В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Если A(ϕ(t), ψ(t)) = B(ϕ(t), ψ(t)), то Z — замкнутая жорданова кривая(например — окружность). Иначе — незамкнутая.2.6.3. Спрямляемые кривые(x = ϕ(t),Рассмотрим жорданову кривую Z :t ∈ [α, β] и произвольное разбиение T [α, β] : α = t0 < · · · <y = ψ(t)tn = β. На Z заданы точки Pk = Pk (ϕ(tk ), ψ(tk )), k = 0, n и отрезки [Pk−1 , Pk ], k = 1, n, образуем ломануюΛ(T ) = P0 P1 . . .
Pk−1 Pk . . . Pn−1 Pn . Длина этой ломанойl(Λ) =nXk=1|Pk−1 Pk | =n pX(ϕ(tk ) − ϕ(tk−1 ))2 + (ψ(tk ) − ψ(tk−1 ))2 .(1)k=1Лемма 2.11. Если T ′ > T , то l(Λ(T ′ )) > l(Λ(T )). Утверждение достаточно проверить для случая, когда T ′ получено добавлением одной точки t′ ∈ (α, β).В этом случае ∃ k : 1 6 k 6 n и t′ ∈ (tk−1 , tk ), tk−1 < t′ < tk . Тогда, по (1),l(Λ(T ′ )) − l(Λ(T )) = |Pk−1 P ′ | + |P ′ Pk | − |Pk−1 Pk | ,где P ′ = P ′ (ϕ(t′ ), ψ(t′ )). Но в ∆P ′ Pk−1 Pk справедливо:|P ′ Pk−1 | + |P ′ Pk | > |Pk−1 Pk | ⇒ l(Λ(T ′ )) > l(Λ(T )).Определение 3. Кривая Z — спрямляемая (имеющая длину), если числовое множество длин ломаных{l(Λ(T )) | T ∈ P0 } ограничено сверху (P0 — множество всех разбиений T ). sup {l(Λ(T )) | T ∈ P0 } = l(Z) —длина кривой Z.Утверждение 2.12.
Если Z спрямляема, то её длина l(Z) = sup {l(Λ(T )) | ∀ T > T0 , ∃ T0 ∈ P0 }. Следствие леммы 1. 2.6.4. Критерий спрямляемости кривой(x = ϕ(t)Теорема. (Жордана) Кривая Z, задаваемаяt ∈ [α, β] спрямляема тогда и только тогда, когдаy = ψ(t)ϕ, ψ имеют ограниченную вариацию на [α, β]. Необходимость.pp(2)max(|a| , |b|) 6 a2 + b2 6 (|a| + |b|)2 = |a| + |b|По (2) и (1),max (|ϕ(tk ) − ϕ(tk−1 )| ; |ψ(tk ) − ψ(tk−1 )|) 6q22(ϕ(tk ) − ϕ(tk−1 )) + (ψ(tk ) − ψ(tk−1 )) 66 |ϕ(tk ) − ϕ(tk−1 )| + |ψ(tk ) − ψ(tk−1 )| ,k = 1, nоткудаnn__XXmax(ϕ, T ); (ψ, T ) = max|ϕ(tk ) − ϕ(tk−1 )| ;|ψ(tk ) − ψ(tk−1 )|k=16 l (Λ(T )) 6k=1nXk=1|ϕ(tk ) − ϕ(tk−1 )| +29nXk=1!6|ψ(tk ) − ψ(tk−1 )| =__(ϕ; T ) + (ψ; T ).Если кривая Z спрямляема, то l (Λ(T )) 6 l(Z) для ∀T ∈ P0 и, следовательно,__(ϕ; T ) 6 l(Z),(ψ, T ) 6 l(Z), ∀T ∈ P0 ,так чтоβWϕ 6 l(Z),αβWψ 6 l(Z), то есть функции имеют ограниченную вариацию.αДостаточность.ββββββWWWWWWWWЕсли ϕ < +∞,ψ < +∞, то (ϕ, T ) 6 ϕ; (ψ, T ) 6 ψ и, согласно (3), l (Λ(T )) 6 ϕ + ψ дляαααα∀T ∈ P0 , то есть Z — спрямляема по определению 3.
