В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581), страница 10
Текст из файла (страница 10)
f (x) =Если1xsRbf (x) dx (a = −∞).на (0, a], где a > 0 — число.Φf (t) =Zat(+∞, s > 1,lim Φf (t) = a1−st→0+01−s , s < 1.dxa−s+1t−s+1=−иxs−s + 1 −s + 1Таким образом, несобственный интегралRa0dxxs ,a > 0 — число, сходящееся при s < 1 и расходящееся s > 1.Интегралы в примерах 1 и 2 — стандартные интегралы. При этомRa0dxxs=a1−s1−s ,s < 1, в частности,R10dxxs=11−s .Пусть теперь f задана на промежутке (a, b), −∞ 6 a < b 6 +∞ и f интегрируема на каждом отрезке,лежащем в (a, b).RcRbУтверждение 3.2. Если несобственные интегралы f (x) dx и f (x) dx сходятся для какого-либо c : a <acc < b, то они сходятся для всех c : a < c < b, причём их суммаZcf (x) dx +aZb(3)f (x) dxcне зависит от выбора c.
Для произвольного c′ : a < c′ < b имеем (согласно определениям 1 и 2 и условию)Zc′f (x) dx = ′limt →a+aZc′t′ cZZc′ZcZc′f (x) dx = ′lim f (x) dx + f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx,t →a+ct′a(4)cтак как, по условию, существует предел на t → a+ первого интеграла в формуле (4), а второй интеграл —постоянная функция на базе t′ → a+. Аналогично,′′Ztc′··· =Zcc′′′··· +Ztc... иZbc′′′= ′′limt →b−Ztc′ c′′ZtZc ZbZ· · · = ′′lim + = +t →b−⇒Zcacc′′··· +Zbc′33cc′=Zca+Zcc′+Zcc′⇒···+Zbc=Zcaf (x) dx +Zbcf (x) dx.(5)Определение 3.
Пусть −∞ 6 a < b 6 +∞ и f определена на (a, b) и интегрируема на каждом отрезке изRcRb(a, b). Если интегралы f (x) dx и f (x) dx сходятся для некоторого c : a < c < b, то сумма (3) (по доказанному,acнезависимая от c) — интеграл f по (a, b).RbОбозначение: f (x) dx. Говорят, что интеграл сходится и f интегрируема на (a, b). В противном случаеa— расходится.Таким образом, по определению,Zbf (x) dx =aесли интегралыRcRbf (x) dx,aZcf (x) dx +aZb(6)f (x) dx,cf (x) dx сходятся (a < c < b). Формула (6) определяет свойство аддитивностиcнесобственных интегралов по промежутку (a, b).
Аналогичная формула справедлива и для [a, b) и (a, b]. Приэтом один из интегралов в правой части (6) — интеграл Римана, а другой — несобственный.R∞ dxПример. Вычислим1+x2 . По свойству аддитивности,−∞+∞Z−∞dx=1 + x2Z0−∞dx+1 + x2+∞Z0dx= ′ limt →−∞1 + x2Z0t′′′dx+ lim1 + x2 t′′ →+∞Ztdx=1 + x20= ′ lim [− arctg t′ ] +t →−∞ π π′′lim[arctgt]=−−+ = π.t′′ →+∞223.1.3. Критерий Коши сходимости несобственного интегралаТеорема. Несобственный интегралRbaf (x) dx по промежутку [a, b) (по (a, b]) сходится ⇔ для любого ε > 0можно указать bε , a < bε < b (aε : a < aε < b), что неравенствоtZ 2 f (x) dx < ε(1)t1справедливо для любого ti , bε < ti < b, i = 1, 2 (для любого ti , a < ti < aε , i = 1, 2).
Пусть a < t1 < t2 < b. По свойству аддитивности определённого интеграла,Zt2f (x) dx =t1Zt2af (x) dx −Zt1af (x) dx = Ff (t2 ) − Ff (t1 ) (= Φf (t1 ) − Φf (t2 )) ,где Ff и Φf определены посредством формул (1) (пункт 1.1) и (2) (пункт 1.2), следовательно, неравенство (1)⇔ |Ff (t2 ) − Ff (t1 )| < ε для любого ti : bε < ti < b, i = 1, 2 (|Φf (t2 ) − Φf (t1 )|< ε, ∀ti : a < ti < aε , i = 1, 2),что, в свою очередь, есть критерий Коши существования lim Ff (t)t→b−несобственного интегралаRblim Φf (t) , что равносильно исходимостиt→a+f (x) dx. a3.1.4.
Остаток несобственного интегралаПусть f интегрируема по [a, b) (по (a, b]), то есть сходится несобственный интегралRbf (x) dx. По свойствуaаддитивности, для любого t : a < t < b, справедливоZbaf (x) dx =Zta|f (x) dx +{z=Ff (t)34}Zbt|f (x) dx,{z=rf (t)}(2)или жеZbf (x) dx =aгде rf (t) =Rbf (x) dx rf (t) =tRtaZbf (x) dx +tZt(2′ )f (x) dx = Φf (t) + rf (t),af (x) dx — несобственный интеграл с особ. в x = b− (x = a+)и для любого t : a < t < b rf (t) сходится, так как lim Ff (t) =t→b−основании (2) ((2′ )),lim rf (t) = 0t→b−Rbf (x) dxalim Φf (t) =t→a+Rb!f (x) dx , то, наalim rf (t) = 0 .t→a+Обратно, пусть f определена на [a, b) (на (a, b]), f ∈ R[a, t] (f ∈ R[t, b]) для любого t : a < t < b и для некоtRbRторого t : a < t < b, справедливо не только для несобственного интеграла f (x) dxf (x) dx этого значенияt at, но и для остальных t : a < t < b и, следовательно, lim rf (t) = 0 lim rf (t) = 0 .t→a+t→b−Rblim rf (t) = 0 .Теорема.
Несобственный интеграл f (x) dx по [a, b) ((a, b]) сходится ⇔ lim rf (t) = 0t→a+t→b−aДоказательство изложено выше. 3.2. Основные свойства несобственных интегралов3.2.1. Свойства, аналогичные свойствам определённого интегралаТеорема 1. Пусть f, g интегрируемы по промежутку [a, b). Тогда:RbRb1) для любого k ∈ R, k 6= 0 функция k · f интегрируема по [a, b) и kf (x) dx = k f (x) dx;a2) (f + g) интегрируема по [a, b) иRb(f + g) dx =a3) если f (x) > g(x), x ∈ [a, b), то4) f (x) > 0, x ∈ [a, b) ⇒RbaRbRbRbRbf (x) dx +af (x) dx >aRbRbag(x) dx;ag(x) dx;af (x) dx > 0.a1) Так как Fkf (t) = kFf (t), a < t < b (по свойству линейности определённого интеграла) и ∃ lim Ff (t) =t→b−Rbf (x) dx, то, по свойству линейности предела функции по базе, ∃ lim Fkf (t) = k lim Ff (t) = kt→b−t→b−kf (x) dx.f (x) dx =aa2) Так как Ff +g (t) = Ff (t) + Fg (t), a < t < b и lim Ff (t) =t→b−t→b−t→b−3) Так как для любого t, a < t < b, Fg (t) =Rtf (x) dx >Rb4) По пункту 3),RbaZbf (x) dx +aRtt→b−f (x) dx = limRtt→b− aZbg(x) dx =af (x) dx > limt→b−Rtt→b− aRbg(x) dx.a0 dx = lim 0 = 0.
35Rbg(x) dx, тоaZb(f + g) dx.ag(x) dx = Fg (t) и предел функции по базе обладаетf (x) dx = lim Ff (t) > lim Fg (t) =at→b−aaсвойством монотонности, тоf (x) dx, lim Fg (t) =a∃ lim Ff +g (t) = lim Ff (t) + lim Fg (t) =t→b−Rbt→b−3.2.2. Теорема о существовании и оценке модуля несобственного интегралаТеорема 2. (Критерий существования несобственного интеграла от положительной функции). Если f ∈R[a, t), для любого a < t < b и f (x) > 0, x ∈ [a, b), то f интегрируема по [a, b) (то есть сходится несобственныйRbRtинтеграл f (x) dx) ⇔ Ff (t) = f (x) dx ограничен сверху на [a, b).aaПо свойству определённых интегралов, 0 6RtaсправедливоFf (t2 ) =Zt2f (x) dx =aZt1f (x) dx +af (x) dx = Ff (t), ∀t : a < t < b.
Для ∀a < t1 < t2 < bZt2f (x) dx >t1Zt1f (x) dx = F (t1 ) > 0,aто есть Ff (t) ↑ на [a, b). По свойству монотонности функций, lim Ff (t) существует ⇔ Ff (t) ограничена сверхуt→b−Rbна [a, b). Следовательно,af (x) dx = lim Ff (t) сходится ⇔ Ff (t) ограничена сверху на [a, b). t→b−Теорема 3. (Признак существования несобственного интеграла от положительной функции). Если f, g ∈RbR[a, t] для ∀t : a < t < b и 0 6 f (x) 6 g(x), x ∈ [a, b), то из сходимости несобственного интеграла g(x) dxaследует сходимость несобственного интегралаRbf (x) dx (и, следовательно, из расходимости несобственногоaинтегралаRbRbf (x) dx следует расходимостьag(x) dx).aПусть сходитсяRbg(x) dx = lim Fg (t) = limaТак как 0 6 Ff (t) =Rtf (x) dx 6at→RtaRtg(x) dx.ag(x) dx = Fg (t), ∀ t : a < t < b, то, по теореме 2, Fg (t) ограничена сверхуна [a, b) и, следовательно, Ff (t) ограничена сверху на [a, b) и, по теореме 2, сходитсяRbf (x) dx.
aЗамечание. Утверждение теоремы 3 остаётся справедливым, если 0 6 f (x) 6 g(x) справедливо на некотоRbром [c, b) a < c < b. Действительно, в этом случае сходится любой интеграл f (x) dx, являющийся остаткомcнесобственного интегралаRbf (x) dx и, следовательно,a2Rbf (x) dx сходится.aПример. Так как e−x 6 e−x ∀x > 1,+∞Re−x dx = limt→+∞ aaa ∈ R, то, по теореме 3, собственный интегралRt+∞R02e−x dx = lim [−e−t + e−a ] = e−a для любогоt→+∞e−x dx сходится при любом a ∈ R.+∞Z2e−x dx — интеграл Эйлера–Пуассона (третий семестр).0RbТеорема 4.
Если f ∈ R[a, t], ∀ t : a < t < b и сходится несобственный интеграл |f (x)| dx по промежуткуaRb RbRb[a, b), то сходится несобственный интеграл f (x) dx и справедливо: f (x) dx 6 |f (x)| dx.a aa6 |f | , 0 6 h = |f |−f6 |f | на [a, b), тогда f, |f | , g, h ∈ R[a, t] для2Rb∀ a < t < b. Так как сходится несобственный интеграл |f (x)| dx, то, по теореме 3, сходится несобственныйРассмотрим функции 0 6 g =|f |+f2aинтегралRbag(x) dx,Rbah(x) dx. Так как f = g − h, то, по теореме 1,36Rbaf (x) dx =Rbag(x) dx −Rbah(x) dx — сходится.Учитывая, что |f | = g + h, имеем: b b bZ Z Z ZbZbZb f (x) dx 6 g(x) dx + h(x) dx = g(x) dx + h(x) dx = |f (x)| dx. aaaОпределение.
Несобственный интегралRbaaaf (x) dx — абсолютно сходящийся, если сходитсяaRba|f (x)| dx.Следствие. (К теореме 4). Всякий абсолютно сходящийся несобственный интеграл сходится.+∞+∞R sin kxR cos kxПример. Несобственные интегралыxs dx,xs dx, где a > 0 — постоянная, абсолютно сходятсядля s > 1 и ∀ k 6= 0 ∈ R. sinxskx 6 x1s , cosxskx 6По теореме 3, сходятсяaa1xs ,+∞R∀x > a и|sin kx|xsadx,+∞Ra+∞Radxxs|cos kx|xsсходится для любого s > 1.dx, s > 1. Утверждения, аналогичные данным, остаются справедливыми для (a, b] и [a, b) с аналогичными доказательствами.3.3. Интегрирование по частям и подстановкой в несобственном интеграле3.3.1.
Интегрирование по частямТеорема. Если f, u, v принадлежат C 1 на [a, b), где −∞ < a < b 6 +∞, произведение u(x)v(x) имеет пределRbRblim u(x)v(x), и сходится интеграл v(x)u′ (x) dx, то сходится другой интеграл u(x)v ′ (x) dx и справедливаx→b−aформула:Zba′u(x)v (x) dx =[u(x)v(x)]b−a−aZbu′ (x)v(x),(1)ab−где [u(x)v(x)]a = lim u(x)v(x) − u(a)v(a).x→b− Для произвольного t : a < t < b, на [a, t] справедлива формула интегрирования по частям в определённоминтеграле (в слабой форме):ZtaRtТак как существует limt→b− a′u(x)v (x) dx = u(t)v(t) − u(a)v(a) −v(x)u′ (x) dx =RbZtv(x)u′ (x) dx.(2)av(x)u′ (x) dx, то остаётся перейти к lim в (2) и воспользоватьсяt→b−aсвойством линейности предела функции по базе. +∞+∞R cos kxR sin kxПример.xs dx,xs dx, a > 0, k 6= 0 — фиксированы, сходятся (но не абсолютно) для любогоaas : 0 < s 6 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
