В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. .3.5.3. Свойство линейности интеграла Стилтьеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5.4. Существование интеграла Стилтьеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5.5. Интегрируемость по частям в интеграле Стилтьеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5.6. Вычисление интеграла Стилтьеса . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3131313334343535363737Непрерывные отображения нескольких действительных переменных4.1. Многомерное евклидово пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.1.Векторное пространство в Rm . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .4.1.2.Скалярное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.3.Неравенство Коши – Буняковского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.4.Метрика в Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4444444445463................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................38393939393940404141424.1.5.Углы.
Ортогональность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Множества в метрическом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.1.Метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.2.Шары, δ—окрестности . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.3.Общее понятие окрестности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.4.Свойства окрестностей точек метрического пространства . . . . . . . . . . .4.2.5.Открытые и замкнутые множества метрического пространства . . . . . . .4.2.6.Критерий замкнутости множества . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.7.Кубические окрестности в пространстве Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.8.Компакты в метрическом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.9.Ограниченные множества метрического пространства . . . . . . . . . . .
. .4.2.10. Компактность и замкнутость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3. Предел и непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.1.Сходящиеся последовательности в метрическом пространстве . . . . . .
. .4.3.2.Сходящиеся последовательности в Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.3.Полные метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.4.Предел отображений метрических пространств . . . . . . . . . . . .
. . . . .4.3.5.Непрерывность функции нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . . .4.3.6.Предел отображения из Rm в Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.7.Непрерывные отображения из Rm в Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.8.Непрерывные отображения открытых множеств метрических пространств4.3.9.Непрерывность композиции . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.10. Равномерно непрерывные отображения из Rm в Rn . . . . . . . . . . . . . .4.4. Глобальные свойства непрерывных отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.1.Линейно связные множества в Rm . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.2.Непрерывный образ линейно связного множества в Rm . . . . . . . . . . . .4.4.3.Непрерывные отображения компактов в Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.4. Непрерывные отображения линейно связных множеств . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................................................................................................47474747474848494950505151515152535354545556565757575858Дифференцируемые функции нескольких переменных5.1. Частные производные . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.1.1.Основные определения и обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . .5.1.2.Производная по направлению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2. Дифференцируемость функций нескольких переменных . . . . . . . . . .5.2.1.Понятие дифференцируемости функции . . . .
. . . . . . . . . . . .5.2.2.Дифференцируемость и частные производные . . . . . . . . . . . .5.2.3.Градиент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2.4.Достаточное условие дифференцируемости . . . . . . . . . . . . . .5.2.5.Частные производные сложной функции . . . . . . . . . . . . . . .5.2.6.Дифференциал функции нескольких переменных . . . . .
. . . . .5.2.7.Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных5.3. Частные производные и дифференциалы высших порядков . . . . . . . . .5.3.1.Частные производные высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . .5.3.2.Достаточное условие равенства смешанных производных .
. . . . .5.3.3.Дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.4. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.4.1.Вспомогательные леммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.4.2.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа . . . .5.5.
Локальные экстремумы функций нескольких переменных . . . . . . . . .5.5.1.Необходимое условие экстремума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.5.2.Достаточное условие локального экстремума . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................................................................................................58585859606061626263646465656566666667676768пространств. . .
. . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .................................................707070707171714.2.5.6.Дифференцируемые отображения конечномерных евклидовых6.1. Дифференцируемые отображения из Rm в Rn . . . . . . . . . . . .6.1.1.Предварительные определения и обозначения . . . . .
. . .6.1.2.Матрица Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.1.3. Критерий дифференцируемости отображения . . . . . . . . .6.2. Неявные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2.1.Предварительные замечания . . . . . . . . . . .
. . . . . . .4....................................................................................6.2.2.Существование и дифференцируемость неявной функции . . .6.2.3.Отображения, заданные неявно . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.3. Отображения с ненулевыми якобианами . . . . . .
. . . . . . . . . . . .6.3.1.Существование локальных диффеоморфизмов . . . . . . . . . .6.3.2.Принцип сохранения области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.3.3.Зависимость функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.4. Относительные (или условные) экстремумы . . . .
. . . . . . . . . . . .6.4.1.Понятие относительных экстремумов . . . . . . . . . . . . . . .6.4.2.Общий случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.4.3.Метод множителей Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.5. Дополнительные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .6.5.1.Теорема Эйлера о дифференцируемости однородных функций6.5.2.Теорема о пределе частных производных . . . . . . . . . . . . .6.5.3.Преобразование Лежандра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.5.4.Теорема С. Банаха о неподвижной точке . . . . . . . . .
. . . .6.5.5. Усиленная форма теоремы Банаха . . . . . . . . . . . . . . . . .5................................................................................................................................................................................................................................................71737474757576767777787878797980Часть 3.Интегральноеисчисление1. Неопределённый интеграл1.1. Неопределённый интеграл1.1.1. Точная первообразная функция′f, ∃f , Df ′ ⊂ Dff, F, F ′ = f (обратная задача), Df ⊂ DF1, Df ∈ (−1, 1)f (x) = √1−x2F (x) = arcsin x, DF = [−1, 1]F ′ (x) = f (x)Если ∃F : F ′ = f , то для произвольного c ∈ R, (F + c)′ = F ′ = fРассмотрим f (x) = x1 , Df = (−∞; 0) ∪ (0; +∞)F (x) = ln |x|Справедливо, что Df ⊂ DF .Если x > 0, то F (x) = ln x, F ′ (x) = x1 = f (x)1Если x < 0, то F (x) = ln(−x), F ′ (x) = (ln(−x))′ = −x(−x)′ = x1 = f (x)x ∈ Df ,(x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, +∞)ln(x) + c1 , если x > 0;Φ(x) =ln(−x) + c2 , если x < 01.1.2.
Точная первообразная функция на промежуткеОпределение 1. Функцию F , определенную на промежутке ha, bi, −∞ 6 a 6 b 6 +∞, называют точнойпервообразной функцией для функции f , если:1◦ F — непрерывна на ha, bi,2◦ F дифференцируема на (a, b), и3◦ F ′ (x) = f (x), x ∈ (a, b).Теорема 1.1. Всякие две точные первообразные функции для одной и той же функции, заданные на промежутке, отличаются друг от друга на постоянную.
Пусть F1 и F2 — точные первообразные функции для функции f на ha, bi. Согласно определению 1,F1 , F2 непрерывны на ha, bi и F1′ (x) = F2′ (x) = f (x), x ∈ (a, b) Тогда ϕ = F2 − F1 непрерывна на ha, bi и ϕ′ (x) =(F2 (x) − F1 (x))′ = F2′ (x) − F1′ (x) = f (x) − f (x) = 0, ϕ(x) = c, c ∈ R, x ∈ ha, biF2 = F1 + c, x ∈ ha, bi Следствие 1.1. Если F — какая-либо точная первообразная функция для функции f на ha, bi, то совокупность всех точных первообразных для f совпадает с совокупностью функций F + c, где c = const (любая), т.е.совпадает с множеством{F + c | c ∈ R}(1)Φ′ (x) = f.
∃x0 , y0 = Φ(x0 )Φ(x) = F (x) + cy0 = Φ(x0 ) = F (x0 ) + cc = y0 − F (x0 )1.1.3. Дифференциальная форма на промежуткеОпределение 2. Дифференциальной формой на промежутке I называют семейство однородных линейныхфункций на R, зависящих от параметра, пробегающего I.Таким образом, с каждой точкой x ∈ I ассоциирована однородная линейная функция на R, скажем, l(x).Всякая однородная линейная функция имеет вид k · h, где h — аргумент, k ∈ R, k — число, не зависящее от h.В частности, l(x)(h) = k(x) · h, h ∈ R. k(x) — функция, определённая на I.dx(h) = h, h ∈ R.l(x)(h) = k(x) dx(h), h ∈ Rl(x) = k(x) dx, x ∈ I61.1.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