αα2.6.5. Вычисление длины кривойОпределение 4. Функция f , имеющая на [a, b] непрерывную производную f ′ , относится к классу C 1 [a, b].Определение 5. Z — кривая класса C 1 , если её параметрические функции ϕ(t) и ψ(t) ∈ C 1 [α, β].(x = ϕ(t),Теорема. ∀Z :t ∈ [α, β] класса C 1 спрямляема и её длинаy = ψ(t)Zβ pl(Z) =ϕ′2 (t) + ψ ′2 (t) dt.(4)α 1) Интеграл I в правой части (4) существует, так как ϕ′ , ψ ′ ∈ C[α, β]. Кроме того, ∃ M > 0 : |ϕ′ (t)| 6 M ,|ψ (t)| 6 M, t ∈ [α, β]. По теореме Лагранжа, |ϕ(t1 ) − ϕ(t2 )| = |ϕ′ (ξ)| · |t1 − t2 | 6 M |t1 − t2 | и |ψ(t1 ) − ψ(t2 )| =|ψ ′ (ξ)| · |t1 − t2 | 6 M |t1 − t2 | ∀ t1 , t2 ∈ [α, β].
Так что ϕ и ψ принадлежат классу Липшица на [α, β] и, следовательно, имеют ограниченные вариации на [α, β].По теореме Жордана, Z спрямляема, то есть ∃ l(Z).2)Лемма 2.13.pppa2 + b2 − c2 + d2 6 (a − c)2 + (b − d)2 6 |a − c| + |b − d| ∀ a, b, c, d ∈ R.(2)′√√2222p На Π : Oxy рассмотрим точки A(a, b) и B(c, d). Тогда |OA| = a + b , |OB| = c + d и |AB| =22(a − c) + (b − d) . В ∆OAB : |AB| > ||OA| − |OB|| ⇔ (5) (с учётом (2)). Рассмотрим произвольное разбиение T [α, β] : α = t0 < · · · < tn = β; ∆k = [tk−1 , tk ], k = 1, n.
Обозначимak = inf |ϕ′ | , bk = inf |ψ ′ | , ck = sup |ϕ′ | и dk = sup |ψ ′ | , k = 1, n.∆k∆k∆k∆kПо теореме Лагранжа, |ϕ(tk ) − ϕ(tk−1 )| = |ϕ′ (ξk )| · |tk − tk−1 | = |ϕ′ (ξk )| ∆tk , |ψ(tk ) − ψ(tk−1 )| = |ψ ′ (ζk )| ·∆tk , k = 1, n.Тогдаn qXl(Λ(T )) =|ϕ′ (ξk )|2 + |ψ ′ (ζk )|2 · ∆tk .(6)k=1′′ak 6 p|ϕ (ξk )| 6 ck и bk 6 |ψ (ζk )| 6 dk , ∀ t ∈ [tk−1 , tk ] = ∆k , k = 1, n.
Откуда ′2Так какϕ (t) + ψ ′2 (t) 6 c2 + d2 , k = 1, n.kkИнтегрируя по ∆k , получимpa2k + b2k 6Ztk pqq22ak + bk ∆tk 6ϕ′2 (t) + ψ ′2 (t) dt 6 c2k + d2k · ∆tk , k = 1, n.(8)tk−1Суммируя (8) по k = 1, n, получим:Zβ pn qn Ztk pn qXXX22′2′2ak + bk ∆tk 6ϕ (t) + ψ (t) dt =ϕ′2 (t) + ψ ′2 (t) dt = I 6c2k + d2k ∆tk .k=1k=1tk−1α30k=1(9)На основании (7) и (9), имеем оценку (5)|l(Λ(T )) − I| =n qnnn qXXXXc2k + d2k · ∆tk −a2k + b2k · ∆tk 6(ck − ak ) · ∆tk +(dk − bk )∆tk =k=1k=1k=1k=1= S(|ϕ′ | ; T ) − s(|ϕ′ | ; T ) + S(|ψ ′ | ; T ) − s(|ψ ′ | ; T ).
