Козлов, Зотеев - Задачник Колебания и волны. Волновая оптика (1109672), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Определите:а) Как меняется со временем колебательная энергия,запасенная в контуре W = W(t). б) Какая часть первоначальной энергии W0 сохранится в контуре по истечениивремени  = 8 мс?4.18. Найдитепериодмалыхколебаний однородногодискарадиуса R = 27 см, который может вращаться вокруггоризонтальной оси, перпендикулярной к его плоскости ипроходящей через край диска. Логарифмический декрементзатухания равен  = 1.4.19. Через время 1 = 40 с после начала колебаний маятникаамплитуда уменьшилась до A1 = 1 см.

Через какое время 2амплитуда будет равна A2 = 0,1 см, если начальная амплитудаколебаний этого маятника A0 = 10 см.52Химический факультет МГУ им. М.В. ЛомоносоваЗатухающие колебания4.20. * После подключения к электрической схеме измерительногоприбора три последовательных крайних положения егокачающейся стрелки оказались против делений x1,2,3 = 30, 20 и24. Считая декремент затухания постоянным, определитеположение равновесия x0 стрелки.4.21. Музыкальныйкамертонимеетсобственнуючастотуколебаний  = 1000 Гц.

Через какое время громкость егозвучания уменьшится в п = 106 раз, если логарифмическийдекремент затухания равен  = 0,0006?4.22. Электрическийколебательныйконтурсостоитизпоследовательно соединённых конденсатора электроёмкостиС,катушкииндуктивностиключаL,ирезисторассопротивлением R, равным критическому для данного контура. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили до напряжения U0, после чего ключ замкнули. Найдите, как зависитсила тока I в контуре от времени t.

Какова максимальнаявеличина силы тока Imax и, в какой момент времени tm онабудет достигнута?4.23.* Найдите закон изменения заряда на конденсаторе дляконтура,показанногонарисунке.Параметры контура С, L и R считатьизвестными.значенииОпределите,сопротивленияприRкакомLRCпроцессразрядки конденсатора будет апериодическим.Химический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова53Колебания и волны. Волновая оптика5. Вынужденные колебанияНаибольшийпрактическийинтереспредставляютвынужденные колебания при внешнем гармоническом воздействии– силы F(t) = Fmcost (или момента сил) в случае механическойколебательнойсистемы.Вописывающемколебательныйэтомслучаепроцесс,ввуравнении,правойчастипоявляется соответствующая гармоническая функция:  2  02  f m cos  t ,(5.1)(fm = Fm/m) а его частное решение имеет вид:(t) = Acos( t – ).(5.2)Такое колебательное движение будет происходить в системепо истечении времени установления вынужденных колебаний  >>1/, когда собственные колебания затухнут.

Обратим внимание нато, что установившиеся вынужденные колебания происходят начастоте вынуждающего воздействия  и имеют по отношению кнему фазовое запаздывание . Амплитуда А и  зависят отсоотношения частот вынуждающего воздействия  и собственныхколебаний 0.

Найдём выражения для величин (t ) и (t ) :(t ) = –A sin( t – ) = A cos( t –  + /2).(5.3)(t ) = –A 2cos( t – ) = A 2cos( t –  + ).(5.4)Как видим, скорость и ускорение опережают смещение (t) на/2 и , соответственно.Весьма наглядным способом нахождения амплитуды и фазывынужденныхколебанийявляетсяпостроение«векторнойдиаграммы» колебаний. Каждой гармонической функции можносопоставить54векторнаплоскости,длинакоторогоравнаХимический факультет МГУ им. М.В. ЛомоносоваВынужденные колебанияамплитуде колебания, а полярный угол – его фазе.

Длягармонических колебаний этот вектор вращается относительноначала координат (точки О) против часовой стрелки с постояннойугловой скоростью  , равной частоте колебаний.Для определения амплитуды вынужденных колебаний А ифазового сдвига  достаточно провести сложение векторов,соответствующихгармоническимуравненияРезультат(5.1).соответствует2  2  AфункциямвлевойфункциичастиF(t)/m.fm02 2A O (02   2 )A02 AРис.

5.1Направим вектор ω02 (t) по горизонтали вправо. На рисунке 5.1представлены также векторы, соответствующие функциям 2 (t )и (t ) . Как следует из (5.3) и (5.4), они опережают по фазе (t) на/2 и  соответственно. Из рис. 5.1 следует, чтоA() 20tg Представленныеамплитудыифазыfm2 2 4 2;(5.5)22 .02   2выражениявынужденных(5.6)определяютколебанийзависимостиотчастотывынуждающего воздействия.

