Главная » Просмотр файлов » В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу

В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581), страница 10

Файл №1109581 В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу) 10 страницаВ.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581) страница 102019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

f (x) =Если1xsRbf (x) dx (a = −∞).на (0, a], где a > 0 — число.Φf (t) =Zat(+∞, s > 1,lim Φf (t) = a1−st→0+01−s , s < 1.dxa−s+1t−s+1=−иxs−s + 1 −s + 1Таким образом, несобственный интегралRa0dxxs ,a > 0 — число, сходящееся при s < 1 и расходящееся s > 1.Интегралы в примерах 1 и 2 — стандартные интегралы. При этомRa0dxxs=a1−s1−s ,s < 1, в частности,R10dxxs=11−s .Пусть теперь f задана на промежутке (a, b), −∞ 6 a < b 6 +∞ и f интегрируема на каждом отрезке,лежащем в (a, b).RcRbУтверждение 3.2. Если несобственные интегралы f (x) dx и f (x) dx сходятся для какого-либо c : a <acc < b, то они сходятся для всех c : a < c < b, причём их суммаZcf (x) dx +aZb(3)f (x) dxcне зависит от выбора c.

Для произвольного c′ : a < c′ < b имеем (согласно определениям 1 и 2 и условию)Zc′f (x) dx = ′limt →a+aZc′t′ cZZc′ZcZc′f (x) dx = ′lim  f (x) dx + f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx,t →a+ct′a(4)cтак как, по условию, существует предел на t → a+ первого интеграла в формуле (4), а второй интеграл —постоянная функция на базе t′ → a+. Аналогично,′′Ztc′··· =Zcc′′′··· +Ztc... иZbc′′′= ′′limt →b−Ztc′ c′′ZtZc ZbZ· · · = ′′lim  +  = +t →b−⇒Zcacc′′··· +Zbc′33cc′=Zca+Zcc′+Zcc′⇒···+Zbc=Zcaf (x) dx +Zbcf (x) dx.(5)Определение 3.

Пусть −∞ 6 a < b 6 +∞ и f определена на (a, b) и интегрируема на каждом отрезке изRcRb(a, b). Если интегралы f (x) dx и f (x) dx сходятся для некоторого c : a < c < b, то сумма (3) (по доказанному,acнезависимая от c) — интеграл f по (a, b).RbОбозначение: f (x) dx. Говорят, что интеграл сходится и f интегрируема на (a, b). В противном случаеa— расходится.Таким образом, по определению,Zbf (x) dx =aесли интегралыRcRbf (x) dx,aZcf (x) dx +aZb(6)f (x) dx,cf (x) dx сходятся (a < c < b). Формула (6) определяет свойство аддитивностиcнесобственных интегралов по промежутку (a, b).

Аналогичная формула справедлива и для [a, b) и (a, b]. Приэтом один из интегралов в правой части (6) — интеграл Римана, а другой — несобственный.R∞ dxПример. Вычислим1+x2 . По свойству аддитивности,−∞+∞Z−∞dx=1 + x2Z0−∞dx+1 + x2+∞Z0dx= ′ limt →−∞1 + x2Z0t′′′dx+ lim1 + x2 t′′ →+∞Ztdx=1 + x20= ′ lim [− arctg t′ ] +t →−∞ π π′′lim[arctgt]=−−+ = π.t′′ →+∞223.1.3. Критерий Коши сходимости несобственного интегралаТеорема. Несобственный интегралRbaf (x) dx по промежутку [a, b) (по (a, b]) сходится ⇔ для любого ε > 0можно указать bε , a < bε < b (aε : a < aε < b), что неравенствоtZ 2 f (x) dx < ε(1)t1справедливо для любого ti , bε < ti < b, i = 1, 2 (для любого ti , a < ti < aε , i = 1, 2).

Пусть a < t1 < t2 < b. По свойству аддитивности определённого интеграла,Zt2f (x) dx =t1Zt2af (x) dx −Zt1af (x) dx = Ff (t2 ) − Ff (t1 ) (= Φf (t1 ) − Φf (t2 )) ,где Ff и Φf определены посредством формул (1) (пункт 1.1) и (2) (пункт 1.2), следовательно, неравенство (1)⇔ |Ff (t2 ) − Ff (t1 )| < ε для любого ti : bε < ti < b, i = 1, 2 (|Φf (t2 ) − Φf (t1 )|< ε, ∀ti : a < ti < aε , i = 1, 2),что, в свою очередь, есть критерий Коши существования lim Ff (t)t→b−несобственного интегралаRblim Φf (t) , что равносильно исходимостиt→a+f (x) dx. a3.1.4.

Остаток несобственного интегралаПусть f интегрируема по [a, b) (по (a, b]), то есть сходится несобственный интегралRbf (x) dx. По свойствуaаддитивности, для любого t : a < t < b, справедливоZbaf (x) dx =Zta|f (x) dx +{z=Ff (t)34}Zbt|f (x) dx,{z=rf (t)}(2)или жеZbf (x) dx =aгде rf (t) =Rbf (x) dx rf (t) =tRtaZbf (x) dx +tZt(2′ )f (x) dx = Φf (t) + rf (t),af (x) dx — несобственный интеграл с особ. в x = b− (x = a+)и для любого t : a < t < b rf (t) сходится, так как lim Ff (t) =t→b−основании (2) ((2′ )),lim rf (t) = 0t→b−Rbf (x) dxalim Φf (t) =t→a+Rb!f (x) dx , то, наalim rf (t) = 0 .t→a+Обратно, пусть f определена на [a, b) (на (a, b]), f ∈ R[a, t] (f ∈ R[t, b]) для любого t : a < t < b и для некоtRbRторого t : a < t < b, справедливо не только для несобственного интеграла f (x) dxf (x) dx этого значенияt at, но и для остальных t : a < t < b и, следовательно, lim rf (t) = 0 lim rf (t) = 0 .t→a+t→b−Rblim rf (t) = 0 .Теорема.

Несобственный интеграл f (x) dx по [a, b) ((a, b]) сходится ⇔ lim rf (t) = 0t→a+t→b−aДоказательство изложено выше. 3.2. Основные свойства несобственных интегралов3.2.1. Свойства, аналогичные свойствам определённого интегралаТеорема 1. Пусть f, g интегрируемы по промежутку [a, b). Тогда:RbRb1) для любого k ∈ R, k 6= 0 функция k · f интегрируема по [a, b) и kf (x) dx = k f (x) dx;a2) (f + g) интегрируема по [a, b) иRb(f + g) dx =a3) если f (x) > g(x), x ∈ [a, b), то4) f (x) > 0, x ∈ [a, b) ⇒RbaRbRbRbRbf (x) dx +af (x) dx >aRbRbag(x) dx;ag(x) dx;af (x) dx > 0.a1) Так как Fkf (t) = kFf (t), a < t < b (по свойству линейности определённого интеграла) и ∃ lim Ff (t) =t→b−Rbf (x) dx, то, по свойству линейности предела функции по базе, ∃ lim Fkf (t) = k lim Ff (t) = kt→b−t→b−kf (x) dx.f (x) dx =aa2) Так как Ff +g (t) = Ff (t) + Fg (t), a < t < b и lim Ff (t) =t→b−t→b−t→b−3) Так как для любого t, a < t < b, Fg (t) =Rtf (x) dx >Rb4) По пункту 3),RbaZbf (x) dx +aRtt→b−f (x) dx = limRtt→b− aZbg(x) dx =af (x) dx > limt→b−Rtt→b− aRbg(x) dx.a0 dx = lim 0 = 0.

35Rbg(x) dx, тоaZb(f + g) dx.ag(x) dx = Fg (t) и предел функции по базе обладаетf (x) dx = lim Ff (t) > lim Fg (t) =at→b−aaсвойством монотонности, тоf (x) dx, lim Fg (t) =a∃ lim Ff +g (t) = lim Ff (t) + lim Fg (t) =t→b−Rbt→b−3.2.2. Теорема о существовании и оценке модуля несобственного интегралаТеорема 2. (Критерий существования несобственного интеграла от положительной функции). Если f ∈R[a, t), для любого a < t < b и f (x) > 0, x ∈ [a, b), то f интегрируема по [a, b) (то есть сходится несобственныйRbRtинтеграл f (x) dx) ⇔ Ff (t) = f (x) dx ограничен сверху на [a, b).aaПо свойству определённых интегралов, 0 6RtaсправедливоFf (t2 ) =Zt2f (x) dx =aZt1f (x) dx +af (x) dx = Ff (t), ∀t : a < t < b.

