В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Дано, что A =lim f k (x1 , . . . , xm ).E∋x→alim f (x). Согласно определению 2, для любого ε > 0 существуетE∋x→aδ > 0, что dn (f (x), A) < ε для всех x ∈ Df = E и 0 < dm (x, a) < δ. Так как f (x) = (f 1 (x), . . . , f n (x)), f k (x) =1f k (x1 , . . . , xm ), k = 1, n и A = (A1 , . . . , An ) и метрикаd1n (f (x), A) 6 dn (f (x), A) < ε для всех k dn 6k dn , то1x ∈ Df = Df k , k = 1, n, и 0 < dm (x, a) < δ, так что f (x) − A 6 dn |f (x); A| < ε для всех x ∈ Df k , k = 1, n, и0 < dm (x, a) < δ.Иными словами, Ak = lim f k (x), k = 1, n.E∋x→aДостаточность. Дано, что существуетlim f k (x) = Ak , k = 1, n.
Рассмотрим произвольное ε > 0. Со-E∋x→aгласно определению предела функции нескольких переменных по базе E ∋ x → a, существует δk > 0, k = 1, n,что kf (x) − Ak < ε(1)для всех x ∈ Df k = Df и 0 < dm (x, a) < δk , k = 1, n. Положим δ = min(δ1 , . . . , δn ), δ > 0. Для всех x ∈ Df =Df k , k = 1, n, и 0 < dm (x, a) < δ неравенство (1) справедливо для любого k, k = 1, n. Поэтому, d1n (f (x), A) < √εnдля всех x ∈ Df и√0 < dm (x, a) < δ.√√Так как dn 6 nd1n , то dn (f (x), A) 6 nd1n (f (x), A) < n · √εn = ε для всех x ∈ Df и 0 < dm (x, a) < δ, то естьA = lim f (x).
E∋x→a4.3.7.Непрерывные отображения из Rm в RnОпределение 3. Отображение f : E → Rn , E ⊂ Rm , E = Df , называется непрерывным в неизолированнойточке x0 ∈ E, если существует lim f (x) = A и A = f (x0 ).E∋x→x0Если множество E = Df — открытое в Rm , Df = G, и x0 ∈ G, то отображение f : G → Rn непрерывно в x0 ,если для произвольного ε > 0 существует такое δ > 0, что dn (f (x), f (x0 )) < ε для всех x, dm (x, x0 ) < δ(x ∈ G).54Теорема (критерий непрерывного отображения из Rm в Rn ). Отображение f из Rm в Rn непрерывноmв точке x0 = (x10 , .
. . , xmи 2) каждая функция f k (x) = f k (x1 , . . . , xm ), k = 1, n, где0 ) ⇔ 1) x0 ∈ Df ⊂ R1nf (x) = (f (x), . . . , f (x)), непрерывна в x0 . Прямое следствие теоремы пункта 3.6 и определения непрерывной функции, f k (x0 ) = lim f k (x), k =E∋x→x01, n. Рассмотрим функцию f (x) = f (x1 , . . . , xm ), определённую на открытом множестве G ⊂ Rm и некоторуюточку x0 = (x10 , . .
. , xm0 ) ∈ G. Функция f (x) называется непрерывной в x0 (f ∈ C(x0 )) ⇔ для произвольногоε > 0 существует δ > 0, что |f (x) − f (x0 )| < ε для всех x, dm (x, x0 ) < δ (x = (x1 , . . . , xm ) ∈ G).i+1imiФиксируем xk = xk0 , k = 1, m, k 6= i, i = 1, m. Тогда f (x10 , .
. . , xi−10 , x , x0 , . . . , x0 ) = ϕi (x ), i = 1, m.Утверждение. Если f ∈ C(x0 ), то каждая ϕi (xi ), i = 1, m, непрерывна в xi0 . Рассмотрим произвольное ε > 0, находим δ > 0 такое, что |f (x) − f (x0 )| < ε для всех x, dm (x, x0 ) < δ.i+1imВ частности, для x = (x10 , . .
. , xi−10 , x , x0 , . . . , x0 ), имеемvumuXdm (x, x0 ) = t (xk0 − xk0 )2 + (xi − xi0 )2 = xi − xi0 < δ,k=1а |f (x) − f (x0 )| = ϕi (xi ) − ϕi (xi0 ) < ε, то есть ϕi (xi ) непрерывна в xi0 , i = 1, m. Пример.xy, если (x, y) 6= (0, 0);2 + y2xf (x, y) =0, если (x, y) = (0, 0).f (x, 0) = 0, x ∈ R; f (0, y) = 0, y ∈ R.f (0, 0) = 0. Функции f (x, 0) и f (0, y) непрерывны соответственно в x = 0 и y = 0.
С другой стороны, пределlimf (x, y) не существует, так как(x,y)→(0,0)lim(x,0)→(0,0)f (x, y) = lim f (x, 0) = 0 = f (0, 0),limx→0(0,y)→(0,0)однакоlim(x,y)→(0,0)f (x, y) = lim f (0, y) = 0 = f (0; 0),y→011= 6= f (0, 0).x→0 22f (x, y) = lim f (x, x) = limx→0x6=0По определению, f ∈ C(x0 ), x0 ∈ G ⊂ Rm — открытое множество ⇔ для любого ε > 0 найдётся δ > 0 такое,что |f (x) − f (x0 )| < ε (или d1 (f (x), f (x0 )) < ε) для всех x ∈ G, dm (x, x0 ) < δ ⇔ для любой окрестности V точкиf (x0 ) в R1 существует окрестность U точки x0 в Rm , U ⊂ G, что образ f (U) ⊂ V.4.3.8.Непрерывные отображения открытых множеств метрических пространствРассмотрим произвольные метрические пространства (X; d) и (Y ; ρ) и множество G ⊂ X — открытое в(X; d), x0 ∈ G — произвольное.Определение 1.
Отображение f : G → Y называют непрерывным в x0 ∈ G, если для произвольного ε > 0существует δ > 0 такое, что ρ(f (x), f (x0 )) < ε для всех x ∈ G, d(x, x0 ) < δ.Определение 1’. Отображение f : G → Y называют непрерывным в x0 ∈ G, если для любой окрестности Vточки f (x0 ) в (Y, ρ) существует окрестность U точки x0 в (X; d), U ⊂ G, что образ f (U) ⊂ V.Теорема (критерий непрерывности отображения открытого множества). Отображение f : G → Yоткрытого множества G в (X; d) непрерывно в каждой точке множества G (то есть непрерывно на G) тогдаи только тогда, когда прообраз f −1 (V) любого открытого множества V в (Y, ρ) есть открытое множествов (X; d). Необходимость.
Дано, что f : G → Y непрерывно в каждой точке x0 ∈ G — открытого множества.Рассмотрим произвольное открытое V в (Y, ρ). Если f −1 (V) = ∅, то f −1 (V) — отображение в (X; d). Пустьf −1 (V) 6= ∅ и x0 ∈ f −1 (V). Тогда x0 ∈ G, и так как f (x0 ) ∈ V и V — открытое множество, то согласноопределению 1′ , существует шар U(x0 , r), что f (U(x0 ; r)) ⊂ V. Тогда U(x0 , r) = f −1 (f (U(x0 ; r)) ⊂ f −1 (V). Такимобразом, x0 входит в f −1 (V) вместе с некоторым своим открытым шаром, так что f −1 (V) — окрестность (каждой)своей точки x0 , то есть f −1 (V) — открытое.Достаточность.
Дано, что f −1 (V) каждого открытого множества V в (Y, ρ) есть открытое множество в(X; d). Рассмотрим произвольное x0 ∈ G и y0 = f (x0 ) ∈ Y . Рассмотрим произвольную окрестностьV точкиT f (x0 ) в (Y, ρ). Тогда f −1 (V) — открытое, x0 ∈ f −1 (V) и x0 ∈ f −1 (V) ∩TG. Множество f −1 (V) G — открытое(как пересечениеоткрытых множеств). Следовательно, U = f −1 (V) G — некоторая окрестность точки x0 иT−1f (f (V) G) ⊂ f (f −1 (V)) = V.
Согласно определению 1′ , отображение f непрерывно в точке x0 . 5514.3.9.Непрерывность композиции11Рассмотрим функции x = ϕ (t) = ϕ (t1 , t2 , . . . , tk ), . . . , xm = ϕm (t) = ϕm (t1 , . . . , tk ), где t = (t1 , . . . , tk ) ∈E ⊂ Rk , E ∗ — множество в Rk . Эти функции задают отображение x = ϕ(t), ϕ(t) = (ϕ1 (t), . . .
, ϕm (t)) множестваE ∗ в Rm . Обозначим образ ϕ(E ∗ ) = E — множество в Rm .Рассмотрим на E ⊂ Rm функцию f (x) = f (x1 , . . . , xm ) и её композицию (f ◦ ϕ)(t) = F (t) = F (t1 , . . . , tk ).Теорема (о непрерывности сложной функции). Если отображение x = ϕ(t) непрерывно на множествеE ∗ , а функция f (x) непрерывна на E = ϕ(E ∗ ), то сложная функция F (t) = (f ◦ ϕ)(t) непрерывна на E ∗ .
Рассмотрим произвольную точку t0 ∈ E ∗ и произвольную последовательность (tn ) точек tn ∈ E ∗ такую,что lim tn = t0 (t0 = (t10 , . . . , tk0 ), tn = (t1n , . . . , tkn ), n ∈ N). Так как отображение x = ϕ(t) непрерывно в t0 , то∗n→∞каждая функция ϕj (t) = ϕj (t1 , . . . , tk ), j = 1, m непрерывна в t0 , следовательно, lim ϕj (tn ) = ϕj (t0 ), j = 1, m.n→∞1mjjТаким образом, если xn = ϕ(tn ) = (x1n , . . . , xmn ) = (ϕ (tn ), .
