В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581), страница 22
Текст из файла (страница 22)
. . , x0 ); jj1m2) u − u0 < εj , j = 1, n, где uj = ϕj (x1 , . . . , xm ), uj0 = ϕj (x10 , . . . , xm0 ) для всех x = (x , . . . , x ) ∈ U(x0 );3) отображение u = ϕ(x) дифференцируемо (а значит и непрерывно) в окрестности U(x0 )’1m114) якобиан ∆ = ∂F∂u1 , F1 (x, u) = F1 (x , . .
. , x , u ).6.3. Отображения с ненулевыми якобианами6.3.1.Существование локальных диффеоморфизмовТеорема 1. Пусть отображение y = f (x), x = (x1 , . . . , xn ), y = (y 1 , . . . , y n ), y j = fj (x1 , . . . , xn ), j = 1, nилиy 1 = f1 (x1 , . . .
, xn )...................(1)y n = fn (x1 , . . . , xn )1nD(y ,...,y )из Rn в Rn дифференцируемо на открытом множестве G ⊂ Rn и его якобиан D(x1 ,...,xn ) отличен от нуля вx0 ∈ G. Тогда существуют окрестности U(x0 ) и U(y0 ), y0 = f (x0 ), в которых отображение y = f (x) естьдифференцируемая биекция множеств U(x0 ) и U(y0 ) и обратная биекция x = f −1 (y) множеств U(y0 ) и U(x0 )также дифференцируема в U(x0 ). Такие отображения называют диффеоморфизмами (дифференцируемые биекции множеств).
Перепишем систему (1) в видеf1 (x1 , . . . , xn ) − y 1 = 0.......................(2)fn (x1 , . . . , xn ) − y n = 0илиFj (x, y) = fj (x1 , . . . , xn ) − y j , Fj (x, y) = 0, j = 1, n.(2′ )D(F1 , . . . , Fn )D(f1 , . . . , fn )=6= 0D(x1 , . . . , xn )D(x1 , . . . , xn )в x0 = (x10 , .
. . , xn0 ) ∈ G.Согласно теореме 2, существует окрестность U ∗ (x0 ) и U(y0 ), U ∗ (x0 ) ⊂ G, что в U(y0 ) существует отображение x = g(y) множества U(y0 ) в U ∗ (x0 ), дифференцируемое в U(y0 ), приT это для любого y ∈ U(y0 ) справедливоf (g(y)) = y, то есть g = f −1 , определённое в U(y0 ). Если f −1 (U(y0 )) U ∗ (x0 ) = U(x0 ), то x0 ∈ U(x0 ) и отображения f и g = f −1 — биекция множеств U(x0 ) и U(y0 ). Так как отображение f дифференцируемо в G, то fнепрерывно в G, и согласно характеристическомусвойству, непрерывное отображение f −1 (U(x0 )) — открытоеT ∗n−1множество в R . Поэтому f (U(y0 )) U (x0 ) = U(x0 ) ⊂ G — открытое множество или окрестность точки x0 .Область переходит в область.74Замечание.
ПустьD(f1 ,...,fn )D(x11 ,...,xnn)6= 0 иD(g1 ,...,gn )D(y 1 ,...,y n )D(f1 , . . . , fn )·D(x1 , . . . , xn )6.3.2.=−1D(f1−1 ,...,fn)D(y 1 ,...,y n )D(f1−1 , . . . , fn−1 )D(y 1 , . . . , y n )6= 0. Тогда1= |E| = ...0. . . 0.... .. .. . . 1Принцип сохранения областиТеорема. Если y = f (x) — дифференцируемое отображение области D ⊂ Rn в Rn , то её образ f (D) будеттакже областью в Rn . Проверим сначала, что D∗ = f (D) — открытое множество. По условию, D — открытое множество.Рассмотрим произвольное y ∈ D∗ и в прообразе f −1 (y) ∈ D точки y выберем некоторое x ∈ f −1 (y) ⊂ D, такчто y = f (x).Для точек x ∈ D и y = f (x) ∈ D∗ справедлива теорема 1 пункта 3.1., согласно которой, существуют окрестности U(x) ⊂ D и U(y) ⊂ D∗ , что U(y) = f (U(x)).
Но f (U(x)) ⊂ f (D) = D∗ , то есть y входит в D∗ вместе сосвоей окрестностью U(y), так что D∗ — открытое множество.По условию, область D — связное множество в Rn и дифференцируемое отображение f области D непрерывнов D и непрерывный образ f (D) связного множества D есть связное множество в Rn . Таким образом, D∗ = f (D)— область в Rn .
6.3.3.Зависимость функцийПусть на открытом множестве G пространства Rm , m > 1, заданы n дифференцируемых функций (n ∈ N).u1 = ϕ1 (x1 , . . . , xm ),. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..un = ϕn (x1 , . . . , xm )(3)Определение 1. Некоторая функция из (3), скажем, функция uk = ϕk (x1 , . . . , xm ) называется зависимойот остальных функций из (3), если на некотором открытом множестве D пространства Rn , n > 1, существуеттакая дифференцируемая функция Φ = ϕ(u1 , . . .
, uk−1 , uk+1 , . . . , un ), чтоuk = Φ(u1 , . . . , uk−1 , uk+1 , . . . , un ) = Φ(ϕ1 (x1 , . . . , xm ), . . . , ϕk−1 (x1 , . . . , xm ), ϕk+1 (x1 , . . . , xm ), . . . , ϕn (x1 , . . . , xm ))для всех x = (x1 , . . . , xm ) ∈ G.Если ни одна из функций в системе (3) не является зависимой от остальных на G, то система (3) называетсянезависимой системой на G.Пример. Функции u1 = x + y, u2 = x − y функционально независимы в R2 . Если u1 и u2 функционально зависимы в U(x0 , y0 ), то существует u1 = Φ(u2 ), дифференцируемая на(a, b) ⊂ R.Если u2 = const, то u1 = const.
С другой стороны, если x − y = c, то y = x − c и u1 = 2x − c, что не являетсяконстантой. Пример. Функции u1 = x + y, u2 = x2 + y 2 , u3 = 2xy, (x, y) ∈ R2 . Тогда u2 = u21 − u3 .Теорема. Если в системе функцийu1 = f1 (x1 , . . . , xm )....................un = fn (x1 , . . . , xm )(1), дифференцируемых на некотором открытом множестве G ⊂ Rm , число n < m и якобианом системы (1)по каким-либо n аргументам отличен от нуля в некоторой точке x0 = (x10 , . . .
, xm0 ) ∈ G, то система (1)функционально независима в любой окрестности точки x0 . Не ограничивая общности, считаем, чтоu1 = f1 (x1 , . . . , xn , xn+1 , . . . , xm ).................................un = fn (x1 , . . . , xn , xn+1 , . . . , xm )1n,...,u )и D(uD(x1 ,...,xn ) (x0 ) 6= 0. Допустим, что система (1) функционально зависима в некоторой окрестности U(x0 ) ⊂ G.Тогда существует Φ = Φ(u1 , . . .
, uk−1 , uk+1 , . . . , un ), дифференцируемая на некотором открытом множестве D ⊂Rn и uk = Φ(u1 , . . . , uk−1 , uk+1 , . . . , un ), (u1 , . . . , uk−1 , uk+1 , . . . , un ) ∈ D.75Сложная функция Φ = Φ(f1 (x1 , . . . , xm ), . . . , fk−1 (x1 , . . . , xm ), fk+1 (x1 , . . .
, xm ), . . . , fn (x1 , . . . , xm )) дифференцируема на G и uk = Φ′ и∂Φ ∂u1∂Φ ∂un∂uk∂x1 = ∂u1 ∂x1 + . . . + ∂un ∂x1 ;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..(2)∂Φ ∂u1∂Φ ∂un∂uk∂xm = ∂u1 ∂xm + . . . + ∂un ∂xmСоотношение (2) показывает, что в якобиане ∂u11 1 . . . ∂un ∂x ∂x.
. . . . . . . . . . . . . .D(u1 , . . . , un ) ∂uk∂uk = ∂x1 . . . ∂xn1nD(x , . . . , x ) . . .n. . . . . . . . . . .n. ∂u. . . ∂u∂x1∂xnk–ая строка есть линейная комбинация остальных. Противоречие. Пример.D(u1 , u2 ) 1=1D(x, y)1 = −2 6= 0.−16.4. Относительные (или условные) экстремумы6.4.1.Понятие относительных экстремумовОтносительный (или условный) экстремум нескольких действительных переменных — это её максимум илиминимум с учётом только тех точек области определения, координаты которых связаны одним или несколькимизаданными уравнениями (так называемыми уравнениями связи).Функция u = xy не имеет экстремума в (0, 0), но если y = x, то u = x2 имеет в (0, 0) минимум, а если y = −x,то u = −x2 имеет в (0, 0) максимум.Пусть функция f (x, y) дифференцируема на открытом множестве G ⊂ R2 и её аргументы x, y связаны уравнением F (x, y) = 0, в котором функция F (x, y) дифференцируема на G.
Тогда функция f есть функция одногоаргумента, скажем, x, если F (x, y) удовлетворяет условию теоремы о существовании и дифференцированиинеявной функции y = y(x). Сложная функция f (x, y(x)) дифференцируема на некотором интервале.Полная производная функции f равна нулю, то есть∂f dy∂f+= 0.∂x∂y dxДифференцируя уравнение F (x, y) = 0, y = y(x), получим∂F∂F dy+= 0.∂x∂y dxИмеем систему,∂f∂f+∂x ∂y∂F∂F+∂x∂ydy= 0;dxdy= 0.dx∂f ∂F∂f ∂F−= 0.∂x ∂y∂y ∂xКоординаты стационарных точек находятся в виде решений: ∂f ∂F − ∂f ∂F = 0;∂x ∂y∂y ∂xF (x, y) = 0.766.4.2.Общий случайm+nПусть задана функция f из Rв R и отображение F из Rm+n в Rn .
