В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581), страница 20
Текст из файла (страница 20)
. . , xm ) ∈ Df и любого h = (h1 , . . . , hm ), что x + h ∈ U(x, r) ⊂ Df , r > 0, справедливоf (x + h) − f (x) = f (x1 + h1 , . . . , xm + hm ) − f (x1 , . . . , xm ) =kn+1mX1∂∂1∂∂=h1 1 + . . . + hm mf (x) +h1 1 + . . . + hm mf (x + θh), 0 < θ < 1.k!∂x∂x(n + 1)!∂x∂x(2)k=1 Как и в лемме, рассмотрим ϕ(t) = f (x + th), t ∈ [0, 1], так что ϕ(0) = f (x), ϕ(1) = f (x + h). Применениемк ϕ(t) формулы Тейлора на [0, 1] с остаточным членом в форме Лагранжа, получимnX1 (k)1ϕ(1) − ϕ(0) =ϕ (0) +ϕ(n+1) (θ), 0 < θ < 1.k!(n + 1)!(3)k=1Подставим в (3) формулы (1), t = 0, получим (2), т.к.
ϕ(1) = f (x + h), ϕ(0) = f (x). 5.5. Локальные экстремумы функций нескольких переменных5.5.1.Необходимое условие экстремумаТеорема 1 (Ферма). Если функция f (x) = f (x1 , . . . , xm ) принимает во внутренней точке (x10 , . . . , xm0 )множества E ⊂ Df наибольшее или наименьшее значение на E и дифференцируема в этой точке, то всечастные производные первого порядка в этой точке равны нулю.
Пусть, например, x0 — точка наибольшего значения на E. Тогда существует r > 0, что открытый шарU(x0 , r) ⊂ E и f (x0 ) > f (x) для всех x ∈ U(x0 , r).i+1imРассмотрим i–ую частную функцию ϕi (z) = f (x10 , . . . , xi−10 , z, x0 , . .
. , x0 ), i = 1, m, определённую на (x0 −ir, x0 + r).Мы знаем, что существует ϕ′i (xi0 ) и ϕi (xi0 ) = f (x0 ) > ϕi (z), z ∈ (xi0 − r, xi0 + r). По теореме Ферма: ϕ′i (xi0 ) = 0∂f′iили ∂xi (x0 ) = ϕi (x0 ) = 0, i = 1, m. Определение. Точку x = (x1 , . . . , xm ), в которой функция f (x) = f (x1 , . . . , xm ) дифференцируема и все= 0, i = 1, m, называется стационарной точкой функции f .∂f∂xi (x)Замечание.
В этом определении функция f предполагается дифференцируемой в точке (а не просто существование частных производных).Для того, чтобы во внутренней точке x множества E ⊂ Df функция f принимала наибольшее или наименьшее значение на E, необходимо, чтобы x была стационарной точкой функции f .Пример.
Функция f (x, y) = xy, точка (0,0) — стационарная, f (0, 0) = 0, но в любой окрестности точки (0,0)существуют точки (x, y), в которых f (x, y) > 0 и точки (x, y), в которых f (x, y) < 0.675.5.2.Достаточное условие локального экстремумаПусть функция f (x) = f (x1 , . . . , xm ) определена на открытом множестве G = Df ⊂ Rm и x0 = (x10 , . . . , xm0 )∂f— стационарная точка функции f , так что ∂xi (x0 ) = 0, i = 1, m.Рассмотрим открытый шар U(x0 , r) ⊂ G, r > 0 и предположим, что функция f (x) ∈ C 2 в U(x0 , r). Тогда дляпроизвольного h = (h1 , .
. . , hm ), что x0 + h ∈ U(x0 , r). Согласно формуле Тейлора:21∂f∂f1∂∂h1 1 (x0 ) + . . . + hm m (x0 ) +h1 1 + . . . + hm mf (x0 + θh), 0 < θ < 1. (1)f (x0 + h) − f (x0) =1!∂x∂x2!∂x∂xТак как∂f∂xi (x0 )= 0, i = 1, m, то (1) примет вид1f (x0 + h) − f (x0 ) =2Так как∂2 f∂xi ∂xj (x0′+ θh) =∂2f∂xi ∂xj (x0 )21 ∂m ∂h+ ...
+ hf (x0 + θh).∂x1∂xm(1′ )+ αij (h), где lim αij (h) = 0 = αij (0), i, j = 1, m.h→0Поэтому, из (1 ) следует2221111 ∂m ∂1 ∂m ∂h+ ...+ hf (x0 + θh) =h+ ... + hf (x0 ) + h1 β1 (h) + . . . + hm βm (h) , (2)1m1m2∂x∂x2∂x∂x2где все функции βi (h), i = 1, m явно выражаются через αij (h) и lim βi (h) = 0 = βi (0), i = 1, m.h→0Кроме того,nmXX 1222i 2h β1 (h) + . . .
