Козлов, Зотеев - Задачник Колебания и волны. Волновая оптика (1109672)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Общие свойства гармонических колебаний1. Общие свойства гармонических колебанийТочкасовершаетгармоническиеколебания,еслиеёотклонение от положения равновесия зависит от времени позакону:(t) = Acos( t + 0).(1.1)Параметр А называется амплитудой,   циклической(круговой) частотой колебаний, ( t + 0) – фазой, 0 – начальнойфазой колебаний. Величина T = 2/ называется периодомколебаний.Дифференцируя (1.1) по времени, получаем зависимостискорости колеблющейся по гармоническому закону точки и еёускорения от времени:(t ) =  A sin(t + 0) = A cos(t + 0 + /2),(1.2)(t ) =  A 2 cos(t + 0) = A 2 cos(t + 0 + ).(1.3)Из соотношений (1.2) и (1.3) следует, что максимальнаявеличина скорости колебательного движения (амплитуда скорости)равна vmax = A, а ускорение точки в любой момент временипропорционально её отклонению от положения равновесия (t) =   2 (t).(1.4)Таким образом, если при решении какой-то физическойзадачи некоторая величина (например, координата тела вмеханике или заряд конденсатора в электричестве) окажетсяпропорциональнойеёвторойпроизводнойповременисобратным знаком, то эта величина зависит от времени погармоническомузакону(1.1).Причёмкоэффициентпропорциональности между величиной и её второй производнойопределяется частотой собственных колебаний  2   /  (здесь и в0дальнейшем для частоты собственных незатухающих колебаний какогоХимический факультет МГУ им.

М.В. Ломоносова3Колебания и волны. Волновая оптикалибо физического осциллятора используется обозначение ω0 ).Прирешениисобственныхконкретнойгармоническихфизическойколебанийзадачичастотаопределяетсятолькопараметрами осциллятора (такими, как масса колеблющегосятела, коэффициент жёсткости пружины, ёмкость конденсатора,индуктивностькатушкивколебательномконтуреит.п.).Амплитуду колебаний А и начальную фазу 0 можно определить,используя два начальных условия – начальное отклонение отположения равновесия и начальную скорость точки.Решим несколько задач, которые помогут лучше понятьобщие свойства гармонических колебаний.Задача1.1.

Координата точки по оси Y меняется со временем по закону,y, мпредставленномунаграфике.Опишитеэтузависимость уравнением вида y(t) = Acos( t + 0),подобрав значения параметров А,  и 0.РешениеИз рисунка видно, что максимальное отклонение точки отположения равновесия и, следовательно, амплитуда колебанийА = 1 м. Период колебаний T = 2 c, отсюда  = 2/T =  c-1. Наконец,в начальный момент времени (t = 0)y(0) = cos0 = 0. Это можетбыть при 0 = /2 и 0 = 3/2. Однако начальная скорость точки,как это видно из рисунка, v0у < 0. Поскольку v0у = –Asin0, аsin/2 > 0, правильным является именно значение 0 = /2.Ответ: y(t) = cos(t + /2) м.Предлагаем самостоятельно получить закон движения этойже точки также в виде y(t) = Аsin( t + 1).4Химический факультет МГУ им.

М.В. ЛомоносоваОбщие свойства гармонических колебанийЗадача1.2. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси X. Внекоторыймоментвремениt1смещениечастицыотположения равновесия x1 = 0,3 м, проекция её скорости v1 =– 4 м/c и ускорения а1 = – 30 м/с2. Определите амплитуду ичастоту колебаний частицы.РешениеПо условию координата частицы меняется со временем позакону x(t) = Acos( t + 0).

В некоторый моментвремениt1смещение частицы от положения равновесия x1 = Acos(t1 + 0),её скорость v1 = – Asin(t1 + 0), а ускорение а1 = – A2cos(t1 + 0).Поскольку при гармонических =а = –  2 x, имеемколебаниях a1 / x1 . Суммируя функцииcos2( t 1 + 0) + sin2(t1 + 0) =(x1/А)2 + (v1/А)2 = (1/А)2(x12  x1v 12/a1) = 1, получаем А = x1 1  v12 / a1 x1 .Ответ: А = x1 1  v12 / a1 x1 = 0,5 м;  = a1 / x1 = 10 радc-1.Задача1.3. Тело, прикреплённое упругой пружиной кстене, находится на гладкой горизонтальной поверхности.

Вначальный момент времени его смещают по оси X нарасстояние x0 = 5 см и толкают со скоростью v0 = 10 см/cвлево.Период колебаний тела T = 3,14 c. Определите,через какое минимальное время  тело будет проходитьположение равновесия.РешениеЗапишем второй закон Ньютона для тела, совершающегоХимический факультет МГУ им. М.В.

Ломоносова5Колебания и волны. Волновая оптикамалые колебания на пружине:mx = – k  x ,где m  масса тела, k – коэффициент упругости пружины. Отсюдаследует, чтоx = 2x(здесь  2 = k/m). Это типичноедифференциальное уравнение гармонических колебаний, общеерешениекоторого: x = Acos(t + 0). Из начальных условийполучаем:x0 = Acos0, v0 = –Asin0; sin20 + cos20 = (v0/A)2 + (x0/A)2 = 1.Следовательно,A  x02  v 0T / 2  и cos  0  x0 / A  1 1  v 0T / 2x0  .2Перемещение2телаотначальногоравновесного равно по величине x0.положениядоВ равновесном положенииx = 0 = Acos(t + 0).