. . , ϕ (tn )), то lim xn = lim ϕ (tn ) = ϕ (t0 ) =n→∞n→∞xj0 , j = 1, m, и x0 = (x10 , . . . , xn0 ) ∈ E. Так как функция f (x) непрерывна в x0 ∈ E, то f (x0 ) = lim f (xn ), гдеn→∞xn = (x1n , . . . , xmn ). Поэтому lim F (tn ) = lim (f ◦ϕ)(tn ) = lim f (ϕ(tn )) = lim f (xn ) = f (x0 ) = (f ◦ϕ)(t0 ) = F (t0 )n→∞n→∞n→∞n→∞для любой последовательности (tn ) точек tn ∈ E ∗ , lim tn = t0 . Согласно критерию, F непрерывна в t0 ∈ E ∗ .
n→∞Рассмотрим отображение f множества E = ϕ(E ∗ ) ⊂ Rm в Rn , то есть f (x) = (f 1 (x), . . . , f n (x)), гдеf j (x) = f j (x1 , . . . , xm ), j = 1, n, x = (x1 , . . . , xm ) ∈ E ⊂ Rm .Теорема. Если отображение x = ϕ(t) непрерывно на множестве E ∗ , и отображение f множества E =ϕ(E ∗ ) ⊂ Rm в пространство Rn непрерывно на множестве E, то их композиция f ограничена, являющаясяотображением множества E ∗ ⊂ Rk в пространство Rn , непрерывна на множестве E ∗ ⊂ Rk . Отображение (f ◦ ϕ)(t), t ∈ E ∗ , имеет компоненты (f ◦ ϕ)(t) = (F 1 (t), . .
. , F k (t)), гдеF j (t) = F j (ϕ1 (t), . . . , ϕk (t)), j = 1, n, t = (t1 , . . . , tk ).Согласно предыдущей теореме, каждая функция F j (t), j = 1, n непрерывна на E ∗ . Таким образом, непрерывнои отображение (f ◦ ϕ)(t) на E ∗ . 4.3.10.Равномерно непрерывные отображения из Rm в RnОпределение. Отображение f (x) из Rm в Rn называется равномерно непрерывным на множестве E ⊂ Rm ,если E ⊂ Df и для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что dn (f (x′ ), f (x′′ )) < ε для всех x′ , x′′ ∈ E, длякоторых dm (x′ , x′′ ) < δ.Теорема. Всякое равномерно непрерывное отображение множества непрерывно в каждой точке множества.
Фиксируем произвольное x0 ∈ E. Согласно определению, для любого ε > 0 существует δ > 0, чтоdn (f (x), f (x0 )) < ε для всех x ∈ E, dn (f (x), f (x0 )) < ε для всех x ∈ E, dm (x, x0 ) < δ, то есть f непрерывна вx0 ∈ E. Аффинное отображение A(x) = y пространства Rm в Rn , m > 1, n > 1 задаётся матрицей A = aji , i =1, m, j = 1, n и вектором b = (b1 , . . .
, bn ) ∈ Rn , так что для любого x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Rm его образ y = A(x), y =mP(y 1 , . . . , y n ) ∈ Rn и y j =aji xi + bj , j = 1, n.В матричной формеi=1 1y1a1 .. .. . = .ynan1a12...an2 1 1. . . a1mxb.. · .. + .. .... . .. . . anmxmbnТаким образом, y = A(x) = L(x) + b, где L(x) — линейное отображение из Rm в Rn , задаваемое матрицей A.Утверждение. Любое аффинное отображение A(x) равномерно непрерывно на Rm .1m Рассмотрим произвольные точки x1 = (x11 , x21 , . . . , xm1 ), x2 = (x2 , . .
. , x2 ) и y1 = A(x1 ), y2 = A(x2 ).Тогда y2 − y1 = L(x2 ) + b − L(x1 ) − b = L(x2 ) − L(x1 ) = L(x2 − x1 ). Если y1 = (y11 , . . . , y1n ), y2 = (y21 , . . . , y2n ), то mP y2j − y1j =aji (xi2 − xj1 ), j = 1, m. Обозначим α = max aji > 0.i=1i,j56Если dm (x1 , x2 ) < r, то xi2 − xi1 6 dm (x1 , x2 ) < r, i = 1, m, и y2j − y1j 6 m · d · r, j = 1, n, так что√√dn (y1 , y2 ) 6 n · max y2j − y1j < m · n · d · r. Рассмотрим произвольное ε > 0 и положим δ = m√εn·d > 0, δ = δ(ε).j√Тогда, если dm (x1 , x2 ) < δ, то dn (y1 , y2 ) < m nα · δ = ε, то есть y = A(x) равномерно непрерывно в Rm . В частности, любое линейное отображение L(x) пространства Rm в Rn равномерно непрерывно на Rm .При n = 1 заключаем, что любая линейная функция L(x) = a1 x1 + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
