Козлов, Зотеев - Задачник Колебания и волны. Волновая оптика (1109672), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Направлениескорости электромагнитной волны v совпадает с направлением векторного произведения [ E , B ].Уравнением волны называется соотношение, в явнойформе отражающее зависимость  = (x,y,z,t) – а это решениедифференциального уравнения (7.1). В частности, уравнениеплоской гармонической волны, распространяющейся по оси ОX,имеет вид:(x,t) = Acos(t – kx + 0).(7.2)Здесь А – амплитуда волны,  – циклическая частота, k = /v = 2/– т.н. «волновое число».

Напомним, что величина (t – kx + 0)называется фазой, а 0 – начальной фазой.Химический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова77Колебания и волны. Волновая оптикаПоверхность, во всех точках которой колебания происходят водной фазе, называется волновой поверхностью. Волновыхповерхностей бесконечно много. «Самая передняя» из них (т.е.самая дальняя от источника) называется фронтом волны. Волна,описывающаяся соотношением(7.2),потому и называетсяплоской, что все её волновые поверхности – плоскости.Если(точечныйразмерамиисточник),источникатоволнволновыеможнопренебречьповерхностиявляютсясферическими и уравнение волны принимает вид (см.

задачу 7.1):A(r,t) = cos(t – k r ).(7.3)rЗдесь r – радиус вектор, соединяющий источник с данной точкойпространства; k = (2/)(v /v) – так называемый «волновой вектор».Плотностьюприходящаясяэнергиинараспространяетсяволныединицуволна.wобъёмаУпругаяназываетсясреды,волнанесётэнергия,вкоторойссобойкинетическую и потенциальную энергии (первая представляетсобой кинетическую энергию колеблющихся частиц T, вторая –энергию деформации среды U): W = T + U. Плотности кинетической(wT) и потенциальной (wU) энергий упругой гармонической волны(7.2) одинаковы:wT(t) = wU(t) = (A22/2)sin2(t – kx),(7.4)поэтому полная плотность энергии упругой волны:w(t) = A22sin2(t – kx).(7.5)Энергия электромагнитной волны складывается из энергииэлектрического и магнитного полей. Поэтому полная плотностьэнергии электромагнитной волны w = wE + wB, гдеwE(t) = 0E 2 (t)/2,78wB(t) = B 2 (t)/20.(7.6)Химический факультет МГУ им.

М.В. ЛомоносоваВолныВ распространяющейся электромагнитной волне напряжённостьэлектрического и индукция магнитного полей изменяются в фазе,причёмвлюбойпространствамоментвременивданнойточкеwE(t) = wB(t). Отсюда следует связь междувеличинами электрического и магнитного полей в волне:B(t) =  0 0 E(t) = E(t)/v.(7.7)С учётом соотношений (7.6) и (7.7) плотность энергииэлектромагнитной волны может быть выражена следующимобразом:w(t) = 0E 2 (t) = B 2 (t)/0 =E (t )  B(t ).0v(7.8)Основные энергетические характеристики переноса энергииволнами (как упругими, так и электромагнитными) таковы:a) Плотность потока энергии (энергия, переносимая волной вединицу времени через единичную площадку, перпендикулярнуюнаправлению распространения волны):S(t) = w(t)v.(7.9)б) Интенсивность волны (среднее по времени значениеплотности потока энергии):I = S (t ) = w(t ) v .(7.10)При усреднении по времени плотности энергии волны учтём,что среднее по времени значение квадрата гармоническойфункции равно 1/2, поэтому, например, для электромагнитнойволны – см.