Частотная зависимость амплитудыХимический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова55Колебания и волны. Волновая оптиканемонотонна – она имеет максимум при резонансной частоте p  02  2  2  с2   2 .(5.7)Т.о. резонанс – явление, которое состоит в том, что амплитудавынужденных колебаний оказывается максимальной при частотевнешнего воздействия, определяемой равенством (5.7).При очень малом затухании в системе ( << 0) можнопренебречь отличием резонансной частоты  р от собственной 0и записать ряд полезных соотношений.

Проделаем это напримере конкретной колебательной системы.Задача5.1. Свободные колебания железного стержня, подвешенного напружине, происходят с частотой с = 20 радс1,причём амплитуда колебаний уменьшается в  =5 раз в течение времени tη = ln 5  1,61 с. Вблизинижнего конца стержня помещена катушка,Uпитаемая переменным током (см. рисунок).Считая, что амплитуда вынуждающей силынеизменна, найти:а) коэффициент затухания  ;б) число колебанийN e,за которые амплитудауменьшается в е раз и добротность Q ; в) при какой частотетока, протекающего через катушку  рт, колебания стержнядостигнут наибольшей амплитуды?РешениеНа вопросы (а) – (б) легко ответить, исходя из наших знаний озатухающих колебаниях:56Химический факультет МГУ им. М.В.

ЛомоносоваВынужденные колебанияа)A0t e   ,A(t ) t = ln ,  1 c  3,2 ,T 2б) N e 1ln  = 1 c-1 .tQ = Ne = 10.При ответе на последний вопрос необходимо учесть, чточастота воздействия вынуждающей силы на железный стерженьв два раза больше, чем частота тока в катушке.11с2   2  c  10 радс-1.22в)  тр 5.2. В системе, описанной в предыдущей задаче, стерженьколеблется с амплитудой A = 1,5 мм при частоте тока в катушке 1 = 11 радс1. Найти:а) амплитуду колебаний при резонансе Ар ;б) относительное отклонение резонансной частотыколебаний от собственнойc   p; в) выразить амплитудуcколебаний при низкой частоте Аω0 (статическое отклонение)через Ар .Решениеа) Зная амплитуду вынужденных колебаний на частоте  1,можно определить величину fm :A(2 )1fm  A (2 )12fm22 20 4 (21 )2 02   4  2 ( 21 ) 2  A 24221 c2   2   16 2 12 2 0,14 H/кг.Далее, подставляя в выражение для амплитуды (5.5)значениерезонанснойчастоты(5.7),получаемполезноесоотношение:Химический факультет МГУ им.

М.В. Ломоносова57Колебания и волны. Волновая оптикаAp Ap Окончательно:A2cfm.(5.8)21 c2   2   16 212  3,5 мм.2 c42б) Относительное отличие резонансной частоты колебанийот собственной равно:2с   рс2   2 1 T  1 1  1     1  1  .  1 12сс24Q с212Приближенное вычисление корня 1    1   ( << 1) дает:с   р1 1 1  1  1  0,00125 (т.е.

0,125 %).22с24Q8Qв) Амплитуда колебаний при низкой частоте Аω0 (статическоеотклонение):A0 fm022  TАр с учётом (5.8) 2В условиях рассматриваемой задачиАрQ(5.9)A  0  0,35 мм.Приведём также точный вид амплитудной резонанснойкривой для рассмотренногослучаявынужденных колебаний(рис. 5.2). Горизонтальным пунктиром указан уровень амплитудывынужденных колебаний в2 раз меньший резонансного (чтосоответствует уменьшению колебательной энергии в 2 раза). Онопределяет “ширину резонансной кривой”  .

Можно показать, что = 2 и понятие добротности получает новую трактовку:Q58p.(5.10)Химический факультет МГУ им. М.В. ЛомоносоваВынужденные колебанияАмплитудная резонансная частотная зависимость4A, ммA, ммAр = 3,5 мм3 = 2 = 2 рад/с21A0 = 0,35 мм00Рис. 5.21020p3040, рад/с16p-/2 20 p+/224, рад/сЗадачи для самостоятельного решения.5.3.

Изобразить зависимость сдвига фаз между смещением ивынуждающей силой от её частоты  = () для случаявынужденныхколебанийпригармоническомвнешнемвоздействии.5.4. Показать, что в системах с малым затуханием ( << 0)ширина амплитудной резонансной кривой   2, а сдвигфаз между вынуждающей силой и смещением при  = 0  равен /4 и 3/4, соответственно.5.5. Колебательная система характеризуется логарифмическимдекрементомзатухания=1,05.Длявынужденныхгармонических колебаний этой системы найти отношениемаксимальнойамплитудысмещенияАркамплитудесмещения при очень малой частоте внешнего воздействияА0 .5.6.

Характеристики

Список файлов книги