Главная » Просмотр файлов » В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу

В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581), страница 9

Файл №1109581 В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу) 9 страницаВ.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581) страница 92019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Если A(ϕ(t), ψ(t)) = B(ϕ(t), ψ(t)), то Z — замкнутая жорданова кривая(например — окружность). Иначе — незамкнутая.2.6.3. Спрямляемые кривые(x = ϕ(t),Рассмотрим жорданову кривую Z :t ∈ [α, β] и произвольное разбиение T [α, β] : α = t0 < · · · <y = ψ(t)tn = β. На Z заданы точки Pk = Pk (ϕ(tk ), ψ(tk )), k = 0, n и отрезки [Pk−1 , Pk ], k = 1, n, образуем ломануюΛ(T ) = P0 P1 . . .

Pk−1 Pk . . . Pn−1 Pn . Длина этой ломанойl(Λ) =nXk=1|Pk−1 Pk | =n pX(ϕ(tk ) − ϕ(tk−1 ))2 + (ψ(tk ) − ψ(tk−1 ))2 .(1)k=1Лемма 2.11. Если T ′ > T , то l(Λ(T ′ )) > l(Λ(T )). Утверждение достаточно проверить для случая, когда T ′ получено добавлением одной точки t′ ∈ (α, β).В этом случае ∃ k : 1 6 k 6 n и t′ ∈ (tk−1 , tk ), tk−1 < t′ < tk . Тогда, по (1),l(Λ(T ′ )) − l(Λ(T )) = |Pk−1 P ′ | + |P ′ Pk | − |Pk−1 Pk | ,где P ′ = P ′ (ϕ(t′ ), ψ(t′ )). Но в ∆P ′ Pk−1 Pk справедливо:|P ′ Pk−1 | + |P ′ Pk | > |Pk−1 Pk | ⇒ l(Λ(T ′ )) > l(Λ(T )).Определение 3. Кривая Z — спрямляемая (имеющая длину), если числовое множество длин ломаных{l(Λ(T )) | T ∈ P0 } ограничено сверху (P0 — множество всех разбиений T ). sup {l(Λ(T )) | T ∈ P0 } = l(Z) —длина кривой Z.Утверждение 2.12.

Если Z спрямляема, то её длина l(Z) = sup {l(Λ(T )) | ∀ T > T0 , ∃ T0 ∈ P0 }. Следствие леммы 1. 2.6.4. Критерий спрямляемости кривой(x = ϕ(t)Теорема. (Жордана) Кривая Z, задаваемаяt ∈ [α, β] спрямляема тогда и только тогда, когдаy = ψ(t)ϕ, ψ имеют ограниченную вариацию на [α, β]. Необходимость.pp(2)max(|a| , |b|) 6 a2 + b2 6 (|a| + |b|)2 = |a| + |b|По (2) и (1),max (|ϕ(tk ) − ϕ(tk−1 )| ; |ψ(tk ) − ψ(tk−1 )|) 6q22(ϕ(tk ) − ϕ(tk−1 )) + (ψ(tk ) − ψ(tk−1 )) 66 |ϕ(tk ) − ϕ(tk−1 )| + |ψ(tk ) − ψ(tk−1 )| ,k = 1, nоткудаnn__XXmax(ϕ, T ); (ψ, T ) = max|ϕ(tk ) − ϕ(tk−1 )| ;|ψ(tk ) − ψ(tk−1 )|k=16 l (Λ(T )) 6k=1nXk=1|ϕ(tk ) − ϕ(tk−1 )| +29nXk=1!6|ψ(tk ) − ψ(tk−1 )| =__(ϕ; T ) + (ψ; T ).Если кривая Z спрямляема, то l (Λ(T )) 6 l(Z) для ∀T ∈ P0 и, следовательно,__(ϕ; T ) 6 l(Z),(ψ, T ) 6 l(Z), ∀T ∈ P0 ,так чтоβWϕ 6 l(Z),αβWψ 6 l(Z), то есть функции имеют ограниченную вариацию.αДостаточность.ββββββWWWWWWWWЕсли ϕ < +∞,ψ < +∞, то (ϕ, T ) 6 ϕ; (ψ, T ) 6 ψ и, согласно (3), l (Λ(T )) 6 ϕ + ψ дляαααα∀T ∈ P0 , то есть Z — спрямляема по определению 3.

αα2.6.5. Вычисление длины кривойОпределение 4. Функция f , имеющая на [a, b] непрерывную производную f ′ , относится к классу C 1 [a, b].Определение 5. Z — кривая класса C 1 , если её параметрические функции ϕ(t) и ψ(t) ∈ C 1 [α, β].(x = ϕ(t),Теорема. ∀Z :t ∈ [α, β] класса C 1 спрямляема и её длинаy = ψ(t)Zβ pl(Z) =ϕ′2 (t) + ψ ′2 (t) dt.(4)α 1) Интеграл I в правой части (4) существует, так как ϕ′ , ψ ′ ∈ C[α, β]. Кроме того, ∃ M > 0 : |ϕ′ (t)| 6 M ,|ψ (t)| 6 M, t ∈ [α, β]. По теореме Лагранжа, |ϕ(t1 ) − ϕ(t2 )| = |ϕ′ (ξ)| · |t1 − t2 | 6 M |t1 − t2 | и |ψ(t1 ) − ψ(t2 )| =|ψ ′ (ξ)| · |t1 − t2 | 6 M |t1 − t2 | ∀ t1 , t2 ∈ [α, β].

Так что ϕ и ψ принадлежат классу Липшица на [α, β] и, следовательно, имеют ограниченные вариации на [α, β].По теореме Жордана, Z спрямляема, то есть ∃ l(Z).2)Лемма 2.13.pppa2 + b2 − c2 + d2 6 (a − c)2 + (b − d)2 6 |a − c| + |b − d| ∀ a, b, c, d ∈ R.(2)′√√2222p На Π : Oxy рассмотрим точки A(a, b) и B(c, d). Тогда |OA| = a + b , |OB| = c + d и |AB| =22(a − c) + (b − d) . В ∆OAB : |AB| > ||OA| − |OB|| ⇔ (5) (с учётом (2)). Рассмотрим произвольное разбиение T [α, β] : α = t0 < · · · < tn = β; ∆k = [tk−1 , tk ], k = 1, n.

Обозначимak = inf |ϕ′ | , bk = inf |ψ ′ | , ck = sup |ϕ′ | и dk = sup |ψ ′ | , k = 1, n.∆k∆k∆k∆kПо теореме Лагранжа, |ϕ(tk ) − ϕ(tk−1 )| = |ϕ′ (ξk )| · |tk − tk−1 | = |ϕ′ (ξk )| ∆tk , |ψ(tk ) − ψ(tk−1 )| = |ψ ′ (ζk )| ·∆tk , k = 1, n.Тогдаn qXl(Λ(T )) =|ϕ′ (ξk )|2 + |ψ ′ (ζk )|2 · ∆tk .(6)k=1′′ak 6 p|ϕ (ξk )| 6 ck и bk 6 |ψ (ζk )| 6 dk , ∀ t ∈ [tk−1 , tk ] = ∆k , k = 1, n.

Откуда ′2Так какϕ (t) + ψ ′2 (t) 6 c2 + d2 , k = 1, n.kkИнтегрируя по ∆k , получимpa2k + b2k 6Ztk pqq22ak + bk ∆tk 6ϕ′2 (t) + ψ ′2 (t) dt 6 c2k + d2k · ∆tk , k = 1, n.(8)tk−1Суммируя (8) по k = 1, n, получим:Zβ pn qn Ztk pn qXXX22′2′2ak + bk ∆tk 6ϕ (t) + ψ (t) dt =ϕ′2 (t) + ψ ′2 (t) dt = I 6c2k + d2k ∆tk .k=1k=1tk−1α30k=1(9)На основании (7) и (9), имеем оценку (5)|l(Λ(T )) − I| =n qnnn qXXXXc2k + d2k · ∆tk −a2k + b2k · ∆tk 6(ck − ak ) · ∆tk +(dk − bk )∆tk =k=1k=1k=1k=1= S(|ϕ′ | ; T ) − s(|ϕ′ | ; T ) + S(|ψ ′ | ; T ) − s(|ψ ′ | ; T ).

(10)Так как |ϕ′ | , |ψ ′ | ∈ R[a, b], то для ∀ ε > 0 ∃Tε ∈ P0 , что правая часть в (10) < ε для T = Tε (по третьемукритерию интегрируемости) и она, тем более, < ε для всех разбиений T > Tε (по свойству монотонности суммДарбу). Итак,I − ε < l(Λ(T )) < I + ε, ∀ T > Tε .(11)Переходя в (11) к точной верхней грани sup {l(Λ(T )) | T > Tε } = l(Z) по утверждению 1, получим: I − ε <l(Z) 6 I + ε и I = l(Z) в силу произвольности ε > 0. Если Z — график f ∈ C 1 [a, b], то её параметрические функции x = t, y = f (t),C 1 [a, b], такpt ∈ [a, b] из классаp′′′′2′2что Z — спрямляемая кривая. Вычислим её длину. Так как xt = 1; yt = f (t) и xt + yt = 1 + f ′2 (t), то, поформуле (5), длина l(Z)Zb qZb pZb p′2′2′2l(Z) =xt + yt dt =1 + f (t) dt =1 + f ′2 (x) dx.aa(5′ )a2.6.6. Свойство аддитивности спрямляемых кривых(x = ϕ(t),Теорема.

Если спрямляемая кривая Z =t ∈ [α, β], то для любого γ, α < γ < β, кривыеy = ψ(t)Zi , (i = 1, 2) с теми же параметрическими функциями, то на [α, γ] и [γ, β], соответственно,спрямляемы и(x = ϕ1 (t),l(Z1 ) + l(Z2 ) = l(Z). Обратно, если кривые Zi , (i = 1, 2), заданные параметрически, t ∈ [α1 , β1 ] иy = ψ1 (t)(x = ϕ2 (t),t ∈ [α2 , β2 ] спрямляемы и ϕ1 (β1 ) = ϕ2 (α2 ); ψ1 (β1 ) = ψ2 (α2 ), то Z1 ∪ Z2 = Z есть спрямляемаяy = ψ2 (t)кривая Z : l(Z) = l1 (Z1 ) + l2 (Z2 ). При дополнительном предположении кривых класса C 1 , утверждение теоремы, с учётом (5), есть прямое следствие свойства аддитивности определённого интеграла (хотя утверждение теоремы справедливо и бездополнительного предположения).

3. Обобщение интеграла Римана3.1. Несобственные интегралы3.1.1. Интегралы по промежутку [a, b)Рассмотрим f , определённую на [a, b), −∞ < a < b 6 +∞ и f ∈ R[a, b] для ∀ t : a < t < b, так что на [a, b)определена непрерывная функцияFf (t) =Ztf (x) dx, t ∈ [a, b), Ff (a) = 0.(1)aУсловимся символом t → b− обозначать как базу t → b − 0 , если b — число, так и базу t → +∞ , еслиb = +∞.Определение 1. Если ∃ lim Ff (t) = I, то число I называют несобственным интегралом по промежуткуt→b−[a, b).Обозначение: I =b−Rf (x) dx. Говорят, что при этом интеграл сходится, а f интегрируема на [a, b). ЕслиaFf (t) не имеет lim , то будем говорить, что интегралt→b−b−Rf (x) dx расходится.a31Теорема 3.1. Если в условии определения 1 b — число, а f ограничена на [a, b), то f будет интегрируемана промежутке [a, b) (в смысле определения 1) ⇔ f интегрируема по Риману на [a, b] (f ∈ R[a, b]), какое бызначение не придать f (b).