Первый раз тело окажется в положенииравновесия при значении фазы:   + 0 = /2.Это произойдёт вмомент времени  = (/2  0)/ = T/4  T0/2.Ответ:  = T/4 – (T/2) arccos 11  v 0T / 2x0  = T/8  0,39 c.2Задача1.4. Монета лежит на горизонтальной подставке,Y0совершающей вертикальные колебания позакону: y(t) = Asint, где  = 10 с -1. При каких амплитудах этихколебаний движение монеты будет гармоническим? На какоймаксимальной высоте H относительно среднего положенияподставки окажется монета в течение первого периодаколебаний подставки, если А = 0,2 м. Ускорение свободногопадения считать равным g = 10 м/с2.6Химический факультет МГУ им. М.В.

ЛомоносоваОбщие свойства гармонических колебанийРешениеПо второму закону Ньютона для монеты maу = N  mg, где N –сила, действующая на монету со стороны подставки вверх (пооси Y), ау – вертикальная проекция ускорения монеты. Движениемонеты будет гармоническим до тех пор, пока она не начнёт«отрываться» от подставки. При гармоническом движении монетыеё ускорение aу = y = –A2sint. Началу отрыва монеты отподставки при постепенном увеличении амплитуды соответствуетусловие N = 0. При этом «пограничном» условииg = A2sint.Таким образом, при А = g/2 движение монеты ещё происходит погармоническому закону (монета «теряет контакт» с подставкойпока только в верхних точках траектории); при А  g/2 движениемонеты уже не будет гармоническим.

В частности, при заданныхусловиях задачи движение монеты будет гармоническим приА  0,1 м. При бόльших амплитудах монета начнет «подскакивать»над подставкой.Определим, на какой максимальной высоте окажется монетав течение первого периода колебаний подставки при А  g/2.Моменту отрыва t1 монеты от подставки соответствует условиеsint1 = g/A2. В этот момент координата монеты y1 = Asint1 =g/2,аеёскорость v1 = y = Acost1 = A 1  sin 2  t1 =A 1  ( g / A 2 ) 2 .

Начиная с этого момента, монета летит, какброшенное вверх со скоростью v1 тело. Максимальную высоту, накоторую поднимется монета (от этой точки), легко определить,например, пользуясь законом сохранения механической энергии:Химический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова7Колебания и волны. Волновая оптикаh = (v12/2g) = A22/2g – g/22. Максимальная высота подъёма монетыот среднего положения H = h + y1.Ответ:H = A22/2g + g/22 = 25 см.Задачи для самостоятельного решения1.5.Точка колеблется вдоль оси X по закону: x(t) = Аcos t .Построить зависимости: x1(t) = Аcos( t + /2), x2(t) = Аcos( t + )и x3(t) = Asin( t + ).1.6. Частица движется по гармоническому закону,причём в начальный момент времени еёсмещение от положения равновесия равнополовине максимального (см. рис.).

Опишите её движениезаконами видаx(t) = Acos(t + 0)иAsin(t + 1).1.7. Шарик падает на пол с высоты h. Если удар шарика о полупругий, будет ли движение шарика (а) колебательным, (б)периодическим и (в) гармоническим? Что изменится, еслиудары шарика о пол неупругие?1.8. Вектор, длина которого равна А, вращается против часовойстрелки с угловой скоростью .

В начальный момент векторсоставляет угол 0 с осью Х. По какому закону изменяетсяпроекция этого вектора на ось X?1.9. Частица колеблется вдоль оси Х по закону: x(t) = Аcost.Построить зависимости: а) x(t), x (t ), x(t ) ; б) x ( x ) и x( x ) .8Химический факультет МГУ им. М.В. ЛомоносоваОбщие свойства гармонических колебаний1.10. Рыбка перемещается вдоль стенки аквариума по закону:х(t) = 0,2cost (м). Найти среднюю величину модуля скоростиv и модуль средней скорости |v | рыбки за один цикл.1.11.

Частица колеблется по закону: x(t) = 2cos t /3 (м). Найтисреднюю скорость v  частицы и средний модуль скоростиv  за время: а) от 1 с до 2 с; б) от 2 с до 4 с.1.12. Студентдвижетсямеждухимическимифизическимфакультетами МГУ по закону x(t) = 100cost (м). Считая, чтоего максимальная скорость равна v0 =  м/c, определите, закакое время  он сможет преодолеть расстояние от химфакадо памятника Ломоносову? Какими будут модуль егосредней скорости | v | и средний модуль скорости v заодин полный цикл химфакфизфакхимфак?1.13. Лектор перемещается вдоль доски по закону x(t) = 5sint (м).Его максимальная скорость при этом равна vm = 360 м/час.Определите, какое время  требуется лектору для того,чтобы пройти от одного крайнего положения до другого?1.14. В средней части траектории лектора из предыдущей задачинаходится доска длиной 5 м.

Определите, за какое время он проследует мимо доски?1.15. Зависимость скорости тела массы m = 1 кг от егокоординатыxпредставляет собой эллипс с полуосямиа = 1 м и b = 0,628 м/c. Изобразить зависимости координаты иХимический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова9Колебания и волны. Волновая оптикаимпульса тела от времени. Чему равен период колебанийтела?1.16.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги