В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581), страница 19
Текст из файла (страница 19)
. + ∂x. Если fk (x) = xk , то ∂xи dfk (x)(h) = dxk (h) = h, k = 1, m.m (x) · hk (x) = 1, x ∈ R∂f∂fdf (x)(h) = ∂x1 (x)dx1 (h) + . . . + ∂xm (x)dxm (h); h ∈ R, илиdf (x) =∂f∂x1 (x)· h1 +∂f∂f(x)dx1 + . . . + m (x)dxm ;∂x1∂xdf (x) =mX∂f(x)dxi ;i∂xi=1(1)Эта величина является инвариантной относительно того, являются ли xi , 1 6 i 6 m, независимыми переменными или функциями xi = xi (t) = xi (t1 , . . . , tk ), 1 6 i 6 m, дифференцируемыми в соответствующейточке t = (t1 , .
. . , tk ) ∈ Dx , где x = x(t) = (x1 (t), . . . , xm (t)) и x(t) = x = (x1 , . . . , xm ). Действительно, полагая (f ◦ x)(t) = f (x1 (t), . . . , xm (t)) = F (t) и используя формулу (1) и теорему о дифференцировании сложнойфункции, имеем!kkmmkmiiXXXXXX∂F∂f∂x∂f∂x∂f ijjjd(f ◦ x)(t) = dF (t) =(t)dt=·dt=dt=dx = df (x).jijiji∂t∂x∂t∂x∂t∂xj=1j=1i=1i=1j=1i=1Свойства дифференциаловЕсли функции u, v дифференцируемы в одной и той же точке, то справедливо:1) d(u ± v) = du ± dv; 2)d(cu)∈ R. = c du, c dv; 5)d c = 0, c ∈ R.3)d(uv) = v du + u dv; 4)d uv = v du−uv2 Приведём доказательство свойства 3). Рассмотрим функцию z = uv. Согласно свойству инвариантности∂z∂zпервого дифференциала, dz = ∂udu + ∂vdv = vdu + udv.
5.2.7.Геометрический смысл дифференциала функции двух переменныхОпределение. Пусть функция f (x, y) непрерывна в точке P0 (x0 , y0 ) ∈ Df (Df — открытое множество вR2 ). Касательной плоскостью к графику функции f в точке M0 (x0 , y0 , z0 ), z0 = f (x0 , y0 ) называют такуюплоскость, проходящую через M0 , что расстояние M N от точки M (x, y, f (x, y)), P (x, y) ∈ Df , графика до этойплоскости бесконечно мало по сравнению с M0 M при P (x, y) → P0 (x, y).Теорема. Если функция f (x, y) дифференцируема в точке P0 (x0 , y0 ), то график z = f (x, y) этой функцииобладает в точке M0 (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) касательной плоскостью, которая задаётся уравнениемz − z0 = fx′ (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy′ (x0 , y0 )(y − y0 ),64(2)так что значение дифференциала функции f в точке P0 при приращениях x − x0 , y − y0 аргументов равноприращению z − z0 аппликаты точки касательной плоскости (текущие координаты касательной плоскостиx, y, z в отличие от текущих координат x, y, z поверхности z = f (x, y)).
pПлоскость, задаваемая уравнением (2), проходит через M0 (x0 , y0 , z0 ), z0 = f (x0 , y0 ). Обозначим ρ =P0 P = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 и, в силу дифференцируемости функции f в точке (x0 , y0 ), справедливоz − z0 = fx′ (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy′ (x0 , y0 )(y − y0 ) + α(∆x, ∆y)ρ,гдеlimP (x,y)→P0 (x0 ,y0 )(3)α(∆x, ∆y) = 0.Обозначим Π плоскость, задаваемую уравнением (2).
Вычитая (2) из (3), получим z − z0 = αρ. Пусть N— основание перпендикуляра, опущенного на Π из точки M (x, y, z), z = f (x, y) и M ′ — точка плоскости Π,имеющая ту же абсциссу x и ординату y, что и точка M . Тогда, M N 6 |M M ′ | и M0 M > P P0 . Поэтому,|MM ′ ||z−z|MNMN06 M6= |α|. Следовательно, M→ 0 при ρ → 0, так как lim |α| = 0.MP0 P =ρ00Mρ→0Итак, плоскость, задаваемая уравнением (2) — касательная к графику в точке M0 .
5.3. Частные производные и дифференциалы высших порядков5.3.1.Частные производные высших порядковРассмотрим функцию f (x) = f (x1 , . . . , xm ), определённую на открытом множестве Df в Rm , и предположим,∂fчто частная производная ∂xi (x) = ϕi (x), 1 6 i 6 m, определена на некотором открытом множестве G ⊂ Df .iвторого порядкаЕсли в точке x ∈ G ⊂ Df существует ∂ϕ∂xj (x), 1 6 j 6 m, то её называют частной производнойфункции f по аргументам xi и xj и обозначают5.3.2.∂2 f∂xi ∂xj (x),то есть∂2f∂xi ∂xj (x)=∂∂xj∂f∂xi (x), k ∈ N.Достаточное условие равенства смешанных производных′Теорема.
Если в окрестности точки (x, y) функция f (x, y) обладает частными производными fx′ , fy′ и fxy′′′′и fxy , непрерывными в (x, y), то другая смешанная производная fyx существует в этой точке и совпадает с′′fxy.′′ По условию, существует такое δ0 > 0, что функции f, fx′ , fy′ и fxyопределены для всех (x + h, y + k) с|h| < δ0 , |k| < δ0 . Положим ϕ(x) = f (x, y+k)−f (x, y). Тогда, применяя дважды формулу конечных приращений,для всех h, |h| < δ0 и k, |k| < δ0 , имеем′′ϕ(x + h) − ϕ(x) = hϕ′ (x + θ, h) = h [fx′ (x + θ1 h, y + k) − fx′ (x + θ1 h, y)] = hkfxy(x + θ1 h, y + θ2 k),(1)0 < θ1 < 1, 0 < θ2 < 1.′′Так как функция fxyнепрерывна в (x, y), то′′′′fxy(x + θ1 h, y + θ2 k) = fxy(x, y) + α(h, k),гдеlim(h,k)→(0,0)(2)α(h, k) = 0 = α(0, 0).Подставляя (2) и в (1), получим1 ϕ(x + h) ϕ(x)′′−− fxy(x, y) = α(h, k)hkk(3)для всех 0 < |h| < δ0 , 0 < |k| < δ0 .Так какlimα(h, k) = 0, то для произвольного числа ε > 0 существует δ > 0, 0 < δ 6 δ0 , что |α(h, k)| < ε(h,k)→(0,0)для всех 0 < |h| < δ, 0 < |k| < δ, и следовательно, на основании (3), получим оценку 1 ϕ(x + h) ϕ(x)′′ < ε, 0 < |h| < δ, 0 < |k| < δ.−−f(x,y)xyhkkТак как limk→0k → 0, получимϕ(x)k= limk→0f (x,y+k)−f (x,y)k= fy′ (x, y) и limk→0ϕ(x+h)k= fy′ (x + h, y), то, переходя в (4) к пределу при ′ fy (x + h, y) − fy′ (x, y)′′− fxy (x, y) 6 ε, 0 < |h| < δ.hfy′ (x + h, y) − fy′ (x, y)′′= fyx(x, y).h→0h′′fxy(x, y) = lim65(4)(5)′′Замечание.
Поскольку в этой теореме смешанную производную fxyможно заменить другой смешанной про′′изводной fyx , поскольку они взаимозаменимы, то утверждение теоремы будет справедливо, если обе смешанныепроизводные непрерывны в точке (x, y).Определение. Функцию f (x) = f (x1 , .
. . , xm ) называют принадлежащей классу C n , n ∈ N, на открытоммножестве G ⊂ Rm , если все её частные производные порядка n (а следовательно, и все частные производныенизших порядков) непрерывны на G.Теорема. Если функция f (x) = f (x1 , .
. . , xm ) принадлежит классу C n в своей области Df (Df — открытоемножество), то для любого k, 2 6 k 6 n, у которой частной производной k–го порядка любые входящие в неёдифференцирования по различным аргументам перестановочны.5.3.3.Дифференциалы высших порядковПусть f (x, y) дифференцируема в (x, y). Тогда её дифференциал∂1 f (x, y) = fx′ (x, y), ∂2 f (x, y) = fy′ (x, y),df (x, y)(h, k) = ∂1 f (x, y)h + ∂2 f (x, y)k,а (h, k) — независимые переменные, (h, k) ∈ R2 . Фиксируем h и k, можно рассматривать d как операцию d =h∂1 + k∂2 , применяемую к f (x, y). Такая операция линейна, то есть d(f + g) = df + dg, d(cf ) = cdf .Функция f (x, y) дифференцируема в (x, y) ∈ Df и Df — открытое множество в R2 .