(7.8):I = E0B0/20,гдеE0иB0–амплитудные(7.10,a)значениянапряжённостиэлектрического и индукции магнитного полей, соответственно.Химический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова79Колебания и волны. Волновая оптикав) Векторы Умова (для упругих волн) и Пойнтинга (дляэлектромагнитных волн):S (t) = w(t)v .(7.11)В частности, вектор Пойнтинга можно записать в виде: S (t) = [ E , B ]/0.(7.11,a)г) Средние по времени значения векторов Умова и Пойнтинга(«векторная интенсивность»):S (t )  w(t )  v .(7.12)В частности, для электромагнитной волны S (t ) = [ E0 , B0 ]/20.(7.12,а)д) Поток энергии волны через некоторую поверхность  исреднее по времени значение этого потока:Ф(t) =  S (t )d s   S n (t )ds ,(7.13)(t )   S (t ) d s   S n (t ) ds .(7.14)Здесь d s – вектор, модуль которого равен площади элементаповерхности ds , а направление совпадает с направлениемнормали к нему; Sn – нормальная к площадке ds составляющаявектора S .Перейдем к конкретным задачам по рассматриваемой теме.Задача7.1.

Доказать,чтоамплитудасферическойволны,распро-страняющейся в непоглощающей среде, обратно пропорциональна расстоянию r до источника (см. (7.3)).РешениеЧем дальше от источника уходит сферическая волна, тем набольшую площадь поверхности распределяется испускаемая80Химический факультет МГУ им. М.В. ЛомоносоваВолныисточником энергия (S = 4r2). Соответственно, тем меньшаяэнергия приходится на каждую колеблющуюся частицу ( 1/r2). Изсоотношений (7.4) и (7.8) следует, что плотность энергии волны wпропорциональна квадрату амплитуды колебаний (А2 для упругой,E02илиB02дляэлектромагнитнойволн).Следовательно,амплитуда колебаний в сферической волне обратно пропорцииональна расстоянию от источника А w(t )  1/r (см.

(7.3)).Задача7.2. Доказать, что уравнение (x,t) = Acos(аt – bx) описываетгармоническую волну, распространяющуюся по оси ОХ.Найти фазовую скорость этой волны и направление еёраспространения.РешениеПостоянному значению фазы волны соответствует условиеat – bx = const. Продифференцируем это соотношение: adt – bdx = 0.Отсюда следует, что координата точки с постоянной фазойперемещается со скоростью v = dx/dt = a/b. Это и есть поопределению фазовая скорость волны. Если отношение a/b > 0,волна распространяется в положительном направлении оси ОХ,если a/b < 0 – в противоположном направлении.Задача7.3.

По шнуру натянутому вдоль горизонтально направленной осиОХ бежит упругая волна: y(х,t) = Acos(t – kx). Найтираспределения кинетической и потенциальной энергии вдольшнура для «бегущей» и «стоячей волн» волны.РешениеДлябегущейпошнуруупругойволныХимический факультет МГУ им. М.В. Ломоносовамаксимумы81Колебания и волны. Волновая оптикапотенциальнойи"бегущая волна" волнакинетическойwT , wUэнергии находятся в одних и тех жеаместах – там, где (t) = 0 (см.соотношение(7.4))–рис.0wUстоячая волна7.1,а.бКонечно, они перемещаются вместе с0wT0В узлах стоячей волны шнур ненозатоxвволной с фазовой скоростью v.движется,xxРис.

7.1испытываетмаксимальные упругие напряжения (точки слева и справа от узлавсегда движутся в разные стороны); в пучностях, наоборот,максимальна скорость шнура, но соседние точки движутсяпрактическиодинаково.потенциальнаяэнергияПоэтомустоячейвузлахволны,вмаксимальнапучностях–кинетическая. Распределения кинетической и потенциальнойэнергии вдоль шнура для «стоячей» волны показаны на рис. 7.1, аи б.

Максимумы потенциальной и кинетической энергий в стоячейупругой волне пространственно разнесены на /4.Задача7.4. Одинконецгоризонтальногошнуразакреплён,другойперемещают по вертикали по закону: y(t) = Asin4t. В среднейчасти шнура при этом наблюдаются три точки, в которыхшнур остается все время неподвижным.

