Козлов, Зотеев - Задачник Колебания и волны. Волновая оптика (1109672), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

В условиях предыдущей задачи определить параметрызатухающих колебаний в системе: а) время релаксацииамплитуды(A);б)количествоколебаний,закотороеамплитуда уменьшится в e раз (Ne); в) логарифмическийдекремент затухания  ; г) добротность Q .Решениеa) Время релаксации амплитуды A:A = 1/ = 10 c.б) N e AT1,TT20 0,6 с,Ne 12Химический факультет МГУ им. М.В.

Ломоносова2m  M 16.2k43Колебания и волны. Волновая оптикав) Логарифмический декремент затухания:  lnг) Добротность:A(t )1 T  0,06 .A(t  T )NeQ  N e  52 . TЗадача4.3. Сколькоколебанийсовершитгрузвустройстве,рассмотренном в задачах 4.1 и 4.2, за то время, покаамплитуда уменьшится в n = 23 раза.РешениеЗапишем отношение амплитуд в начале колебаний и вмомент времени n, когда амплитуда уменьшится в n раз:A0 n.A0e  nn Отсюда1ln (n ) .Число колебаний до этого моментаNn nT1ln (n) ln (n)ln (n) Q.TN 23 ln 23 Q  Q  52 .Таким образом, оказалось, что добротность равна числу колебанийосциллятора, за которое амплитуда уменьшается в 23 раза.Задача4.4.

Для колебательной системы, рассмотренной в предыдущихзадачах(4.1–4.3), определить относительное уменьшениесобственной частоты затухающих колебаний с по сравнениюс незатухающими 0.44Химический факультет МГУ им. М.В. ЛомоносоваЗатухающие колебанияРешениеОтносительное уменьшение частоты свободных колебаний врезультате затухания равно:2 02   2 0  с1 T . 1 1  1     1  1    1 1004Q 2 2  0 2Воспользуемся далее формулой для приближенного вычисления1корня 1    1   , справедливой для случая  << 1:2 1 1 0  с1 1  1  5  10 5 (0,005 %).220 2 4Q  8QЗадача4.5. При какой величине коэффициента вязкости r в устройстве,рассмотренном в задачах 4.14.3, реализуется критическийрежим колебаний.

Определить зависимость смещения отвремени в критическом режиме, если в начальный моментвремени тело из положения равновесия толкают вниз соскоростью v0 = 1 м/с.РешениеКритический режим колебаний реализуется при  = 0 = 10 с-1.Для рассматриваемой колебательной системы:r   (2m  M )  0  (2m  M )  200 кг/с.Общее решение для критического режима может бытьзаписано в виде: (t )  ( A  B  t )e  t .Начальные условия:(0) = 0,(0)  v 0 .Химический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова45Колебания и волны. Волновая оптикаОтсюда А = 0, v 0  A  B,  B = v 0.Окончательно получаем зависимость смещения от времени: (t )  v 0  t  e  t .Задача4.6. В условиях предыдущей задачи (4.5) найти максимальноеотклонение груза от положения равновесия.

Доказать, чтооно пропорционально начальной скорости грузика.РешениеАнализируя функцию  (t )  v 0  t  e  t на экстремум, легкопоказать,чтовкритическомрежимесистемадостигаетмаксимального отклонения от положения равновесия за времяtmax 1 0,1 с.Вэтот (t) = V0te0,05отклонениеоказывается- t-1V0 = 1 м/с,  = 10 c , r = 200 кг/с, м0,04моментmax = V0/e0,030,020,010,000,0Рис.

4.2460,2tmax = 0,1 c0,40,60,81,0t, cХимический факультет МГУ им. М.В. ЛомоносоваЗатухающие колебанияпропорциональным начальной скорости осциллятора*): max  v 01.eНа рис.4.2 приведена зависимость отклонения грузика отположения равновесия в критическом режиме для случая,рассмотренного в задачах 4.5 и 4.6.Впредставленныхвышезадачах(4.1–4.6)затуханиеколебаний обусловлено наличием вязкого трения.

Колебания всистеме с “сухим трением” рассмотрим на примере следующейзадачи.Задача4.7. На горизонтальном столе лежит брусок массы m = 0,5 кг,прикрепленныйгоризонтальнойпружинойкстене.Коэффициент трения скольжения бруска о поверхность столаравен  = 0,1. Брусок сместили по оси Х так, что пружина растянулась на x0 = 6,3 см, и затемотпустили. Коэффициент жёсткостиkпружинки k = 100 Н/м, а её массаmпренебрежимо мала.0x0а) Построить график зависимостиXот времени смещения бруска от начального положения х(t); б)Найтичислоколебаний,котороесовершитбрусокдоостановки.РешениеГлавное отличие этой задачи от предыдущих состоит в том,чтоврассматриваемомслучаенельзянаписатьединоеуравнение, описывающее движение бруска в любой момент*)Такой режим реализуется обычно в «баллистическом маятнике».Химический факультет МГУ им.

М.В. Ломоносова47Колебания и волны. Волновая оптикавремени.Ведь сила сухого трения, оставаясь постоянной повеличине, меняет направление при изменении направлениядвижения. Это приводит к тому, что для движения бруска вправои влево придется записывать и решать разные дифференциальные уравнения. Пусть x = 0 соответствует положению тела принедеформированной пружине.1. При движении бруска из начального положения влево( x  0 ) можно записать уравнение:mx  kx + mg.x ОткудаОбозначимпеременной mgkkmg x  0.mk  0 = x – 0,и,послестандартнойзаменыполучим уравнение гармоническогоосциллятора (2.1).