(10)Так как |ϕ′ | , |ψ ′ | ∈ R[a, b], то для ∀ ε > 0 ∃Tε ∈ P0 , что правая часть в (10) < ε для T = Tε (по третьемукритерию интегрируемости) и она, тем более, < ε для всех разбиений T > Tε (по свойству монотонности суммДарбу). Итак,I − ε < l(Λ(T )) < I + ε, ∀ T > Tε .(11)Переходя в (11) к точной верхней грани sup {l(Λ(T )) | T > Tε } = l(Z) по утверждению 1, получим: I − ε <l(Z) 6 I + ε и I = l(Z) в силу произвольности ε > 0. Если Z — график f ∈ C 1 [a, b], то её параметрические функции x = t, y = f (t),C 1 [a, b], такpt ∈ [a, b] из классаp′′′′2′2что Z — спрямляемая кривая. Вычислим её длину. Так как xt = 1; yt = f (t) и xt + yt = 1 + f ′2 (t), то, поформуле (5), длина l(Z)Zb qZb pZb p′2′2′2l(Z) =xt + yt dt =1 + f (t) dt =1 + f ′2 (x) dx.aa(5′ )a2.6.6. Свойство аддитивности спрямляемых кривых(x = ϕ(t),Теорема.
Если спрямляемая кривая Z =t ∈ [α, β], то для любого γ, α < γ < β, кривыеy = ψ(t)Zi , (i = 1, 2) с теми же параметрическими функциями, то на [α, γ] и [γ, β], соответственно,спрямляемы и(x = ϕ1 (t),l(Z1 ) + l(Z2 ) = l(Z). Обратно, если кривые Zi , (i = 1, 2), заданные параметрически, t ∈ [α1 , β1 ] иy = ψ1 (t)(x = ϕ2 (t),t ∈ [α2 , β2 ] спрямляемы и ϕ1 (β1 ) = ϕ2 (α2 ); ψ1 (β1 ) = ψ2 (α2 ), то Z1 ∪ Z2 = Z есть спрямляемаяy = ψ2 (t)кривая Z : l(Z) = l1 (Z1 ) + l2 (Z2 ). При дополнительном предположении кривых класса C 1 , утверждение теоремы, с учётом (5), есть прямое следствие свойства аддитивности определённого интеграла (хотя утверждение теоремы справедливо и бездополнительного предположения).
3. Обобщение интеграла Римана3.1. Несобственные интегралы3.1.1. Интегралы по промежутку [a, b)Рассмотрим f , определённую на [a, b), −∞ < a < b 6 +∞ и f ∈ R[a, b] для ∀ t : a < t < b, так что на [a, b)определена непрерывная функцияFf (t) =Ztf (x) dx, t ∈ [a, b), Ff (a) = 0.(1)aУсловимся символом t → b− обозначать как базу t → b − 0 , если b — число, так и базу t → +∞ , еслиb = +∞.Определение 1. Если ∃ lim Ff (t) = I, то число I называют несобственным интегралом по промежуткуt→b−[a, b).Обозначение: I =b−Rf (x) dx. Говорят, что при этом интеграл сходится, а f интегрируема на [a, b). ЕслиaFf (t) не имеет lim , то будем говорить, что интегралt→b−b−Rf (x) dx расходится.a31Теорема 3.1. Если в условии определения 1 b — число, а f ограничена на [a, b), то f будет интегрируемана промежутке [a, b) (в смысле определения 1) ⇔ f интегрируема по Риману на [a, b] (f ∈ R[a, b]), какое бызначение не придать f (b).
