В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Обратно, пустьфункция Φ(x) есть первообразная для f (x) на ha, bi (в смысле определения 1) с некоторым исключительныммножеством K1 ⊂ (a, b), то есть Φ(x) непрерывна на ha, bi и Φ′ (x) = f (x) для всех x ∈ (a, b) r K1 . Тогда функцияg(x) = Φ(x) − F (x) непрерывна на ha, bi (как разность непрерывных функций) и g ′ (x) = (Φ(x) − F (x))′ =Φ′ (x) − F ′ (x) = f (x) − f (x) = 0 для всех x ∈ (a, b) r (K ∪ K1 ). Множество K ∪ K1 — конечное, и следовательнопо теореме о стирании особенностей непрерывной функции, g(x) = c, x ∈ ha, bi.
Итак, Φ(x) = F (x) + c, x ∈ (a, b)и K1 = K. 1.2.3. Неопределённый интегралОпределение 5. Неопределенным интегралом функции f , определённой на ha, bi и имеющей на ha, bi первообразную F (x) с исключительным множеством K, назовём произвольную функцию Φ(x) из множестваR(2){F (x) + c | c ∈ R}и обозначим f (x) dx = F (x) + c, x ∈ ha, bi , c ∈ R.Rsgn x dx = |x| + c, x ∈ ha, biНа ha, 0], [0, bi функция F (x) = |x| есть точная первообразная для f (x) = sgn x.Теорема 1.10.
Если функция f Rимеет первообразнуюR F на ha, bi с исключительным множеством K, тов любой x ∈ (a, b) r К справедливо ( f (x) dx)′ = f (x) и d f (x) dx = f (x) dx. Следствие формулы (2). 1.2.4. Линейное свойствоТеорема 1.11. Если функции f, g имеютR на ha, bi неопределенные интегралылюбых λ1 , λ2 ∈ R функция λ1 f + λ2 g имеет (λ1 f (x) + λ2 g(x)) dx иZZZ(λ1 f (x) + λ2 g(x)) dx = λ1 f (x) dx + λ2 g(x) dx.Rf (x) dx,Rg(x) dx, то для(3)1 и теоремам 1 и 2, в (a, b) существуют конечныемножестваK1 и K2 , чтоR Согласно определениюRRR( f (x) dx)′ = f (x) и ( g(x) dx)′ = g(x)длявсехx∈(a,b)r(K∪K)итакжеf(x)dx,g(x)dxнепрерывны12RRна ha, bi.
Тогда функция F (x) = λ1 f (x) dx + λ2 g(x) dx непрерывна на ha, bi и10F ′ (x) = Z′Z′Z′Zλ1 f (x) dx+λ2 g(x) dx = λ1f (x) dx +λ2g(x) dx = λ1 f (x)+λ2 g(x), x ∈ (a, b)r(K1 ∪K2 ).Так как множество K1 ∪ K2 — конечное, то, согласно определению 1, функция F (x) есть первообразная дляλ1 f + λ2 g на ha, bi с исключительным множеством K = K1 ∪ K2 .
По определению 2, существует интегралZZZ(λ1 f (x) + λ2 g(x)) dx = F (x) + c = λ1 f (x) dx + λ2 g(x) dx + c, x ∈ ha, bi ⇔ (3),так как постоянную c можно убрать в любом из неопределённых интегралов правой части. 1.2.5. Интегрирование по частямТеорема 1.12. Пусть функции u(x), v(x) определены на ha, bi, дифференцируемы в (a, b) и Rимеют односторонние производные в его концевых точках (входящих в ha, bi). Если на ha, bi существуетv(x)u′ (x) dxR′с некоторым исключительным множеством K ⊂ (a, b), то на ha, bi существует u(x)v (x) dx с тем жеисключительным множеством K и справедлива формулаZZ′u(x)v (x) dx = u(x)v(x) − v(x)u′ (x) dx, x ∈ ha, bi .(4) Из условий следует, что функция u(x)v(x) непрерывна на ha,в (a, b) и (u(x)v(x))′ =R bi, дифференцируема′′u (x)v(x) + u(x)v (x), x ∈ (a, b), а также, что функция Φ(x) = v(x)u (x) dx непрерывна на ha, bi и Φ′ (x) =v(x)u′ (x) для всех x ∈ (a, b) r K.