+ hm βm (h)2 6(h )(βi (h))2 = kxk kβ(h)k = O(khk ), h → 0.i=1(3)i=1Подставляя (2) и (3) в (1′ ), получимf (x0 + h) − f (x0 ) =где122∂∂2h1 1 + . . . + hm mf (x0 ) + O(khk ), h → 0,∂x∂x2mX∂2f1 ∂m ∂h+...+hf(x)=(x0 )hi hj .0i ∂xj∂x1∂xm∂xi,j=1(4)(5)Теорема 2. Если функция f (x) = f (x1 , . .
. , xm ) ∈ C 2 на открытом множестве G = Df ⊂ Rm и x0 == (x10 , . . . , xm0 ) — стационарная точка функции f , то f имеет в точке x0 локальный экстремум тогда итолько тогда, когда квадратичная форма (5) — знакопостоянная. При этом x0 — точка строгого максимума,если форма (5) — положительная, и x0 — точка строгого минимума, если форма (5) — отрицательная. Объединяя формулы (1)—(5), имеемmm2i2X1 X ∂2fkhk∂fh2 , h → 0 ∈ Rm .f (x0 + h)− f (x0 ) =(x0 )hi hj + O(khk ) =(x0 )i ∂xjhj2 i,j=1 ∂xi ∂xj2∂xkhk+O(1)khki,j=1Вектор e(h) =h1hmkhk , . . .
, khk=hkhk(6)m— непрерывное отображение множества Rm:=Rr0насферуS(0;1)0единичного радиуса с центром в начале координат, так как ke(h)k = 1.Сфера S(0, 1) — компакт в Rm . ФункцияF (e(h)) =mXi,j=1∂2fhi hj(x0 )ij∂x ∂xkhk khkнепрерывна на S(0; 1) и непрерывна на Rm0 как сложная функция. Так как S(0, 1) — компакт, то функция F (e(h))достигает на S своего наименьшего значения m и своего наибольшего значения M , m 6 M . Более того, числаm и M — наименьшее и наибольшее значение сложной функции F (e(h)) на множестве {h ∈ Rm | 0 < khk < r},где r > 0 — радиус шара U(x0 , r), в котором действительна формула (6).Предположим, что форма (5) положительна. Тогда 0 < m 6 M , и из (6) следует:2f (x0 + h) − f (x0 ) >khk(m + O(1)), h → 0.268Рассмотрим такое δ1 , 0 < δ1 6 r, чтобы |O(1)| < |m| = m.
Тогда2f (x0 + h) − f (x0 ) >khk(m − |O(1)|) > 0, h, 0 < khk < δ1 ,2то есть x0 — точка строгого минимума функции f .Пусть квадратичная форма (5) отрицательна. Тогда m 6 M < 0 и, согласно (6),2f (x0 + h) − f (x0 ) <khk(M + O(1)).2Выберем такое число δ2 , 0 < δ2 6 r, чтобы |O(1)| < |M | для всех h, o < khk < δ2 , тогда f (x0 + h) − f (x0 ) < 0для всех h, 0 < khk < δ2 и x0 — точка строгого максимума функции f .Пусть форма (5) знакопеременна. Тогда m < 0 < M . Рассмотрим на S(0; 1) точку em , в которой F (em ) = mи произвольное h = tem , t > 0.
Тогда khk = t kem k = t. Существует δ1 , 0 < δ1 6 r, что |O(1)| < |m| для всехh, 0 < khk < δ1 . Тогда для h = tem , 0 < t < δ1 , справедливо f (x0 + tem ) − f (x0 ) < 0 для всех t, 0 < t < δ1 .Существует δ2 , 0 < δ2 6 r такое, что для произвольного h = teM , 0 < t < δ2 и F (eM ) = M имеемkhk = t > 0 и f (x0 + teM ) − f (x0 ) > 0 для всех t, 0 < t < δ2 . Итак, каждая проколотая окрестность точкиx0 содержит x0 + tem , 0 < t < δ1 , в которой f (x0 + tem ) − f (x0 ) < 0 и точки x0 + teM , 0 < t < δ2 , в которойf (x0 + teM ) − f (x0 ) > 0, то есть x0 не есть точка локального экстремума функции f .
696. Дифференцируемые отображения конечномерныхевклидовых пространств6.1. Дифференцируемые отображения из Rm в Rn6.1.1.Предварительные определения и обозначенияРассмотрим произвольное открытое множество G в пространстве Rm и отображение f : G → Rn . Отображение f (x), x ∈ G = Df ⊂ Rm задаётся набором (f 1 (x), . . .
