosIIt.(3.21)Задача3.3. В системе, состоящей, из двух связанных механическихосцилляторов (см. задачу 3.1) в начальный момент временитело 1 смещают по оси Х на 2b (тело 2 при этом закреплено в32Химический факультет МГУ им. М.В.
ЛомоносоваКолебания в системе связанных осцилляторовравновесном положении). Найти зависимости смещенияобоих тел от времени после того, как их отпускают.Решение:Используем общее решение задачи (3.3) – (3.4) и начальныеусловия (3.18,б) – (3.19,б), вместо условий (3.18,а) и (3.19,а), запишем:1(0) =1(AI cos I + AII cosII) = 2b,2(3.18,д)2(0) =1(AI cos I AII cosII) = 0.2(3.19,д)Как и в задаче 3.1, из (3.18,б) – (3.19,б) следует, что I = II = 0.Складывая и вычитая левые и правые части соотношений (3.18,д)и (3.19,д), получим: AI = AII = 2b. В искомом решении представленыв равной степени оба типа нормальных колебаний:1(t) = bcosIt + bcosIIt ,2(t) = bcosIt bcosIIt .(3.22)Задача3.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