При этомZb−Zbf (x) dx = f (x) dx,(∗)aгдеRbaf (x) dx — интеграл Римана f на [a, b].a(⇐) Придадим произвольное значение f (b). По условию, f ∈ R[a, b] иRbf (x) dx не зависит от выбораaзначения f (b). Функция Ff (t), определяемая (1), в этом случае непрерывна на [a, b] и, в частности, x = b, такRbчто ∃ lim Ff (t) = Ff (b) = f (x) dx. Таким образом, справедливо определение 1, то есть lim Ff (t) = I иt→b−0t→b−0aI = Ff (b).(⇒) По условию, ∃b−Raf (x) dx = lim Ff (t), где Ff (t) определено (1) и f — ограничена на [a, b] и ∃ M > 0,t→b−0что |f (x)| 6 M, x ∈ [a, b], так что ω = ω(f ; [a, b]) =supx1 ,x2 ∈[a,b]|f (x1 ) − f (x2 )| 6supx1 ,x2 ∈[a,b]|f (x1 )| + |f (x2 )| 6 2M .Свойство f ∈ R[a, b] проверим на основании третьего критерия интегрируемости. Рассмотрим ε > 0 иεвыберем точку c, a < c < b такую, что b − c < 4M.
Функция, по условию, интегрируема на [a, c] и дляε > 0 существует такое разбиение T1 : [a, c] отрезками ∆k = [xk−1 , xk ], k = 1, n − 1, a = x0 , c = xn−1 , чтоn−1PS(f ; T1 ) − s(f ; T1 ) =ω(f ; ∆k )∆xk < 2ε . Добавляя точку b = xn к T1 , получим T [a, b], для которогоk=1S(f ; T ) − s(f ; T ) =n−1Xk=1ω(f ; ∆k )∆xk + (b − c)ω(f ; [c, b]) <εεε ε+ (b − c)ω 6 + (b − c) · 2M < + = ε.222 2Итак, f ∈ R[a, b] по третьему критерию интегрируемости, следовательно, Ff (t), определённая (1), непрерывнаb−RbRна [a, b] и, в частности, lim Ff (t) = F (b) = f (x) dx.
С другой стороны, lim Ff (t) =f (x) dx, так чтоt→b−0t→b−0aaсправедливо (*). Таким образом, определение вводит новые объекты лишь если b — число, а f — неограничена на [a, b), либоb−Rесли b = +∞. В этих случаяхf (x) dx — несобственный интеграл, в отличие от интегралов в прежнихaслучаях — собственных. Если b — число, то вместоb−Rf (x) dx принято обозначатьab−Raf (x) dx =+∞Rf (x) dx.Rbf (x) dx, если b = +∞, тоaaПример 1.1. f (x) =1xs ,на [a, +∞), a > 0. Если s 6= 1, тоFf (t) =Ztdx=xsaиx−s+1−s + 1Если s = 1, то Ff (t) =Rtadxx1, s > 1,s−1(s−1)alim Ff (t) =t→+∞+ ∞,s < 1.= ln t − ln a lim Ff (t) = +∞.Таким образом, несобственныйПри этом, если s > 1, то+∞Radxxs t−s+1a−s+1 = t−−s + 1 −s + 1a=t→+∞+∞R dxинтегралxs ,a1(s−1)as−1 ,где a > 0, сходится при всех s > 1 и расходится при ∀ s 6 1.в частности,+∞R132dxxs=1s−1 .3.1.2.
Интегралы по промежуткам (a, b] и [a, b)Рассмотрим f , определённую на (a, b], −∞ 6 a < b < +∞, и f ∈ R[t, b] для любого t : a < t < b, так что на(a, b] справедлива непрерывность Φf (t) :Φf (t) =Zbt(2)f (x) dx, t ∈ (a, b], Φf (b) = 0.Определение 2. Если ∃ lim Φf (t) = I, то I — интеграл f по (a, b].t→a+Обозначение:Rbf (x) dx. Интеграл сходится, а f — интегрируема.a+Если Φf (t) не имеет lim , тоt→a+Rbf (x) dx — расходится.aКак и в предыдущем пункте, убеждаемся, что определение 2 вводит новые объекты лишь если a — число,Rbf — неограничена на (a, b] или если a = −∞. В этих случаяхf (x) dx — несобственный и обозначаетсяa+RbRbf (x) dx =f (x) dx (a — число) и−∞aa+Пример 1.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
