Козлов, Зотеев - Задачник Колебания и волны. Волновая оптика (1109672), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

В системе, состоящей из двух связанныхиндуктивнокоэффициентконтуров1взаимнойи2(L1–индукции)висходном состоянии ключ K разомкнут;L1– C L+ 1KL – C+2левый конденсатор несет заряд 2q0, правый – не заряжен.Найти зависимости зарядов на конденсаторах от временипосле замыкания ключа K.РешениеКак и при решении задачи о контурах с ёмкостной связью,используем второе правило Кирхгофаq1dIdI  L 1  L1 2Cdtdt ,Химический факультет МГУ им.

М.В. Ломоносова(3.14)33Колебания и волны. Волновая оптикаq2dIdI  L 2  L1 1Cdtdt .(3.15)Здесь q1, q2 – заряды на левом и правом конденсаторах; I1 и I2 –силы токов в контурах 1 и 2. Далее задача решается совершенноаналогично предыдущей с той разницей, что величины 1, 2 и bзаменяются на q1, q2 и q0. Соответственно, решение имеет вид:q1(t) = q0 cosIt + q0 cosIIt ,q2(t) = q0 cosIt  q0 cosIIt .(3.23)Частоты нормальных колебаний определяются соотношениями:I  II 1( L  L1 )C01LC (1  k )1 k1( L  L1 )C01LC (1  k )1 k,(3.24),(3.25)где k = L1/L – коэффициент связи между контурами.Задача3.5. Изобразить графически зависимости от времени зарядов наобоих конденсаторах для задачи 3.4, если 0 1 2 с-1,LCа коэффициент связи между контурами k = 0,1.РешениеЗависимости q1(t) и q2(t) имеют вид (3.23), где нормальныечастоты  I 01 k,  II 01 k.

Подставляя числа, получим I = 0,950,II = 1,050 . Представим (3.23) в виде:   I    I q1 (t )  2q0 cos  IIt   cos  IIt, 2 2   I    I q2 (t )  2q0sin  IIt   sin  IIt . 2 234(3.26)Химический факультет МГУ им. М.В. ЛомоносоваКолебания в системе связанных осцилляторовq1(t)tq2(t)Рис. 3.5Видно (см. рис.3.5), что эти зависимости представляют собой так0называемые "биения"  колебания частотойменяющейся амплитудой (частота «биений» б =с медленно II   I2). Обратимвнимание, что энергия постоянно как бы ''перетекает" от одногоконтура к другому (но обмена энергий между модами нет!).Задача3.6.

Найти общим методом (см. стр.27) собственнуюm1km2частоту колебаний двухатомной молекулы(массы атомов m1 и m2, коэффициентупругой связи k).12РешениеУравнения динамики для каждого атома выглядят так:m1 1   k(1 – 2),(3.27)m2 2  k(1 – 2).(3.28)Решение этой системы ищем в виде (3.13):1 = A cost ,2 = B cost .Подставляя (3.13) в (3.27) и (3.28), получаем системуХимический факультет МГУ им. М.В.

Ломоносова35Колебания и волны. Волновая оптикауравнений: k(A – B) =  m12A ,(3.29)k(A – B) =  m22B ,(3.30)Суммируя (3.29) и (3.30) имеем m12A =  m22B, т.е. B =Am1/m2. После подстановки B легко найти искомую величину:0 k,m1m2.m1  m2(3.31)Задачи для самостоятельного решения.3.7. Системасостоитиздвуходинаковыхосцилляторов,связанных между собой пружинкой (см. рис.

3.1). Как нужновывести эту систему из равновесия, чтобы колебания обоихтел после прекращения воздействия были гармоническими?3.8. Системасостоитиздвуходинаковыхосцилляторов,связанных между собой пружинкой (см. рис. 3.1) Параметрыm, k и k1 известны. В начальный момент времени левое телотолкают по оси X со скоростью v0. Определите законыизменения координат каждого из тел после этого.3.9.

Для системы, описанной в предыдущей задаче, определитеэнергию, запасенную в каждой нормальной моде колебаний.3.10. В системе, состоящей, из двух связанных механическихосцилляторов (см. задачу 3.1) в начальный момент временитело 1 смещают по оси Х на 2b (тело 2 при этом закрепленов равновесном положении). Изобразите зависимости отвремени смещений обоих тел, если частоты двух нормальныхколебаний этой системы отличаются на 10% (  I I = 1,1  I ).36Химический факультет МГУ им.

