Козлов, Зотеев - Задачник Колебания и волны. Волновая оптика (1109672), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Первоначально система, описанная взадаче 2.3, неподвижна и пружинка не деформирована.Первому шарику сообщается импульс p0 = m1v0 в сторонувторого (удар налетающего атома). Определите скорость vcцентра масс системы, и частоту 0 возникающих колебаний.2.5. В условиях задачи 2.4 определите: а) амплитуду A изменениядеформации пружины, б) энергию поступательного Eпост иколебательного Eкол движения системы.2.6. Потенциальная энергия частицы массы т в одномерномсиловом поле18зависит от её координаты х по законуХимический факультет МГУ им. М.В. ЛомоносоваСвободные гармонические колебания …U(x) = U0(1 – cosax), U0 и а – постоянные. Найдите частотумалых колебаний этой частицы около положения равновесия.2.7.
Грузмассойm = 0,2 кг,подвешенныйнапружинежёсткостью k = 20 Н/м, лежит на подставке так, что пружинане деформирована. Подставку убирают, и груз начинаетдвигаться.Найдитезакондвижениягрузаиегомаксимальную скорость.2.8. С горизонтальнойзакреплённойпружиной,жёсткостькоторой k = 25 H/м, связано тело массой М = 1 кг, лежащее наабсолютно гладком столе.
В это тело попадает и застревает внём пуля массой т = 10 г, летевшая вдоль оси пружины соскоростью v = 200 м/с. Определите период и амплитудувозникших колебаний. Найдите зависимость координаты телаот времени, прошедшего после попадания пули в тело.2.9. Тело массой m падает с высоты h на чашупружинныхвесовиприлипаеткней.Определите зависимость координаты чаши отХmh0kвремени после соударения. Масса чаши ипружиныпренебрежимомала,жёсткостьпружины k .2.10. К потолку на тонкой проволоке подвешенDоднородный диск массы т = 0,2 кг и радиусаR = 20 см (рис.). Модуль кручения проволоки*)Rравен D = 0,1 Нм/рад. Определите:mOкоэффициент пропорциональности между возникающим вращательным моментом упругихсил и углом закручивания*)Химический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова19Колебания и волны. Волновая оптикаа) частоту 0 малых крутильных колебаний диска, б)амплитуду А и начальную фазу 0 колебаний, если вначальный момент диск повернули на угол = 0,2 рад исообщили ему начальную угловую скорость = 1 рад/c внаправлении поворота.2.11.
Два диска закреплены соосно на одном тонком стержне,имеющем модуль кручения D = 1,5 Нм/рад.DРадиус дисков одинаков и равен R = 0,2 м.J1Массы дисков равны: m1 = 1 кг и m2 = 3 кг.J2Диски поворачивают в противоположныестороны и отпускают. а) Чему равна частота 0 малыхкрутильных колебаний дисков? б) Какой будет частота, еслиодин из дисков (например, второй) закрепить.2.12. Физический маятник представляет собой шар радиуса R =2м,11висящий на тонком невесомом стержне длины l = R.
Вначальный момент времени маятнику сообщили угловуюскорость = 0,25 рад/c. Найдите зависимость от времениугла отклонения маятника от вертикали (t).2.13. Цилиндрический поплавок высоты h = 2 см плавает наповерхности воды. Определите период малых колебанийпоплавка по вертикали, которые возникают, если его слегкапогрузитьвводуиотпустить.Плотностьматериалапоплавка = 800 кг/м3, плотность воды 0 = 1000 кг/м3.2.14. В стеклянную U-образную трубочку налита ртуть так, что20Химический факультет МГУ им. М.В. ЛомоносоваСвободные гармонические колебания …весь столбик ртути имеет длину l = 20 см. После заполнениятрубочку слегка наклонили, и возвратили в вертикальноеположение, отчего ртуть начала колебаться. Определитепериод T0 этих колебаний, пренебрегая трением.2.15. На середине натянутой струны длины l = 1 м укреплён шарик массой т = 50 г.
Найдите частоту малых поперечныхколебаний этого шарика. Силу натяжения струны считатьпостоянной и равной T = 20 Н. Массой струны и силойтяжести пренебречь.2.16. Неподвижныйрастягиваетгрузеёмассынаm,величинувисящийx1.Грузнапружине,дополнительнооттягивают вниз на расстояние x0 и сообщают ему скоростьv,направленнуюдвижениягрузавертикальновверх.Найдитеотносительноегоположениязаконпринерастянутой пружине x = x(t).2.17. * Небольшой шарик массой m = 30 г, подвешенный нанерастяжимой изолирующей нити на высоте h = 10 см отбольшой горизонтальной проводящей плоскости, совершаетмалые колебания. После того как шарику сообщили некоторый заряд, период колебаний изменился вn = 2 раза.Найдите этот заряд.2.18.
* Доску положили на два быстровращающихся навстречу друг другу (впротивоположных направлениях) цилиндрических ролика.Расстояние между осями роликов l = 80 см, коэффициенттрения скольжения между стержнем и роликами = 0,16.Химический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова21Колебания и волны. Волновая оптикаДокажите, что стержень будет совершать гармоническиеколебания и найдите их частоту 0.2.19. * Маленький упругий шарик подвешен на нити длиной l устены, образующей с вертикалью угол . ЕгоOотклонили от положения равновесия на уголl > и отпустили.
Считая, что << 1 найдитепериодколебанийшарика,пренебрегаявременем соударения шарика со стенкой.2.20. Однородныйстерженьдлинойl=см15можетповорачиваться без трения вокруг горизонтальной оси,перпендикулярной к стержню и проходящей через еговерхний конец.Стержень отклонили от вертикали на угол0 = 0,07 рад ( 4) и отпустили без толчка.
