В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

, ζn } и полную сумму σ(f, Teζ ) =f (ζk )∆xk с d(Teζ ) = d(Te) < δ0 , для которого справедливо:k=1σ(f ; Teζ ) = |σ ∗ + f (ζl )∆xl | > |f (ζl )∆xl | − |σ ∗ | = |f (ζl )| ∆xl − |σ ∗ | > |σ ∗ | + |I| + 1 − |σ ∗ | = |I| + 1,(6)для Teζ , d(Teζ ) < δ0 .Неравенства (5) и (6) взаимоисключающие, так как (5) справедливо для всех Tζ : d(Tζ ) < δ0 , а в (6) длянекоторого Teζ получим противоречие. 2.1.7. КонтрпримерСвойство ограниченности подинтегральной функции не является достаточным условием существования интеграла Римана.(1, x ∈ QПример: Функция Дирихле: D(x) =неинтегрируема на ∀ [a, b].0, x ∈ R r Q Рассмотрим произвольное T отрезка [a, b]; T : a = x0 < · · · < xn = b.

По свойству плотности множеств′′′Q и R r Q на ∀∆k = [xk−1 , xk ], k = 1, n, существует ζk ∈ ∆k ∩ Q и ζk ∈ ∆k ∩ (R r Q). Обозначим наборы′′′′′′ζ ′ = ζ1 , . . . , ζn и ζ ′′ = ζ1 , . . . , ζn и рассмотрим Tζ ′ и Tζ ′′ .nnnPPPσ(D; Tζ ′ ) =f (ζk′ )∆xk = b − a > 0 и σ(D; Tζ ′′ ) =f (ζk′′ )∆xk =0∆k = 0.k=1k=1k=1Итак, для произвольного δ > 0 найдутся разбиения Tζ ′ и Tζ ′′ такие, что d(Tζ ′ ) < δ и d(Tζ ′′ ) < δ и σ(D; Tζ ′ ) =b − a > 0 и σ(D; Tζ ′′ ) = 0, так что ω(D; Bδ ) = |σ(D; Tζ ′ ) − σ(D; Tζ ′′ )| = b − a > 0.

Таким образом, для D(x) невыполнен критерий Коши существования интеграла. 2.1.8. Свойство линейности определённого интегралаТеорема 2.2. Если f, g ∈ R[a, b], то для ∀ λ1 , λ2 ∈ R функция (λ1 f + λ2 g) ∈ R[a, b] и справедливоZb(λ1 f (x) + λ2 g(x)) dx = λ1aZbf (x) dx + λ2aZb(7)g(x) dx.aРассмотрим функции Φf : P → R, Φg : P → R, Φλ1 f +λ2 g : P → R.

Тогда, по (2),Φλ1 f +λ2 g = σ(λ1 f + λ2 g; Tζ ) =nX(λ1 f (ζk ) + λ2 g(ζk ))∆xk = λ1k=1nXf (ζk )∆xk + λ2k=1nXg(ζk )∆xk =k=1= λ1 σ(f ; Tζ ) + λ2 σ(g; Tζ ) = λ1 Φf (Tζ ) + λ2 Φg (Tζ )(8)для любого Tζ отрезка [a, b].Так как f, g ∈ R[a, b], то ∃lim Φf =d(T )→0Rbf (x) dx иalim Φg =d(T )→0предела функции по базе, существует пределlim Φλ1 f +λ2 g =d(T )→0ZbRbg(x) dx и, в силу (8) и свойств линейностиa(λ1 f (x) + λ2 g(x)) dxaи справедливо (7). 132.2. Критерии интегрируемости функций2.2.1.

Нижние и верхние суммы ДарбуПусть функция f определена и ограничена на [a, b] (условие ограниченности функции необходимо для еёинтегрируемости). Рассмотрим произвольное T : a = x0 < x1 < · · · < xn = b и на каждом ∆k = [xk−1 , xk ], k = 1, n,рассмотрим числа mk = inf f (x); Mk = sup f (x) и обозначим:x∈∆ks(f ; T ) =nXx∈∆kmk ∆xk (нижняя) ; S(f ; T ) =k=1nXk=1Mk ∆xk (верхняя) , ∆xk = |∆k | , k = 1, n(1)— нижняя и верхняя суммы Дарбу функции f , порождённой разбиением T отрезка [a, b].Так как 0 6 Mk − mk = ω(f ; ∆k ), k = 1, n, тоS(f ; T ) − s(f ; T ) =nX(2)ω(f ; ∆k )∆xk .k=1Так как для любого ζk ∈ ∆k справедливо mk 6 f (ζk ) 6 Mk , то из (1), для любой интегральной суммыσ(f ; Tζ ), ζ = (ζ1 , . . .