, f n (x)) функций f j (x) = f j (x1 , . . . , xm ), j = 1, n. Фиксируем произвольное x = (x1 , . . . , xm ) ∈ G и рассмотрим открытый шар U(x, r) ⊂ G. Пусть вектор h = (h1 , . . . , hm )такой, что x + h = (x1 + h1 , . . . , xm + hm ) ∈ U(x, r).Отображение f (x+h)−f (x) называется приращением отображения f (x) в точке x, отвечающим приращениюh отрезка x.В координатной форме f (x + h) − f (x) = (f 1 (x + h) − f 1 (x), . . . , f n (x + h) − f n (x)), где f j (x + h) − f j (x) =j 1f (x + h1 , .
. . , xm + hm ) − f (x1 , . . . , xm ), j = 1, n.Определение. Отображение f (x) называется дифференцируемым в точке x ∈ G = Df ⊂ Rm , если существует линейное отображение L(x; h) : Rm → Rn (x ∈ G — фиксировано, h ∈ Rm — произвольное).Отображение α(x; h) из Rm в Rn (x ∈ G — фиксировано, h ∈ Rm — произвольное), которое недифференkα(x;h)kцируемо в точке h = (0, . . .
, 0) ∈ Rm и удовлетворяет условию lim khk n = 0 ∈ R, так что для любогоh→0h, x + h ∈ U(x; r) справедливоmf (x + h) − f (x) = L(x; h) + α(x; h)(1)f (x + h) − f (x) = L(x; h) + o(khkm ), h → 0 ∈ Rm .(1’)илиУсловие limh→0kα(x;h)knkhkm= 0 запишем в виде α(x; h) = o(khkm ), h → 0 ∈ Rm .Линейное отображение L(x; h) задаётся матрицей 1a1 (x) a12 (x) . .
. a1m (x) a21 (x) a22 (x) . . . a2m (x)A(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,an1 (x) an2 (x) . . . anm (x)x ∈ G, aij (x) = aij (x1 , . . . , xm ), i = 1, m, j = 1, n, x ∈ G. 1 1 1f (x + h) − f 1 (x)hα (x; h) .. .... .. = A(x) . + , . ........nnmnf (x + h) − f (x)hα (x; h)(2)(3)(x ∈ G — фиксировано, h ∈ Rm — произвольное), где o(x; h) = (α1 (x; h), . .
. , αn (x; h)) и αj (x; h) == αj (x1 , . . . , xm , h1 , . . . , hm ), j = 1, n.f (x + h) − f (x) = L(x; h) + α(x; h),(1)f (x + h) − f (x) = L(x; h) + o(khkm ), h → 0 ∈ Rm .(1’)или6.1.2.Матрица ЯкобиПусть отображение f (x), x ∈ G = Df — открытое множество в Rm дифференцируемо в x ∈ G, то естьсправедливы (1) и (1 ′ ), в которых k(x; h)kn = o(khkm ), h → 0 ∈ Rm .Так как αj (x; h) 6 kα(x; h)kn , j = 1, n, то αj (x; h) = o(khkm ), h → 0, j = 1, n.f j (x + h) − f j (x) = aj1 (x)h1 + . . .
+ ajm (x)hm + αj (x, h), j = 1, n.jТак как α(x; h) непрерывна в h = 0, то каждая α (x; h) непрерывна в h = 0, j = 1, n.jaji (x) = ∂f∂xi (x), i = 1, m, j = 1, n и матрица (2) принимает вид70(4)∂f 1. . . ∂xm (x)∂f 2. . . ∂xm (x)A(x) =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .∂f n∂f n∂f n∂x1 (x)∂x2 (x) .
. .∂xm (x)∂f 1∂x21 (x) ∂f ∂x1 (x)∂f 1∂x2 (x)∂f 2∂x2 (x)(5)6.1.3. Критерий дифференцируемости отображенияТеорема 1. Любое отображение f : G → Rn , G = Df ⊂ Rm — открытое множество, дифференцируемое вточке x ∈ G, непрерывно в x. Если f (x) дифференцируемо в x ∈ G, то справедливо (1) или (1′ ). Так как L(x; h) непрерывно в h = 0,то lim L(x; h) = L(x; 0) = 0 ∈ Rm . Кроме того, lim α(x; h) = α(x; 0) = 0 ∈ Rm . Поэтому, из (1) следует, чтоh→0h→0lim (f (x + h) − f (x)) = 0 ∈ Rm , или lim f (x + h) = f (x), то есть отображение f непрерывно в x.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