Расстояние междусоседними неподвижными точками L = 2 м. Изобразить видколеблющегосяшнураиуказатьместа,вкоторыхмаксимальны потенциальная и кинетическая энергии волны.Найти скорость распространения «бегущей» упругой волныпо этому шнуру.82Химический факультет МГУ им. М.В. ЛомоносоваВолныРешениеВ указанных условиях на шнуре формируется т.н. «стоячая»волна, возникающая в результате сложения «исходной» иотражённой от закрепленного конца шнура волн. На шнуревозникают т.н.

«узлы» (неподвижные точки) и «пучности» (областис максимальной амплитудой колебаний) – см. рис.7.1. Расстояниемежду двумя соседними узлами или пучностямиравнополовинедлиныволны(L = /2)и,бегущейпоследовательно,  = 4 м.СкоростьраспространенияРис. 7.1шнуру волны v = /T = /2. Из условия задачиследует, что  = 4 (с–1). Ответ: v = 8 м/с.Задача7.5. Используя определенные аналогиимежду параметрамиупругих и электромагнитных волн, укажите относительноерасположение максимумов электрического и магнитного поляв бегущих и стоячих электромагнитных волнах.РешениеКак следует из сопоставления характеристик механических иэлектромагнитных колебаний (см.

п.3), потенциальной энергииупругой волны wU соответствует энергия электрического поляэлектромагнитной волны wЕ, а кинетической энергии wT – энергиямагнитного поля wВ. Соответственно, в бегущей электромагнитнойволне максимумы энергии электрического и магнитного полейсовпадают (так же, как максимумы потенциальной и кинетическойэнергии в бегущей упругой волне); в стоячей электромагнитнойволне максимумы wЕ и wB должны быть пространственноразнесены на /4 (как и максимумы wU и wT в стоячей упругойволне).Химический факультет МГУ им.

М.В. Ломоносова83Колебания и волны. Волновая оптикаЗадача7.6. Между двумяметаллическими плоскостями возбужденаплоская стоячая электромагнитная волна (длина волны ).РасстояниемеждупластинамиL=1,5.Изобразитезависимости напряжённости электрического поля, а такжеплотности энергии электрического wЕ и магнитного полей wB.РешениеНапряжённостьэлектрическогополяэлектромагнитнойволны на границе с металлическими пластинами должна бытьравнанулю(этосоответствуетwEминимальным потерям энергии навозбуждение токов в пластинах).

С0wBучётом предыдущей задачи индукциямагнитногополяметаллическиминаграницепластинамис0макси-мальна. Искомые зависимости показаныxxEx0Рис. 7.2на рис. 7.2.Задачи для самостоятельного решения7.7. Написать уравнения продольной и поперечной плоскихгармонических волн, распространяющихся по оси ОХ. Известныамплитуда A, длина волны  и фазовая скорость волн v.7.8. Какую волну описывает уравнение  = Acos(t + kx) –продольную или поперечную? В какую сторону направлена ичему равна фазовая скорость этой волны? Что изменится,если перед kx поменять знак?7.9.

Написать уравнение цилиндрической гармонической волны с84Химический факультет МГУ им. М.В. ЛомоносоваВолнычастотой  и длиной волны , распространяющейся воднородной непоглощающей среде (r – расстояние долинейного источника волн).7.10. Звуковая волна переходит из воздуха в воду.

Что происходитпри этом с частотой, периодом и длиной волны? Фазоваяскорость звука в воздухе v 1  300 м/с, в воде – v 2  1500 м/с.7.11. Пострунераспространяетсянегармоническаяволна,описывающаяся функцией (x,t) = f(at – bx). Докажите, что этафункцияудовлетворяетдифференциальномууравнению(7.1,а). Определите скорость этой волны.7.12. На рис.7.3 показана зависимость смещения частиц в.CB..DA.Рис. 7.3поперечной волне  = Acos(t – kx) отХкоординатывнекоторыймоментвремени. Покажите стрелками направленияскоростей частиц в точках A, B, C и D.7.13.

Характеристики

Список файлов книги