Тогда F = (F1 , . . . , Fn ).1m 1nFj (x, y) = Fj (x , . . . , x , y , . . . , y ), j = 1, n, (x, y) ∈ DF ⊂ Rm+n ;f (x, y) = f (x1 , . . . , xm , y 1 , . . . , y n ), (x, y) ∈ TDf ⊂ Rm+n .1m 1nТочку (a, b) = (a , . . . , a , b , . . . , b ) ∈ Df DF называют точкой относительного максимума (относительного минимума) функции f при уравнении связи Fj (x, y) = 0, j = 1, n, если она удовлетворяетэтим уравнениям,Tто есть Fj (a, b) = 0, j = 1, n (или F (a, b) = 0), и обладает такой окрестностью Q ⊂ Df DF , что f (a, b) > f (x, y)(соответственно, f (a, b) 6 f (x, y)) для всех (x, y) ∈ Q, удовлетворяющих уравнениям связи F (x, y) = 0, илиFj (x, y) = 0, j = 1, n.Считаем функцию f (x, y) дифференцируемой на некотором открытом множестве G ⊂ Df ⊂ Rm+n , и всефункции, входящие в уравнения связиFj (x, y) = Fj (x1 , . .
. , xm , y 1 , . . . , y n ) = 0, j = 1, n,(1)1 ,...,Fn )дифференцируемы на G ⊂ DF ⊂ Rm+n . Предположим, что D(FD(y 1 ,...,y n ) 6= 0 на G. Тогда f (x, y) есть сложнаяфункция от аргументов x1 , . . . , xm .Полная производная функции f (x1 , . . . , xm , y 1 , . . . , y n ), y j = y j (x1 , . . . , xm ), j = 1, n, равна нулю, то есть∂f∂f∂f∂f∂fdx1 + 2 dx2 + . . . + m dxm + 1 dy 1 + . .
. + n dy n = 0,∂x1∂x∂x∂y∂y(2)где dx1 , . . . , dxm — дифференциалы независимых переменных, а dy 1 , . . . , dy n — дифференциалы функций отаргументов x1 , . . . , xm .∂Fj 1∂Fj∂Fj 1∂Fjdx + . . . + m dxm +dy + . . . + n dy n , j = 1, n.11∂x∂x∂y∂y(3)Имеем n + 1 уравнение для нахождения стационарных точек. Так как якобиан 6= 0, то dy 1 , . . . , dy n линейновыражаются из (3).M1 dx1 + M2 dx2 + . . . + Mm dxm = 0,(4)Mi , i = 1, m, явно выражаются через частные производный функций f и Fj , j = 1, n.Так как dx1 , . .
. , dxm , то из (4) следует, что Mi = 0, i = 1, m.6.4.3.Метод множителей ЛагранжаУмножим уравнения (3) на постоянные неизвестные множители λ1 , . . . , λn , соответственно, и сложим с (2).A1 dx1 + Am dxm + B1 dy 1 + Bn dy n = 0,(5)где Ai , i = 1, m и Bj , j = 1, m — функции, явно выражающиеся через частные производные.Допустим, что λ1 , . . . , λn можно выбрать так, чтобы B1 = .
. . = Bn = 0. Тогда (5) примет видA1 dx1 + . . . + Am dxm = 0и все A1 = . . . = Am = 0 в силу произвольности дифференциалов dx1 , . . . , dxm . Получаем 2n + m уравнений длянахождения x1 , . . . , xm , y 1 , . . . , y n и λ1 , . . . , λn . ∂f∂F1∂F1+ λ1 1 + . . . + λn 1 = 0;1∂x∂x∂x...∂f∂F1∂Fn m + λ1 m + . . . + λn m = 0;∂x∂x∂x∂f∂F∂F11+ λ1 1 + . . . + λn 1 = 0;1∂y∂y∂y... ∂f∂F1∂Fn+ λ1 n + . .
. + λn n = 0.n∂y∂y∂yРассмотрим функцию Φ = f = λ1 F1 + . . . λn Fn .Φ(x, y, λ) = Φ(x1 , . . . , xm , y 1 , . . . , y n , λ1 , . . . , λn ). 2n + m77(6) эквивалентно∂Φ∂Φ= 0, i = 1, m,= 0, j = 1, n. Fj (x, y) = 0, j = 1, n.i∂x∂y jd2 Φ =12(7)2∂∂∂∂∂F∂F1m1ndx+dx+dy+...+dyΦ + 1 d2 y 1 + . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