Дифференциал функцииf в (x, y) имеет вид:∂f2df (x, y)(h, k) = ∂f∂x (x, y)h + ∂y (x, y)k = h∂1 f (x, y) + k∂2 f (x, y); (h, k) ∈ R — произвольные.Формула справедлива, если f принадлежит классу C 1 в Df .Фиксируем h и k. Операция d = h∂1 + k∂2 применит к f (x, y) сост. в дифор-ах ∂1 , ∂2 функции f в (x, y),умнож. частн.
произв. соотв. на h и k и сложения результатов. Тогда операция d = h∂1 + k∂2 линейна, то естьd (f + g) = d f + d g, d (cf ) = cd f, c ∈ R.Если операция d применима к fx′ (x, y) и fy′ (x, y), то можно рассмотреть её повторение d2 f = d (d f ) поправиламd2 f (x, y)(h, k) = (h∂1 + k∂2 )(h∂1 + k∂2 )f (x, y) = (h∂1 + k∂2 )(h∂1 + f (x, y) + k∂2 f (x, y)) == h2 ∂12 f (x, y) + hk∂1 ∂2 f (x, y) + kh∂2 ∂1 f (x, y) + k 2 ∂22 f (x, y).Если функция f ∈ C 2 в Df , то дифференцирование ∂1 и ∂2 перестановочно и формула примет вид (в болееобычных обозначениях):d2 f (x, y)(h, k) =∂2f∂2f∂2f2(x,y)h+2(x,y)hk+(x, y)k 2 .∂x2∂x∂y∂y 2Если функция f принадлежит классу C n в Df , n ∈ N, тоdn f (x, y)(h, k) = (h∂1 + k∂2 )n f (x, y) =nXi=0Cni ·∂ n−i f ∂f i n−i i·h k.∂xn−i ∂y i(2)Действительно, так как дифференцирование ∂1 , ∂2 перестановочно, то справедлива формула(h∂1 + k∂2 )n =nXi=0Cni ∂1n−i · ∂2i hn−i k i ,как если бы ∂1 и ∂2 были бы числами.Если функция f (x) = f (x1 , .
. . , xm ) принадлежит классу C n на открытом множестве Df ⊂ Rm , тоnn1 ∂m ∂d f (x)(h) = h+ ...+ hf (x), h = (h1 , . . . , hm ) ∈ Rm .∂x1∂xm5.4. Формула Тейлора5.4.1.12Вспомогательные леммыРассмотрим f (x , x ) класса C на открытом множестве Df ⊂ R2 и произвольное x = (x1 , x2 ) ∈ Df , так чтосуществует открытый шар U(x; r) ⊂ Df , r > 0.k66Рассмотрим произвольное приращение h = (h1 , h2 ), чтобы x + h ∈ U(x; r) и функцию ϕ(t) = f (x + th) =f (x1 + th1 , x2 + th2 ), t ∈ [0, 1].Тогда∀ t ∈ [0, 1] ∃ ϕ′ (t) =∂f 1d∂fd(x + th1 , x2 + th2 ) (x1 + th1 ) + 2 (x1 + th1 , x2 + th2 ) (x2 + th2 ) =∂x1dt∂xdt∂f∂f=(x + th)h1 + 2 (x + th)h2 = (h1 ∂1 + h2 ∂2 )f (x + th)∂x1∂xd ′ϕ (t) = h1 (∂12 h1 + ∂1 ∂2 h2 )f (x + ht) + h2 (∂2 ∂1 h1 + ∂22 h2 )f (x + ht) = (h1 ∂1 + h2 ∂2 )2 f (x + th).dtПо индукции:k∂∂f (x + th), t ∈ [0, 1].ϕ(k) (t) = h1 1 + h2 2∂x∂xϕ′′ (t) =Лемма.
Если функция f (x) = f (x1 , . . . , xm ) принадлежит классу C k на открытом множестве Df ⊂ Rm ,то ∀ x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Df и ∀ h = (h1 , . . . , hm ), для которых x + h ∈ U(x; r) ⊂ Df , функция ϕ(t) = f (x + th) на[0,1] имеетk(k)1 ∂m ∂ϕ (t) = h+ ...+ hf (x + ht).(1)∂x1∂xm5.4.2.Формула Тейлора с остаточным членом в форме ЛагранжаТеорема. Если функция f (x) = f (x1 , . . . , xm ) ∈ C n+1 , n ∈ N на открытом множестве Df ⊂ Rm , то длялюбой x = (x1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