Найдитезависимость от времени угла отклонения стержня отвертикали (t).2.21. КонденсаторсэлектроёмкостьюС,заряженныйдонапряжения U0, замыкается на катушку с индуктивностью L.Найдитезаконизменениясовременемзаряданаконденсаторе q(t). Чему равна амплитуда Im силы тока в этойцепи? Активным сопротивлением пренебречь.2.22. Однородный стержень массы т = 1 кгOlkсовершает малые колебания вокруггоризонтальнойоси,проходящейчерез точку О. Правый конец стержня подвешен наневесомой22пружине жёсткости k = 300 Н/см.НайдитеХимический факультет МГУ им.
М.В. ЛомоносоваСвободные гармонические колебания …частоту0колебаний стержня, если в положенииравновесия он горизонтален. Трением в шарнире пренебречь.2.23. Определите, чему равна максимальная скорость в процессемалых продольных колебаний теламассыт = 0,2 кг всистеме, показанной на рисунке, если тело первоначальноотклонили от положения равновесияна х0 = 1 см и отпустили без толчка.k1 mk2Жёсткости пружинок равны k1 = 12 H/ми k2 = 8 H/м, а их массы пренебрежимо малы.
В положенииравновесияпружинкинедеформированы.Трениемпренебречь. Найдите также закон движения тела x = x(t).2.24. В системе, показанной на рисунке, груз удерживают вположении,k1mприкоторомпружинынедеформированы. В момент времени t = 0 грузотпустили без толчка. Масса груза т = 3 г,k2жёсткости пружин равны k1 = 2 H/м и k2 = 1 H/м.Найдите зависимость координаты груза отвремени. Массы пружин пренебрежимо малы.2.25. Сплошной однородный цилиндр массы т = 1 кг совершаетмалыеколебанияподпружины с жёсткостьюдействиемk = 150 Н/м.Найдите частоту этих колебаний вотсутствие проскальзывания цилиндрапогоризонтальнойопоре.kR mМассапружины пренебрежимо мала.2.26. * В кабине самолета подвешен маятник.
Когда самолетХимический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова23Колебания и волны. Волновая оптикалетит без ускорения, маятник качается с частотой 0. Каковабудет частота колебаний маятника, если самолет взлетает сускорением a , направленным под углом к горизонту?Отдельно рассмотрите случай, когда а = g и = 0.2.27. * Грузик массы М = 0,3 кг может скользить без трения вдольгоризонтальногостержнявустановке,изображённой на рисунке. Грузик соединёнAMBдвумя одинаковыми пружинками жёсткостьюk = 15 Н/м, с точками А и В установки.Установка вращается с постоянной угловой скоростью = 6радс вокруг вертикальной оси, проходящей через серединустержня.
а) Найдите частоту малых колебаний грузика. б)При какой угловой скорости колебания не возникнут?24Химический факультет МГУ им. М.В. ЛомоносоваКолебания в системе связанных осцилляторов3. Колебания в системе связанных осцилляторовЛюбая система из N связанных одномерных осцилляторовможет быть описана системой N дифференциальных уравнений,в каждое из которых в общем случае входит более, чем однафункциявремени.Например,недиссипативнаясистема,состоящая из двух одинаковых механических осцилляторов, междукоторыми имеется упругое взаимодействиеkk1k(рис.3.1),закономmmвсоответствииНьютонасоописываетсявторымдвумяуравнениями:12XРис.
3.1m 1 k1 k1(1 – 2),(3.1)m 2 k2 + k1(1 – 2).(3.2)Здесь 1 и 2 – отклонения левой и правой масс m от положенийравновесия, k и k1 – коэффициенты упругости крайних и среднейпружин, соответственно.являютсяЭти уравнения в общем случае недифференциальнымиуравнениямигармоническихколебаний, в каждое из них входят две неизвестные функциивремени – 1(t) и 2(t). Можно, однако, преобразовать эту системутаким образом, чтобы в каждое уравнение входила только однафункция времени и её вторая производная. В рассматриваемомслучае такое преобразование легко провести, складывая ивычитая почленно уравнения (3.1) и (3.2). В результате такойпроцедуры получаем:m I – kI ,где I = 1 + 2 ;(3.3)m II – (k + 2k1)II ,где II = 1 2 .(3.4)Уравнения (3.3) и (3.4) уже являются дифференциальнымиуравнениями, описывающими гармонические колебания.
ОниХимический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова25Колебания и волны. Волновая оптикаимеют решения вида (т.н. нормальные колебания, или нормальныемоды):I = AIcos (It + I),где I k;m(3.3,а)II = AIIcos (IIt + II),где II k 2k1.m(3.4,а)Соответствующие новые переменные I и II называютсянормальными координатами. Движение каждого из осцилляторов,как следует из (3.3) и (3.4), представляет собой наложениенормальных мод:1 = (I + II)/2; 2 = (I II)/2.Еслиперваяврассматриваемой(3.5)системевозбужденатолькомода (II = 0), то 1 = 2 = I/2нормальнаяосциллятора на рис.3.1и обасовершают синфазные гармоническиеколебания с частотой I (при этом средняя пружина «неработает» и частота I совпадает с собственной частотой одногосвободногоосциллятора).При возбуждениитольковторойнормальной моды (I = 0) из (3.5) следует, что 1 = 2 = II/2, т.е.осцилляторы совершают гармонические колебания с частотой II,двигаясь в противофазе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