Решение для этого этапа движения (обозначимего x(1)) имеет вид: k x (1) (t )   0  A1  cos t  , m где A1 = x0 – 0 (с учетом начальных условий). Подстановкачисленных данных задачи даёт:0 = 0,5 см,A1 = 5,8 см,k 10  2  14,1 с-1.mОтметим, кроме того, что к концу этого этапа (в момент остановкитела перед началом обратного движения) координата телаокажется равной:x(1) (T/2)  x1  0  A1   x0  20   5,3 см.Эта координата будет начальной для следующего этапа движения.Как можно заметить, максимальное отклонение бруска от началакоординат уменьшилось на 20.48Химический факультет МГУ им. М.В. ЛомоносоваЗатухающие колебания2. При последующем движении бруска от положения скоординатой х1 вправо ( x  0 ) направление силы трения (и,соответственно, знак слагаемого mg) изменятся:mx  kx – mg.Совершенно аналогично приходим к решению для второго этападвижения (обозначим его x(2)): k x (2) (t )   0  A2  cos t  .mОтметим, что отсчёт времени в этом соотношении следуетначинать от начала данного этапа движения.

A2 = x1 + 0 =  4,8 см.Частота колебаний, конечно, прежняя.К концу второго этапа движения координата тела окажетсяравной:x(2) (T/2)  x2  0  A2  x0  40  4,3 см.Эта координата по истечению одного цикла колебаний уже на40 меньше исходной. Понятно, что и в дальнейшем будетпроисходить подобное затухание колебаний. Закон уменьшенияамплитуды колебаний, однако, иной, нежели в случае вязкоготрения, а само полное решение представляет собой как бы«сшитые куски» гармонических функций с одинаковым периодом,ноуменьшающейсясовременемполинейномузаконуамплитудой.

Кроме того, каждый из «кусков» сдвинут вверх иливниз относительно оси времени на одинаковую величину 0. Видэтого решения для рассматриваемой задачи представлен нарисунке 4.3.Ещё одной важной особенностью этой задачи являетсяпрекращение колебаний после того, как максимальное отклонениетела от положения равновесия xn окажется по модулю меньше 0(при этом сила упругости не сможет «перебороть» силу тренияХимический факультет МГУ им.

М.В. Ломоносова49Колебания и волны. Волновая оптика(n)x (t) = ± + Ancos0tx(t), cм642"Зона застоя"0-2-4-60,00,20,40,60,81,0Рис. 4.31,2t, c1,6покоя и брусок «застрянет»). На рисунке эта область помеченапунктирными линиями и названа «зоной застоя». В условияхнашей задачи это произойдет на шестом этапе движения, т.е. позавершению 3-го цикла колебаний.Задачи для самостоятельного решения.4.8. * В колебательной системе, описанной в задаче 4.7,использована пружина и брусок, про которые известно, чтоесли брусок подвесить на этой пружине, то она растянется наа = 5 см.

Определите, какая часть первоначальной энергиипружины перейдет в тепло при таком же, как и в задаче 4.5,способе возбуждения колебаний в системе (x0 = 6,3 см, v0 = 0).4.9. * В колебательной системе, описанной в задаче 2.23,использованы две одинаковые пружины и брусок. Еслибрусок подвесить на одной из этихkmkпружин, то она растянется на а = 10 см.Коэффициент50тренияскольженияХимический факультет МГУ им.

М.В. ЛомоносоваЗатухающие колебаниябруска о поверхность стола равен  = 0,1. Первоначальнобрусок отводят влево на x0 = 5,3 см и отпускают без толчка.Массыпружинокпренебрежимомалы.Вположенииравновесия (x = 0) пружинки не деформированы. Определитекоординату груза после его остановки.4.10. В процессе свободных затухающих колебаний пружинногомаятника, рассмотренного в задаче 4.1, оказалось, что завремя 1 = 12 с амплитуда колебаний груза уменьшается вn1 = 10 раз. За какое время 2 амплитуда уменьшится вn2 = 1000 раз?4.11. Определите зависимость смещения тела m от времени дляпружинного маятника в вязкой среде, рассмотренного взадаче 4.1, если коэффициент вязкости среды увеличен дозначения r = 400 кг/с.

Тело толкают вниз из положенияравновесия с начальной скоростью v(0) = v0 = 1 м/с.4.12. Впроцессесвободныхслабозатухающихколебанийпружинного маятника в вязкой среде за время  = 22 самплитуда колебаний уменьшается в  = 3 раза. а) Найдитекоэффициент затухания колебаний . б) За какое время Aамплитуда колебаний уменьшается в е раз?4.13. За время, в течение которого система совершает N = 100колебаний, их амплитуда уменьшается в  = 9 раз.Определите добротность такой колебательной системы Q.4.14. Амплитуда затухающих электромагнитных колебаний вколебательном контуре уменьшается в е раз за  = 10-2 с.Частота этих колебаний равна с = 102 Гц. ОпределитеХимический факультет МГУ им.

М.В. Ломоносова51Колебания и волны. Волновая оптикасобственную частоту в данном контуре 0 в отсутствиизатухания.4.15. Определите добротность Q электрического колебательногоконтура, состоящего из конденсатора с электроёмкостью С =0,1 мкФ, катушки индуктивности L = 100 мГн и резистора ссопротивлением R = 5 Ом.4.16. Вусловияхотносительнуюпредыдущейзадачипогрешностьвыопределите,сделаете,добротность по приближенной формуле Q1 =4.17. Добротностьэлектрическогокакуювычислив1 L?R Cколебательногоконтураравна Q = 144, а его собственная частота колебаний 0 = 2 кГц.В контуре возбуждают свободные колебания.

Характеристики

Список файлов книги