Козлов, Зотеев - Задачник Колебания и волны. Волновая оптика (1109672), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Грузикнапружинкескоэффициентомжесткостиkсовершает гармонические колебания с амплитудой А.Площадь его фазовой траектории (зависимости импульсагрузика от его координаты) равна S. Определить периодколебаний грузика.1.17. Амплитуда колебаний грузика на пружинке возросла в двараза. Во сколько раз увеличились энергия колебаний (а) иплощадь его фазовой траектории (б).1.18.

Два тела массами m1 = 1 кг и m2 = 2 кг находятся на гладкойгоризонтальной поверхности и связаны пружиной (k = 1,5102Н/м), длина которой L = 12 см. Пружину сжимают на величинуL = 6 см и без толчка отпускают. Какова частота возникшихколебаний? Определите амплитуды колебаний каждого тела.1.19. Грузик подвешен на нерастяжимой нити, верхнийконецкоторой перемещают по вертикали по закону: y(t) = Asint.Величина А постепенно растет. При каких минимальных Аколебания грузика станут негармоническими? В каких точкахначнется отклонение от гармонического закона колебанийгрузика?1.20. Брусокподставкенаходится(см.рис.),нагоризонтальнойкотораяначинаетвибрировать в горизонтальной плоскости по закону x(t) == Asint.

При какой минимальной амплитуде колебаний10Химический факультет МГУ им. М.В. ЛомоносоваОбщие свойства гармонических колебанийподставки движение бруска будет негармоническим, есликоэффициент трения между ним и подставкой равен  ?1.21. Шайбанаходитсянагоризонтальнойподставке, которая может вибрировать ввертикальном и горизонтальном направлениях (см. рис.) погармоническому закону с одной и той же частотой. Придвижении подставки в вертикальном направлении шайбаначинаетотрыватьсяотподставкиприамплитудеколебаний подставки А1, а при горизонтальном движениишайба начинает соскальзывать при амплитуде А2.

Каковкоэффициент трения шайбы о подставку?1.22. * Брусок лежит на поверхности клина (см. рис.),составляющей с горизонтом угол  = 30.Коэффициенттрениямежду бруском иклином  = 0,7. Клин начинает вибрировать вдоль его ребрапо закону Аcos10t (м). При какой минимальной амплитудеколебаний клина брусок начнёт соскальзывать с егоповерхности?Химический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова11Колебания и волны.

Волновая оптика2. Свободные гармонические колебания одномерныхмеханических и электрических осцилляторовПри отсутствии потерь энергии в системе колебания могутоказаться гармоническими. Это происходит тогда, когда процессыв ней допускают описание дифференциальным уравнением вида(2.1)  κ    0 ,относительно функции (t) – отклонения какого-либо параметра,характеризующего систему, от равновесного значения.

Множитель – постоянный коэффициент. Уравнение (2.1) называется«дифференциальнымуравнениемгармоническогоосциллятора».Именно к такому виду приводятся уравнения, описывающиемалые свободные колебания в хорошо известных простейшихколебательных системах в отсутствии потерь энергии: грузика напружине, математического маятника и колебательного (LC-) контура.Как следует из уравнения (1.4), константаравна квадратучастоты собственных гармонических (незатухающих) колебанийсистемы κ  02 .Покажем, каким образом можно находить этотважный параметр 0 на примере несколько более сложныхколебательныхсистем.Продемонстрируем,крометого,какопределяются амплитуда А и начальная фаза 0 из начальных условийконкретной задачи, т.е.

способа возбуждения колебаний в системе.Задача2.1. Найти частоту малых свободных колебаний 0физическогомаятника–телапроизвольнойформы, закрепленного на горизонтальной оси,не проходящей через его центр тяжести. Моментинерции тела относительно этой оси равен Iz,его масса m, а расстояние от оси до центратяжести тела равно b.12.Ob.ц.т.mgХимический факультет МГУ им. М.В. ЛомоносоваСвободные гармонические колебания …РешениеПри отклонении тела от положения устойчивого равновесия(когда ось вращения и центр тяжести находятся на однойвертикали) возникает момент силы тяжести, действующей натело, направленный против вектора его углового смещения  .Уравнение динамики вращательного движения твёрдого телаотносительно закреплённой оси имеет вид:I z     mgb  sin  .Знак минус здесь обусловлен тем, что направления векторовмомента силы тяжести и углового смещения при любомположениителапротивоположны.Какмывидим,данноедифференциальное уравнение не является линейным.

Однако прималых углах ( << 1) sin  *) и уравнение приобретает знакомуюформу (2.1): mgb  0 .IzСравнивая это соотношение с уравнением (2.1), получаем частотусобственных незатухающих колебаний физического маятника:0 mgb.IzВ частном случае математического маятника с учётом b = l иIz = ml 2 получим известное выражение:0 g.lКакова длина математического маятника, собственная частотакоторого совпадает с частотой данного физического маятника?Заметим, что если углы отклонения не превышают 0,1 рад (5,7), то отличие sin от составляет всего 0,2%.*)Химический факультет МГУ им. М.В.