, ζn ), ζk = ∆k , k = 1, n, справедливо(3)s(f ; T ) 6 σ(f ; Tζ ) 6 S(f ; T )для любых T и ζ.Теорема (основное свойство сумм Дарбу). Если f определена и ограничена на [a, b], то для ∀ T отрезка[a, b] верхняя (нижняя) сумма Дарбу S(f ; T ) (s(f ; T )) равна точной верхней (точной нижней) грани множества интегральных сумм {σ(f ; Tζ )}, в котором T — фиксировано и меняются всевозможные наборы точек ζ;т.е. S(f ; T ) = sup σ(f ; Tζ ) и s(f ; T ) = inf σ(f ; Tζ ).ζζ (Для верхней суммы). Рассмотрим произвольное ε > 0. По (3), σ(f ; Tζ ) 6 S(f ; T ) для любых наборовε< f (ζk′ ) 6 Mk ⇒ получим наборζ.

Так как Mk = sup f (x), k = 1, n, то ∃ ζk′ ∈ ∆k , в котором Mk − b−ax∈∆kζk′ = (ζ1′ , . . . , ζn′ ) и размеченное разбиение Tζ ′ , для которогоnn XXσ(f ; Tζ ′ ) =f (ζk′ )∆xk >Mk −k=1(так какnPk=1k=1εb−a∆xk = S(f ; T ) − ε∆xk = b − a и ∆xk > 0).Последнее неравенство вместе с σ(f ; Tζ ) 6 S(f ; T ) для всех ζ означают, что S(f ; T ) = sup σ(f ; Tζ ). ζАналогично для нижней суммы.2.2.2. Свойство монотонности суммы ДарбуТеорема.

Если f определена и ограничена на [a, b] и разбиение T1 отрезка [a, b] получено из разбиения Tдобавлением любого конечного множества точек, то s(f ; T1 ) > s(f ; T ) и S(f ; T1 ) 6 S(f ; T ). Утверждение достаточно доказать для случая, когда к T добавляется единственная новая точка x.

Вэтом случае ∃ k ∈ [1, n] : x ∈ (xk−1 , xk ) и ∆k = [xk−1 , xk ] = [xk−1 , x] ∪ [x, xk ] = ∆1k ∪ ∆2k .К числам mk = inf f (x) и Mk = sup f (x) добавим числа mik = inf i f (x) и Mki = sup f (x). Тогда известноx∈∆k(из первого семестра), чтоиx∈∆kx∈∆kmik= inf i f >x∈∆kmk , Mkix∈∆ik6 Mk , i = 1, 2. Поэтому,S(f ; T1 )−S(f ; T ) = Mk1 (x−xk−1 )+Mk2 (xk −x)−Mk (xk −xk−1 ) 6 Mk (x−xk−1 )+Mk (xk −x)−Mk (xk −xk−1 ) = 0s(f ; T1 )−s(f ; T ) = m1k (x−xk−1 )+m2k (xk −x)−mk (xk −xk−1 ) > mk (x−xk−1 )+mk (xk −x)−mk (xk −xk−1 ) = 0.Замечание.

Так как Mk − Mki 6 ω(f, [a, b]), то0 < S(f, T ) − S(f, T1 ) = (Mk − Mk1 )(x − xk−1 ) + (Mk − Mk2 )(xk − x) 6 ω(f ; [a, b])∆xk 6 ω(f ; [a, b])d(T ).Аналогично: 0 6 s(f, T1 ) − s(f, T ) 6 ω(f ; [a, b])d(T ).Оба неравенства справедливы в случае, когда в отрезке разбиения ∆k содержится несколько новых точекразбиения.142.2.3. Свойство отделимости множеств суммы ДарбуТеорема. Если f определена и ограничена на [a, b], то для любых разбиений T1 и T2 отрезка [a, b] справедливо s(f ; T1 ) 6 S(f ; T2 ). Рассмотрим T = T1 ∪ T2 .

По теореме пункта 2.2.2 и неравенству (3), имеем:s(f ; T1 ) 6 s(f ; T ) 6 S(f ; T ) 6 S(f ; T2 ). 2.2.4. Нижний и верхний интегралы ДарбуТак как множества {s(f ; T )} и {S(f ; T )} обладают свойством отделимости, то, по принципу отделяющегоотрезка, ∃ sup {s(f ; T )} = I и inf {S(f ; T )} = I и справедливоTT(4)s(f ; T ) 6 I 6 I 6 S(f ; T )для любого разбиения T .I — нижний интеграл Дарбу функции f , I — верхний интеграл Дарбу функции f .2.2.5.

Теорема ДарбуРассмотрим на множестве P функции ψf , Ψf вида ψf : P → R, ψf (Tζ ) = s(f ; T ), Tζ ∈ P и Ψf : P →R, Ψf (Tζ ) = S(f ; T ), Tζ ∈ P. (Таким образом, ψf , Ψf — постоянные для каждого фиксированного T относительновсевозможного выбора наборов точек ζ). По неравенству (3) справедливо(5)ψf (Tζ ) 6 Φf (Tζ ) 6 Ψf (Tζ )для любого Tζ ∈ P.Обозначение.lim ψf = lim s(f ; T ),d(T )→0d(T )→0lim Ψf = lim S(f ; T ),d(T )→0d(T )→0lim Φf = lim σ(f ; Tζ ).d(T )→0d(T )→0Следующую теорему называют теоремой Дарбу.Теорема.

Если f определена и ограничена на [a, b], тоI = lim ψf ,I = lim Ψf ,d(T )→0d(T )→0или жеI = lim s(f ; T ),d(T )→0I = lim S(f ; T ).d(T )→0(Для I). По неравенству (4), I 6 S(f, T ), ∀ T , и I = inf S(f ; T ).TРассмотрим произвольное ε > 0. Тогда ∃ T1 отрезка [a, b]:εI 6 S(f ; T1 ) < I + .(6)2Пусть T1 имеет m точек разбиения. Так как f ограничена на [a, b], то ω = ω(f ; [a, b]) < +∞ (конечно) и ω > 0.Если ω = 0, то f = const, т.е. f (x) = c, x ∈ [a, b] и тогда mk = Mk = c, k = 1, n ⇒ s(f ; T ) = S(f ; T ) = c(b − a)εи ∃ lim s(f, T ) = I = c(b − a) и ∃ lim S(f ; T ) = I = c(b − a).

Пусть ω > 0 и δ = 2mω> 0 (m — множествоd(T )→0d(T )→0точек разбиения T1 ). Рассмотрим произвольное Tζ , d(Tζ ) < δ, которое определяет разбиение T, d(T ) = d(Tζ ) < δ.Рассмотрим T2 = T ∪ T1 . По свойству монотонности верхних сумм: S(f ; T2 ) 6 S(f ; T ) и S(f ; T2 ) 6 S(f ; T1 ). Позамечанию теоремы пункта 2.2.2,0 6 S(f ; T ) − S(f ; T2 ) 6 ωmd(T ) < ωmδ =ε.2По неравенствам (6) и (7) имеем:εεε ε6 S(f ; T1 ) + < I + + = I + ε, ∀ Tζ : d(Tζ ) < δ,222 2I − S(f ; T ) < ε, ∀ Tζ : d(Tζ ) < δI 6 S(f ; T ) 6 S(f ; T2 ) +то естьили I = lim S(f ; T ). d(T )→015(7)2.2.6.

Критерий Дарбу существования интеграла РиманаRbТеорема. f определена и интегрируема на [a, b] ⇔ f — ограничена на [a, b] и I = I, при этом I = I = I =f (x) dx.a(⇐) По условию, f — ограничена и I = I = I. По теореме Дарбу (пункт 2.2.5), I =lim ψf иd(T )→0I = lim Ψf . По неравенству (5) и оценочному признаку существования предела функции по базе, существуетd(T )→0пределRblim Φf = I = I = I и I =d(T )→0f (x) dx.a(⇒) По условию, существуетRbf (x) dx = I.

Рассмотрим произвольное ε > 0. Так как I =alim Φf =d(T )→0lim σ(f ; Tζ ), то ∃ δ > 0 : ∀ Tζ , d(Tζ ) < δ, справедливо:d(T )→0I−εε< σ(f ; Tζ ) < I + , ∀ Tζ , d(Tζ ) < δ.33(8)По неравенству (8) и основному свойству сумм Дарбу, справедливо неравенствоI−εε6 s(f ; T ) = inf σ(f ; Tζ ) 6 sup σ(f ; Tζ ) = S(f ; T ) 6 I + ,ζ33ζоткуда, с учётом (4), получаемεε6 s(f ; T ) 6 I 6 I 6 S(f ; T ) 6 I + .33< ε, I − I 6 2ε3 < ε и I = I = I в силу произвольности ε > 0. I−Из (9) следует, что |I − I| 62ε3(9)2.2.7.

Критерий интегрируемости в терминах колебаний fТеорема. f ∈ R[a, b] ⇔ f — ограничена на [a, b] иlim (S(f ; T ) − s(f ; T )) = 0 илиd(T )→0limd(T )→0nXω(f ; ∆k )∆xk = 0,k=1то есть для любого ε > 0 найдётся δ > 0 такое, что для произвольного разбиения T отрезка [a, b], у которогоd(T ) < δ, справедливо неравенство0 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) =По (2) пункта 2.2.1, S(f ; T ) − s(f ; T ) =nPnXω(f ; ∆k )∆xk < ε.k=1ω(f ; ∆k )∆xk . По теореме Дарбу,k=1lim (S(f ; T ) − s(f ; T )) =d(T )→0I − I > 0. По критерию Дарбу, f ∈ R[a, b] ⇔ f — ограничена на [a, b] и I = I.

Характеристики

Список файлов лекций