Поэтому, функция u(x)v(x) − Φ(x) непрерывна на ha, bi, дифференцируема в(a, b) r K. Значит,′(u(x)v(x) − Φ(x))′ = u′ (x)v(x) + u(x)v ′ (x) − Φ′ (x) = u(x)v ′ (x) + v(x)u′ (x) − v(x)u′ (x) = u(x)v ′ (x),x ∈ (a, b) r K.Таким образом, функция u(x)v(x) − Φ(x) есть первообразная для u(x)v ′ (x) на ha, bi с исключительным множеством K.
Согласно определению 2, существует интегралZZu(x)v ′ (x) dx = u(x)v(x) − Φ(x) + c = u(x)v(x) − v(x)u′ (x) dx + c, x ∈ ha, bi ,что равносильно (4), т.к. постоянную c можно убрать в любом интеграле в правой части. Замечание. Всякая функция, имеющая конечное множество точек разрыва на отрезке, обладает на нёмпервообразной.2.
Определённый интеграл Римана2.1. Определённый интеграл Римана2.1.1. Размеченные разбиения отрезкаРассмотрим на R произвольный [a, b]. Разбиение T отрезка [a, b] — всякое множество x0 , x1 , . . . , xn точек xk ∈[a, b], k = 0, n, удовлетворяющих условиям a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b. Отрезок ∆k = [xk−1 , xk ], k = 1, n— отрезок разбиения T .
Его длина |∆k | = ∆xk = xk − xk−1 , k = 1, n. Число d(T ) = max ∆xk — диаметр T ,16k6n0 < d(T ) 6 b − a.На каждом ∆k рассмотрим произвольную точку ζk ∈ ∆k , k = 1, n и рассмотрим {ζ1 , . . . , ζn } = ζ. Присоединяямножество ζ к разбиению T , получим размеченное разбиение Tζ , где T : a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b —точки размеченного разбиения Tζ . По определению, d(Tζ ) = d(T ).Множество всех размеченных разбиений [a, b] обозначается P.2.1.2. База размеченных разбиений отрезкаНа P рассмотрим систему B = {Bδ }, где Bδ = {Tζ ∈ P | d(Tζ ) < δ} , δ > 0. Покажем, что B образует базу.Чтобы проверить свойство 1) базы, рассмотрим произвольное δ > 0 и выберем n ∈ N, чтобы n > b−aδ .Разделим [a, b] на n отрезков ∆k = [xk−1 , xk ], k = 1, n одинаковой длины b−a.ПолучимнекотороеразбиениеnT, d(T ) = b−a<δ.Выбирая,например,ζ=x∈∆,k=1,n,получимζ = {ζ1 , . .
. , ζn } и различныеkk−1knTζ , d(Tζ ) = d(T ) < δ, то есть Tζ ∈ Bδ .Чтобы проверить свойство 2) базы, заметим, что Bδ1 ⊂ Bδ2 , если 0 < δ1 6 δ2 . Так как для произвольногоTζ ∈ Bδ1 , d(Tζ ) < δ1 6 δ2 , и, следовательно, Tζ ∈ Bδ2 . Рассмотрим произвольное Bδ1 и Bδ2 , и, следовательно,Bδ ⊂ Bδ1 ∩ Bδ2 .Система B = {Bδ } образует базу на P, которую обозначим d(T ) → 0 .112.1.3. Интегральные суммыРассмотрим на [a, b] произвольную f и произвольное размеченное разбиениеTζ : a = x0 < x1 < · · · < xn = b,∆k = [xk−1 , xk ],и ζ = {ζ1 , . . . , ζn } , ζk ∈ ∆k , k = 1, n.Число σ(f, Tζ ) :σ(f, Tζ ) =nXk = 1, n,∆xk = |∆k | , k = 1, n(1)f (ζk )∆xkk=1— интегральная сумма функции f , отвечающей размеченному разбиению Tζ отрезка [a, b].
Суммы (1) определяют на P отображение (функцию) Φf по правилу(2)Φf : P → R; Φf (Tζ ) = σ(f, Tζ ), Tζ ∈ P.2.1.4. Определённый интеграл РиманаОпределение 1. Число I ∈ R — определённый интеграл функции f , определённой на [a, b], если для произвольного ε > 0 ∃ δ > 0 такое, что для произвольного размеченного разбиения Tζ отрезка [a, b], имеющегоd(Tζ ) < δ, справедливо неравенствоnXf (ζk )∆xk < ε.(3)|σ(f, Tζ ) − I| = I −k=1для ∀ Tζ : d(Tζ ) < δ, то есть Tζ ∈ Bδ .Неравенство (3)⇔(3’).(3′ )|Φf (Tζ ) − I| = |σ(f, Tζ ) − I| < ε,Определение 1′ . Число I ∈ R — определённый интеграл Римана функции f , определённой на [a, b], еслиI = lim Φf , где Φf определена (2).d(T )→0Обозначение: I =Rbf (x) dx, где a, b — начальная и концевая точки интеграла.aОпределение 1 ⇔ определению 1′ (1′ — лучше, так как из него следует единственность определённого интеграла, если он существует, поскольку интеграл — предел некоторой функции по некоторой базе).Zbf (x) dx = lim Φf = lim σ(f, Tζ ) = limd(T )→0d(T )→0d(T )→0anXf (ζk )∆xk .(4)k=1Определение 2.
Множество всех функций f , имеющих определённый интеграл на [a, b], обозначается R[a, b],а сами функции называются интегрируемыми (по Риману) на [a, b].Обозначение: f ∈ R[a, b].Утверждение. R[a, b] 6= ∅ для ∀ [a, b]. Рассмотрим произвольное [a, b] и fc (x) = c, x ∈ [a, b], c ∈ R. Для любого Tζ , x0 , . . . , xn , ζ = (ζ1 , . . .
, ζn ),nnRbPPσ(fc ; Tζ ) =c∆xk = c∆xk = c(b − a) = c dx. k=1k=1a2.1.5. Критерий Коши существования интеграла РиманаТеорема. Функция f , определённая на [a, b], имеетRbaf (x) dx ⇔ для ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 такое, что на элементеBδ d(T ) → δ колебание ω(Φf ; Bδ ) < ε, то есть для любого ε > 0 ∃ δ > 0 такое, что для любых Tζ′ ′ и Tζ′′′′ ,имеющих d(Tζ′ ′ ) < δ, d(Tζ′′′′ ) < δ, выполнено условие Φδ (T ′ ′ ) − Φδ (T ′′′′ ) = σ(f ; T ′ ′ ) − σ(f ; T ′′′′ ) < εζζζζто есть ′Xn′′Xn′′′′′′ f(ζ)∆x−f(ζ)∆xkkkk < ε.k=1k=1122.1.6. Необходимое условие существования определённого интегралаТеорема 2.1.
Всякая функция, интегрируемая на отрезке, ограничена на этом отрезке. (От противного) Пусть ∃ [a, b] и функция f интегрируема и неограничена на [a, b]. Тогда существуетпредел I = lim σ(f ; Tζ ). Рассмотрим ε0 = 1 > 0. ∃ δ0 > 0 : |I − σ(f ; Tζ )| < ε0 = 1 для всех Tζ : d(Tζ ) < δ0 ⇒d(T )→0(5)|σ(f ; Tζ )| 6 |σ(f ; Tζ ) − I| + |I| < |I| + 1 ∀ Tζ : d(Tζ ) < δ0 .eРассмотрим n ∈ N, n > b−aδ0 и T отрезка [a, b] на ∆k = [xk−1 , xk ], k = 1, n, одинаковой длины |∆k | = ∆xk =b−aen , k = 1, n. Тогда d(T ) < δ0 .
Так как, по условию, f неограничена на [a, b], она будет неограничена на некотором∆xl , 1 6 l 6 n. Рассмотрим ζk = xk−1 ∈ ∆k , для всех k ∈ [1; n] таких, что k 6= l, и неполный набор ζ ∗ =nPζ1 , . . . , ζl−1 , ζl+1 , . . . , ζn и неполную сумму σ ∗ =f (ζk )∆xk . Так как f неограничена на ∆xl и ∆xl > 0,k=1,k6=lто найдётся ζl ∈ ∆xl , в которой |f (ζl )| ∆xl > |σ ∗ | + |I| + 1. Добавляя ζl к ζ ∗ , получим полный набор ζ =nP{ζ1 , . . . , ζl−1 , ζl , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