М.В. ЛомоносоваКолебания в системе связанных осцилляторов3.11. Определите частоты нормальных колебаний и нормальныекоординаты для системы, показанной на рисунке. Массыобоих тел равны m, а коэффициентыжёсткости обеих пружинок – k.3.12. Система состоит из двух одинаковых дисков,связанныходинаковымипружинами.Модулькручения*) пружин одинаков и равен D. Определитечастоты нормальных колебаний этой системы,если момент инерции каждого диска J.3.13. Дваодинаковыхматематическихмаятникадлиной l связаны пружиной с коэффициентомжесткостиk.Найдитечастотынормальныхm k mколебаний этой системы.3.14.

Два одинаковых математических маятника (длинакаждогоравнаl)связаныпоследовательно.Определите частоты нормальных колебаний этойсистемы.3.15. В начальный момент времени верхний грузик системыматематических маятников из предыдущей задачи смещаютвправо на х1 = 1 см. Как нужно сместить в этот моментнижний грузик х2, чтобы при освобождении грузиков обаони совершали гармонические колебания?3.16. На рисунке показана система, состоящаяиздвуходинаковыхk MMkмеханическихm*)См.

примечание на стр. 19 раздела 2.Химический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова37Колебания и волны. Волновая оптикаосцилляторов (величины M и k известны), связь междукоторыми осуществляется через массу m**). Блоки, нити ипружины считать невесомыми, а нити – нерастяжимыми.Найдите частоты нормальных колебаний этой системы.3.17. Два одинаковых колебательных контура (L, Cизвестны) связаны между собой индуктивностьюL1. Найдите частоты нормальных колебанийэтой системы.3.18. * Связь между двумя колебательными контурами с разнымиёмкостями (C и 2C) и одинаковыми индуктивностями (L)осуществляется через взаимную индукцию(L1 = L/2). Найдите частоты нормальныхL1L1Lколебаний этой системы и нормальные«координаты» qI и qII.3.19. Параллельноодномуколебательномуконтуру(L,C)подключают другой (L1, C1).

Сколько нормальных мод будет уэтой системы? Найдите частоты её собственных колебаний.3.20. Сначала левый конденсатор заряжаютдо разности потенциалов U0 , затем егоподключают к схеме. Определите, какбудут меняться со временем заряды надвух крайних конденсаторах.3.21. Для системы, описанной в предыдущей задаче, найдитеэнергию, запасенную в каждой нормальной моде колебаний.**)Аналог индуктивной связи в задаче 3.4.38Химический факультет МГУ им. М.В. ЛомоносоваКолебания в системе связанных осцилляторов3.22. Два колебательных контура с разнымииндуктивностями (L и 2L) и одинаковымиемкостями C соединены такой же емкостью.Определите частоты нормальных колебаний.3.23.

Известно, что частота собственных колебаний молекулыHF190  7,81014 радс-1. Определите частоту собственныхколебаний молекулы HJ127, если известно, что величинывторой производной от потенциальной энергии молекулы покоординатевблизиминимумовпотенциальнойэнергииотличаются для этих молекул в n  3 раза. Для какоймолекулы величина второй производной больше и почему?3.24. Оцените, во сколько раз (n) отличаются величины d2U/dx2вблизи минимумов потенциальной энергии для молекулHCl35 и Na23Cl35, если собственные частоты колебаний этихмолекул: (HCl)  5,651014 радс-1, а (NaCl)  7,51013 радс-1.Объясните причину столь большой разницы.3.25. Определитеколичествонормальныхмодлинейноймолекулы N2O. Назовите типы колебаний этой молекулы.3.26.

Определитеколичествонормальныхмодмолекулыаммиака NH3. Изобразите возможные типы валентных идеформационных колебаний этой молекулы.3.27. Найдитеотношениеантисимметричныхчастотвалентныхсимметричныхколебанийилинейноймолекулы СО2.Химический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова39Колебания и волны. Волновая оптика4.