Ломоносова13Колебания и волны. Волновая оптикаmgbg,IzlпрЭтозначениеназываетсяlпр Iz.mbприведённойдлинойфизическогомаятника.Задача2.2. В устройстве, показанном на рисунке, блок представляетсобой сплошной однородный цилиндр массойMМ = 8 кг, который может вращаться вокруг осибез трения. Масса груза т = 6 кг. Жёсткостьmпружины k = 1000 H/м. Груз удерживают вkположении, при котором пружина не растянута.Найти закон движения груза после его освобождения (безтолчка).

Проскальзывание нити по блоку отсутствует, а саманить невесома и нерастяжима.РешениеВыберем систему отсчёта, в которой одна координатная осьнаправленавертикальновниз(ОХ),адругая(OZ)–перпендикулярно плоскости рисунка от нас (см. рис.). Пустьначало отсчёта на оси ОХ соответствует положению груза принедеформированной пружине. В этом случае координата x грузабудет одновременно равна величине деформации пружины.Уравнение движения груза в проекции на ось ОХ можно записать- T2T2k14- T1T1Zтак:mx  mg  T1 .(1)Уравнение динамики вращательного движениямассивного блока в проекции на ось OZ имеетmgXвид:Химический факультет МГУ им. М.В.

ЛомоносоваСвободные гармонические колебания …I z    T1  T2   R ,(2)где Iz – момент инерции блока относительно оси OZ, равныйMR 2.Iz 2(3)Сила натяжения нити T2 равна, по третьему закону Ньютона, силеупругости деформированной пружины:(4)T2 = kx .Наконец для линейного ускорения груза и углового ускоренияблока с учётом условий нерастяжимости нити и отсутствия еёпроскальзыванияпоблокувыполняетсяуравнениекинематической связи:x  R   .(5)Совместное решение уравнений (1)  (5) приводит к уравнению:x Замена переменной   x (2.1), где роль 022k2m  Mmg x   0.k (6)mgпреобразует уравнение (6) к видуkиграет величина2k.

Таким образом,2m  Mдвижение груза в выбранной системе отсчёта происходит позакону:x (t ) ипредставляетmg A cos( 0 t   0 ) ,kсобойположения равновесия x0 гармоническое(7)колебаниевблизи2kmgс частотой  0 .2m  MkПокажем, каким образом можно определить амплитуду иначальнуюфазуколебанийгруза,еслиизвестенХимический факультет МГУ им. М.В. Ломоносоваспособ15Колебания и волны. Волновая оптикавозбуждения колебаний в системе – то есть начальные условия.Начальные условия движения в задаче таковы:x (0)  0 .x(0) = 0,Используя общее решение (7), имеем:x(0)  0 mg A cos  0 ;kx (0)  0   A 0 sin  0 .Из второго уравнения следует, что 0 = 0, и после подстановки впервое получаем:Amg.kТаким образом, окончательно закон движения груза после егоосвобождения можно записать в виде:x (t ) mg 2k1  cos t  .k 2m  M Задача2.3. Два шарика, массы которых т1 и т2, могут скользить безтрения по тонкому горизонтальному стрежнюШарикисвязаныПервоначальноневесомойшарикипружинкойсмещаютв(см.

рис.).жёсткостиk*).противоположныхнаправлениях и отпускают без толчка. Определить частоту0 возникающих колебаний и максимальную относительнуюскорость шаров, если их первоначальное относительноесмещение (0) = 0.ц.м.x1m1*)x20m2XРешениеНаправим координатную ось ОХсистемы отсчёта вдоль стержняТакая система моделирует свободную двухатомную молекулу.16Химический факультет МГУ им. М.В. ЛомоносоваСвободные гармонические колебания …вправо и за начало отсчёта выберем положение центра масссистемы. Если координаты шариков до деформации пружиныобозначить x10 и x20, то очевидно, длина недеформированнойпружины равнаl0 = x20 – x10.Уравнение движения грузов по оси ОХ можно записать ввиде:m1 x1  k  x 2  x1  l0  ,(1)m2 x2   k  x 2  x1  l0  .(2)Величина, записанная в скобках, равна деформации пружиныв процессе колебаний.С математической точки зрения трудность решения даннойсистемы дифференциальных уравнений состоит в том, что вкаждое уравнение входят обе неизвестные функции – x1(t) и x2(t).Для преодоления этой трудности вычтем из уравнения (2)уравнение(1),поделивпредварительнокаждоенасоответствующую массу: kk x2  x1   x2  x1  l0  . m2 m1 Если ввести теперь новую переменную    x 2  x1  l0  , тоуравнение приобретаетвид(2.1),вкоторомроль02 kk выполняет множитель   .

Собственная частота, таким m2 m1 образом, может быть записана в виде:0 k,Химический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова17Колебания и волны. Волновая оптикагдеm1m2m1  m2называетсяприведённоймассойсистемы(молекулы). Поскольку (x2 – x1) – это длина пружины в процессеколебаний, очевидно, смысл введенной нами переменной  деформация пружины (равная относительному смещению шаров)при колебаниях.

Она-то и меняется по гармоническому закону счастотой 0. Отметим, что центр масс системы в указанныхусловиях покоится. Исходя из начальных условий:(0) = 0, (0)  0 ,находим(t) = 0cos0t .Тогда относительная скорость: (t )  0  0  sin 0t  v max  sin 0t .А максимальная относительная скорость отсюда равнаv max   0  0   0 k.Задачи для самостоятельного решения2.4. Рассмотрим ситуацию, моделирующую процесс столкновениеатома и молекулы.

Характеристики

Список файлов книги