При этомZb−Zbf (x) dx = f (x) dx,(∗)aгдеRbaf (x) dx — интеграл Римана f на [a, b].a(⇐) Придадим произвольное значение f (b). По условию, f ∈ R[a, b] иRbf (x) dx не зависит от выбораaзначения f (b). Функция Ff (t), определяемая (1), в этом случае непрерывна на [a, b] и, в частности, x = b, такRbчто ∃ lim Ff (t) = Ff (b) = f (x) dx. Таким образом, справедливо определение 1, то есть lim Ff (t) = I иt→b−0t→b−0aI = Ff (b).(⇒) По условию, ∃b−Raf (x) dx = lim Ff (t), где Ff (t) определено (1) и f — ограничена на [a, b] и ∃ M > 0,t→b−0что |f (x)| 6 M, x ∈ [a, b], так что ω = ω(f ; [a, b]) =supx1 ,x2 ∈[a,b]|f (x1 ) − f (x2 )| 6supx1 ,x2 ∈[a,b]|f (x1 )| + |f (x2 )| 6 2M .Свойство f ∈ R[a, b] проверим на основании третьего критерия интегрируемости. Рассмотрим ε > 0 иεвыберем точку c, a < c < b такую, что b − c < 4M.

Функция, по условию, интегрируема на [a, c] и дляε > 0 существует такое разбиение T1 : [a, c] отрезками ∆k = [xk−1 , xk ], k = 1, n − 1, a = x0 , c = xn−1 , чтоn−1PS(f ; T1 ) − s(f ; T1 ) =ω(f ; ∆k )∆xk < 2ε . Добавляя точку b = xn к T1 , получим T [a, b], для которогоk=1S(f ; T ) − s(f ; T ) =n−1Xk=1ω(f ; ∆k )∆xk + (b − c)ω(f ; [c, b]) <εεε ε+ (b − c)ω 6 + (b − c) · 2M < + = ε.222 2Итак, f ∈ R[a, b] по третьему критерию интегрируемости, следовательно, Ff (t), определённая (1), непрерывнаb−RbRна [a, b] и, в частности, lim Ff (t) = F (b) = f (x) dx.

С другой стороны, lim Ff (t) =f (x) dx, так чтоt→b−0t→b−0aaсправедливо (*). Таким образом, определение вводит новые объекты лишь если b — число, а f — неограничена на [a, b), либоb−Rесли b = +∞. В этих случаяхf (x) dx — несобственный интеграл, в отличие от интегралов в прежнихaслучаях — собственных. Если b — число, то вместоb−Rf (x) dx принято обозначатьab−Raf (x) dx =+∞Rf (x) dx.Rbf (x) dx, если b = +∞, тоaaПример 1.1. f (x) =1xs ,на [a, +∞), a > 0. Если s 6= 1, тоFf (t) =Ztdx=xsaиx−s+1−s + 1Если s = 1, то Ff (t) =Rtadxx1, s > 1,s−1(s−1)alim Ff (t) =t→+∞+ ∞,s < 1.= ln t − ln a lim Ff (t) = +∞.Таким образом, несобственныйПри этом, если s > 1, то+∞Radxxs t−s+1a−s+1 = t−−s + 1 −s + 1a=t→+∞+∞R dxинтегралxs ,a1(s−1)as−1 ,где a > 0, сходится при всех s > 1 и расходится при ∀ s 6 1.в частности,+∞R132dxxs=1s−1 .3.1.2.

Интегралы по промежуткам (a, b] и [a, b)Рассмотрим f , определённую на (a, b], −∞ 6 a < b < +∞, и f ∈ R[t, b] для любого t : a < t < b, так что на(a, b] справедлива непрерывность Φf (t) :Φf (t) =Zbt(2)f (x) dx, t ∈ (a, b], Φf (b) = 0.Определение 2. Если ∃ lim Φf (t) = I, то I — интеграл f по (a, b].t→a+Обозначение:Rbf (x) dx. Интеграл сходится, а f — интегрируема.a+Если Φf (t) не имеет lim , тоt→a+Rbf (x) dx — расходится.aКак и в предыдущем пункте, убеждаемся, что определение 2 вводит новые объекты лишь если a — число,Rbf — неограничена на (a, b] или если a = −∞. В этих случаяхf (x) dx — несобственный и обозначаетсяa+RbRbf (x) dx =f (x) dx (a — число) и−∞aa+Пример 1.2.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
776,2 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее