В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

+ n d2 y n =∂x1∂xm∂y 1∂y n∂y∂y21∂∂∂∂1m1n=dx + m dx + 1 dy + . . . + n dyΦ.2 ∂x1∂x∂y∂y6.5. Дополнительные результаты6.5.1.Теорема Эйлера о дифференцируемости однородных функций1Функция f (x , . . . , xm ) называется однородной, если формулаf (tx1 , tx2 , . . . , txn ) = tn f (x1 , . . . , xm )(1)выполняется для всех t. Число n ∈ N называется степенью однородности функции f .Рассмотрим функцию f (x, y, z).

Тогда (1) имеет видf (tx, ty, tz) = tn f (x, y, z).Положим t =1x(1′ )в (1’). Тогда y z,f (x, y, z) = xn f 1, ,x xилиy z ,.(2)f (x, y, z) = xn ϕx xТаким образом, если разделить однородную функцию n–ой степени на n–ую степень одной из переменных,то частное будет зависеть только от отношения переменных между собой.Обратно, если справедлива формула (2), то f (tx, ty, tz) = tn xn ϕ xy , xz = tn f (x, y, z), то есть справедливо(1’). Дифференцируя (1’) по t, получимxfx′ (tx, ty, tz) + yfy′ (tx, ty, tz) + zfz′ (tx, ty, tz) = ntn−1 f (x, y, z),(3)и полагая в (3) t = 1, имеемxfx′ (x, y, z) + yfy′ (x, y, z) + zfz′ (x, y, z) = nf (x, y, z).(4)В формуле (4) и заключается теорема Эйлера.Теорема Эйлера.

Сумма произведений частных производных однородной функции на соответствующиепеременные равна произведению самой функции на её степень однородности.Дифференцируя (3) по t, получим′′′′′′′′′′′′x2 fxxx(tx, ty, tz) + xyfxy(tx, ty, tz) + xzfxz(tx, ty, tz) + yxfyx(tx, ty, tz) + y 2 fyy(tx, ty, tz) + yzfyz(tx, ty, tz)+′′′′′′(tx, ty, tz) + z 2 fzz(tx, ty, tz) = n(n − 1)tn−2 f (x, y, z).+ zxfzx(tx, ty, tz) + zyfzyДля любого k ∈ Nk1 ∂m ∂x+ ...+ xf (x1 , . . . , xm ) = n(n − 1) · . . . · (n − k + 1)f (x1 , . . .

, xm ).∂x1∂xm6.5.2.Теорема о пределе частных производныхТеорема. Если fx′ (x + h, y, z) имеет предел при h → 0, то lim fx′ (x + h, y, z) = fx′ (x, y, z).h→0По формуле конечных приращений,f (x + h, y, z) − f (x, y, z)= fx′ (x + θh, y, z), 0 < θ < 1hиlim fx′ (x + θh, y, z) = lim fx′ (x + h, y, z) = limh→0h→0h→078f (x + h, y, z) − f (x, y, z)= fx′ (x, y, z).h6.5.3.Преобразование Лежандра∂zq = ∂yи считаем, что функции p и q функционально независимы.Пусть z = f (x, y). Положим p =p и q — независимые переменные. Рассмотрим новую функцию∂z∂x ,(6)u = px + qy − z.Так как dz = p dx + q dy, тоdu = p dx + x dp + q dy + y dq − dz = x dp + y dq + (p dx + q dz) − (p dx + q dy) = x dp + y dq.Следовательно,∂u∂u= x;= y.∂p∂qДифференцируя последние две формулы, получимdx =∂2u∂2u∂2u∂2udp +dq, dy =dp + 2 dq.2∂p∂p∂q∂q∂p∂q(8)Так как в уравнениях (8) dx и dy — произвольные, то определитель системы обязан быть отличен от 0.∂2u ∂2uH=−∂p2 ∂q 2∂2u∂p∂q26= 0.(9)Разрешая систему (8) относительно dp и dq, получим1 ∂2u∂2u1 ∂2u∂2udp =dx −dy , dq =dy −dx .H ∂q 2∂p∂qH ∂p2∂p∂qd2 z = d(dz) = d(p dx + q dy) = dx dp + dy dq.1d z=H2откуда∂2u 2∂2u∂2u 2dx − 2dx dy + 2 dy ,∂q 2∂p∂q∂p∂2z1 ∂2u ∂2z1 ∂2u=,=−;22∂xH ∂q ∂x∂yH ∂p∂y1 ∂2u∂2z=.∂y 2H ∂p26.5.4.Теорема С.

Банаха о неподвижной точкеПусть X = (X; p) — полное метрическое пространство. Отображение f : X → X, Df = X, называетсясжимающим отображением, если существует q, 0 < q < 1, что ρ(f (x′ ), f (x′′ )) 6 qρ(x′ , x′′ ).Из определения следует, что сжимающее отображение f равномерно непрерывно на X (δ = ε) и, следовательно, непрерывно на X.Теорема (принцип сжимающего отображения). Если f : X → X сжимающее, то существует единственная x0 6 x, для которой f (x0 ) = x0 . Точка x0 ∈ X называется неподвижной точкой отображенияf. Рассмотрим произвольное x1 ∈ X и образуем точки x2 = f (x1 ), x3 = f (x2 ), .

. . , xn+1 = f (xn ), n ∈ N.Покажем, что (xn ) — фундаментальная. Обозначим ρn = ρ(xn , xn+1 ), ρ1 = ρ(x1 , x2 ). Тогда ρn = ρ(xn , xn+1 ) =ρ(f (xn − 1), f (xn )) 6 qρ(xn−1 , xn ) = qρn−1 , n ∈ N, n > 2. Таким образом, ρn 6 q n−1 ρ1 , n > 2.Используя неравенство треугольника для метрики ρ, получим для всех n, m ∈ N оценкиρ(xn , xn+m ) 6 ρ(xn , xn+1 ) + ρ(xn+1 , xn+2 ) + .

. . + ρ(xn+m−1 , xn+m ) = ρn + ρn+1 + . . . + ρn+m−1 616 q n−1 + q n−2 + . . . + q n+m−2 ρ1 = q n−1 (1 + q + . . . + ρn+m−1 )ρ1 < q n−1ρ1 , n > 2.1−q1Так как lim q n−1 = 0, то для любого ε > 0 существует N ∈ N, N = N (ε), что q n−1 1−qρ1 < ε для всехn→∞n > N = N (ε) и, следовательно, ρ(xn , xn+m ) < ε для всех n > N = N (ε) и всех m ∈ N, то есть (xn ) —79фундаментальная в X. Так как X — полное пространство, то последовательность (xn ) имеет предел (существуетlim xn = x0 и x0 ∈ X).n→∞Так как f непрерывна в x0 ∈ X, то lim f (xn ) = f (x0 ).n→∞Так как lim xn+1 = lim xn = x0 , то переходя в xn+1 = f (xn ), n ∈ N к пределу по n → ∞, получимn→∞n→∞x0 = f (x0 ), то есть x0 — неподвижная точка отображения f .Если y = f (y) для некоторого y ∈ X, y 6= x0 , то ρ(y, x0 ) = ρ(f (y), f (x0 )) 6 qρ(y, x0 ) и ρ(y, x0 ) > 0, чтоневозможно, так как 0 < q < 1.

6.5.5. Усиленная форма теоремы БанахаТеорема. Если отображение f : X → X полного метрического пространства X для некоторого n ∈ Nпорождает отображение f n = f ◦ f ◦ . . . ◦ f , сжимающее в X, то f имеет в X единственную неподвижную{z}|n разточку.Согласно теореме Банаха, существует единственная точка x0 ∈ X, в которой f n (x0 ) = x0 . Тогдаnf (f (x0 )) = f (x0 ), то есть точка f (x0 ) — неподвижная точка отображения f n .Но f n имеет единственную неподвижную точку x0 и, следовательно, f (x0 ) = x0 , то есть x0 — неподвижнаяточка отображения f .Если y = f (y) для некоторого y ∈ X, то f n (y) = f n−1 (f (y)) = f n−1 (y) = f n−2 (f (y)) = f n−3 (y) = .

. . = f (y) =y, то есть y — неподвижная точка отображения f n .Но f n имеет единственную неподвижную точку x0 , то есть x0 = y. 80.

Характеристики

Список файлов лекций