Затухающие колебанияУ реального осциллятора всегда есть потери колебательнойэнергии. Поэтому свободные колебания будут затухающими (азначит,негармоническими).Вэтомслучаевуравнениеколебаний в механических системах (2-й закон Ньютона) следуетдобавить силу вязкого трения (r x ), а в уравнение колебаний вэлектрическом контуре (2-ое правило Кирхгофа) – падениепотенциала на сопротивлении (RI = R q ). В результате мы приходим кдифференциальному уравнению вида:  2  ω02  0 ,(4.1)где  – новая константа, называемая коэффициентом затухания.Например,  = r/2m в случае колебаний грузика массой m напружине, а 0 по-прежнему имеет смысл собственной частотынезатухающих колебаний 0  k / m . Для электрических колебанийв LС–контуре коэффициент затухания равен  = R/2L.Видрешенияуравнения (4.1)какрази зависитотсоотношения констант 0 и , а их значения определяютсяпараметрами конкретной колебательной системы.1) Для случая  < 0 (малое затухание) его решением являетсяфункция: (t )  A0  e  t  cos(ct  0 ) ,(4.2)где c  02   2  частота затухающих колебаний.

Как видим,колебанияпостепенноосциллятора напоминаютубывающейпогармонические,экспоненциальномуно сзаконуамплитудой. Для описания этого убывания принято использоватьследующие величины:40Химический факультет МГУ им. М.В. ЛомоносоваЗатухающие колебанияa) Время релаксации амплитуды A – время уменьшенияамплитуды колебаний в e раз.A0 e,A0e  A = 1/.откудаA(4.3)б) Количество колебаний Ne, за которое амплитуда уменьшитсяв e раз:Ne в)ЛогарифмическийAT1.Tдекремент(4.4)затухания – логарифмотношения амплитуд двух последовательных колебаний:  lnA(t )1.T A(t  T )Ne(4.5)г) Добротность колебательной системы Q:Q    Ne . T(4.6)Можно показать, что при  T << 1 добротностьQ  2W (t ),W (t , T )(4.7)где – W(t) запасенная осциллятором энергия, W(t,T) – потериэнергии за период колебаний.2) Большое затухание реализуется при  > 0.

Решениеуравнения (4.1) имеет в этом случае вид: (t )  A  eгде  1 t1 Bet2,(4.8)11, 1   2  02 , А и В – константы,, 2   1  1зависящие от начальных условий. Графически эта функцияпредставлена на рис.4.1 для случая  (0)  0 .Химический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова41Колебания и волны. Волновая оптикаA exp(-t/) + B exp(-t/)A exp(-t/)B exp(-t/)A0tBРис. 4.1Очевидно, такой процесс уже не является периодическим.3) Наконец, случай  = 0 соответствует “критическомурежиму”, при котором возвращение осциллятора к равновесиюпроисходит по закону: ( t )  ( A  B  t )e   t(4.9)Рассмотрим далее несколько задач, в которых реализуютсяразные случаи затухания свободных колебаний.Задача4.1.

В устройстве, рассмотренном в задаче 2.2, груз движется всреде с коэффициентом сопротивления*) r = 2 кг/с.Масса блока М = 8 кг. Жёсткость пружины k =M1000 H/м.rkМасса груза т = 6 кг. Записать закондвижения груза при его малых колебаниях поmвертикали. Выталкивающей силой пренебречь.РешениеУравнения, описывающие движение системы, отличаются отуравнений, использовавшихся при решении задачи 2.2, лишькоэффициент пропорциональности между силой вязкого трения, действующей на тело, иего скоростью*)42Химический факультет МГУ им. М.В. ЛомоносоваЗатухающие колебаниядобавлением силы сопротивления среды – вязкого трения вправой части записи 2-го закона Ньютона для груза:mx  mg  T1  r  x .Использование остальных уравнений системы (см. решениезадачи 2.2) позволяет привести это уравнение к виду (4.1) сконстантами2kr= 0,1 c-1 и  0  10 с 1 .2m  M2m  M2k= 10 радc-1. Итак,2m  MВ нашем случае  << 0 и  c   0 колебания груза происходят по закону:x(t ) mg A  e  t  cos(0t  0 )  0,06  A  e 0,1t  cos(10t  0 ) (м).kАмплитудаиначальнаяфазаколебаний,какобычно,определяются начальными условиями.Задача4.2.

Характеристики

Список файлов книги