Для ∀a < t1 < t2 < bZt2f (x) dx >t1Zt1f (x) dx = F (t1 ) > 0,aто есть Ff (t) ↑ на [a, b). По свойству монотонности функций, lim Ff (t) существует ⇔ Ff (t) ограничена сверхуt→b−Rbна [a, b). Следовательно,af (x) dx = lim Ff (t) сходится ⇔ Ff (t) ограничена сверху на [a, b). t→b−Теорема 3. (Признак существования несобственного интеграла от положительной функции). Если f, g ∈RbR[a, t] для ∀t : a < t < b и 0 6 f (x) 6 g(x), x ∈ [a, b), то из сходимости несобственного интеграла g(x) dxaследует сходимость несобственного интегралаRbf (x) dx (и, следовательно, из расходимости несобственногоaинтегралаRbRbf (x) dx следует расходимостьag(x) dx).aПусть сходитсяRbg(x) dx = lim Fg (t) = limaТак как 0 6 Ff (t) =Rtf (x) dx 6at→RtaRtg(x) dx.ag(x) dx = Fg (t), ∀ t : a < t < b, то, по теореме 2, Fg (t) ограничена сверхуна [a, b) и, следовательно, Ff (t) ограничена сверху на [a, b) и, по теореме 2, сходитсяRbf (x) dx.

aЗамечание. Утверждение теоремы 3 остаётся справедливым, если 0 6 f (x) 6 g(x) справедливо на некотоRbром [c, b) a < c < b. Действительно, в этом случае сходится любой интеграл f (x) dx, являющийся остаткомcнесобственного интегралаRbf (x) dx и, следовательно,a2Rbf (x) dx сходится.aПример. Так как e−x 6 e−x ∀x > 1,+∞Re−x dx = limt→+∞ aaa ∈ R, то, по теореме 3, собственный интегралRt+∞R02e−x dx = lim [−e−t + e−a ] = e−a для любогоt→+∞e−x dx сходится при любом a ∈ R.+∞Z2e−x dx — интеграл Эйлера–Пуассона (третий семестр).0RbТеорема 4.

Если f ∈ R[a, t], ∀ t : a < t < b и сходится несобственный интеграл |f (x)| dx по промежуткуaRb RbRb[a, b), то сходится несобственный интеграл f (x) dx и справедливо: f (x) dx 6 |f (x)| dx.a aa6 |f | , 0 6 h = |f |−f6 |f | на [a, b), тогда f, |f | , g, h ∈ R[a, t] для2Rb∀ a < t < b. Так как сходится несобственный интеграл |f (x)| dx, то, по теореме 3, сходится несобственныйРассмотрим функции 0 6 g =|f |+f2aинтегралRbag(x) dx,Rbah(x) dx. Так как f = g − h, то, по теореме 1,36Rbaf (x) dx =Rbag(x) dx −Rbah(x) dx — сходится.Учитывая, что |f | = g + h, имеем: b b bZ Z Z ZbZbZb f (x) dx 6 g(x) dx + h(x) dx = g(x) dx + h(x) dx = |f (x)| dx. aaaОпределение.

Несобственный интегралRbaaaf (x) dx — абсолютно сходящийся, если сходитсяaRba|f (x)| dx.Следствие. (К теореме 4). Всякий абсолютно сходящийся несобственный интеграл сходится.+∞+∞R sin kxR cos kxПример. Несобственные интегралыxs dx,xs dx, где a > 0 — постоянная, абсолютно сходятсядля s > 1 и ∀ k 6= 0 ∈ R. sinxskx 6 x1s , cosxskx 6По теореме 3, сходятсяaa1xs ,+∞R∀x > a и|sin kx|xsadx,+∞Ra+∞Radxxs|cos kx|xsсходится для любого s > 1.dx, s > 1. Утверждения, аналогичные данным, остаются справедливыми для (a, b] и [a, b) с аналогичными доказательствами.3.3. Интегрирование по частям и подстановкой в несобственном интеграле3.3.1.

Интегрирование по частямТеорема. Если f, u, v принадлежат C 1 на [a, b), где −∞ < a < b 6 +∞, произведение u(x)v(x) имеет пределRbRblim u(x)v(x), и сходится интеграл v(x)u′ (x) dx, то сходится другой интеграл u(x)v ′ (x) dx и справедливаx→b−aформула:Zba′u(x)v (x) dx =[u(x)v(x)]b−a−aZbu′ (x)v(x),(1)ab−где [u(x)v(x)]a = lim u(x)v(x) − u(a)v(a).x→b− Для произвольного t : a < t < b, на [a, t] справедлива формула интегрирования по частям в определённоминтеграле (в слабой форме):ZtaRtТак как существует limt→b− a′u(x)v (x) dx = u(t)v(t) − u(a)v(a) −v(x)u′ (x) dx =RbZtv(x)u′ (x) dx.(2)av(x)u′ (x) dx, то остаётся перейти к lim в (2) и воспользоватьсяt→b−aсвойством линейности предела функции по базе. +∞+∞R cos kxR sin kxПример.xs dx,xs dx, a > 0, k 6= 0 — фиксированы, сходятся (но не абсолютно) для любогоaas : 0 < s 6 1.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
776,2 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее