Главная » Просмотр файлов » В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу

В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581), страница 16

Файл №1109581 В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу) 16 страницаВ.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581) страница 162019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Дано, что A =lim f k (x1 , . . . , xm ).E∋x→alim f (x). Согласно определению 2, для любого ε > 0 существуетE∋x→aδ > 0, что dn (f (x), A) < ε для всех x ∈ Df = E и 0 < dm (x, a) < δ. Так как f (x) = (f 1 (x), . . . , f n (x)), f k (x) =1f k (x1 , . . . , xm ), k = 1, n и A = (A1 , . . . , An ) и метрикаd1n (f (x), A) 6 dn (f (x), A) < ε для всех k dn 6k dn , то1x ∈ Df = Df k , k = 1, n, и 0 < dm (x, a) < δ, так что f (x) − A 6 dn |f (x); A| < ε для всех x ∈ Df k , k = 1, n, и0 < dm (x, a) < δ.Иными словами, Ak = lim f k (x), k = 1, n.E∋x→aДостаточность. Дано, что существуетlim f k (x) = Ak , k = 1, n.

Рассмотрим произвольное ε > 0. Со-E∋x→aгласно определению предела функции нескольких переменных по базе E ∋ x → a, существует δk > 0, k = 1, n,что kf (x) − Ak < ε(1)для всех x ∈ Df k = Df и 0 < dm (x, a) < δk , k = 1, n. Положим δ = min(δ1 , . . . , δn ), δ > 0. Для всех x ∈ Df =Df k , k = 1, n, и 0 < dm (x, a) < δ неравенство (1) справедливо для любого k, k = 1, n. Поэтому, d1n (f (x), A) < √εnдля всех x ∈ Df и√0 < dm (x, a) < δ.√√Так как dn 6 nd1n , то dn (f (x), A) 6 nd1n (f (x), A) < n · √εn = ε для всех x ∈ Df и 0 < dm (x, a) < δ, то естьA = lim f (x).

E∋x→a4.3.7.Непрерывные отображения из Rm в RnОпределение 3. Отображение f : E → Rn , E ⊂ Rm , E = Df , называется непрерывным в неизолированнойточке x0 ∈ E, если существует lim f (x) = A и A = f (x0 ).E∋x→x0Если множество E = Df — открытое в Rm , Df = G, и x0 ∈ G, то отображение f : G → Rn непрерывно в x0 ,если для произвольного ε > 0 существует такое δ > 0, что dn (f (x), f (x0 )) < ε для всех x, dm (x, x0 ) < δ(x ∈ G).54Теорема (критерий непрерывного отображения из Rm в Rn ). Отображение f из Rm в Rn непрерывноmв точке x0 = (x10 , .

. . , xmи 2) каждая функция f k (x) = f k (x1 , . . . , xm ), k = 1, n, где0 ) ⇔ 1) x0 ∈ Df ⊂ R1nf (x) = (f (x), . . . , f (x)), непрерывна в x0 . Прямое следствие теоремы пункта 3.6 и определения непрерывной функции, f k (x0 ) = lim f k (x), k =E∋x→x01, n. Рассмотрим функцию f (x) = f (x1 , . . . , xm ), определённую на открытом множестве G ⊂ Rm и некоторуюточку x0 = (x10 , . .

. , xm0 ) ∈ G. Функция f (x) называется непрерывной в x0 (f ∈ C(x0 )) ⇔ для произвольногоε > 0 существует δ > 0, что |f (x) − f (x0 )| < ε для всех x, dm (x, x0 ) < δ (x = (x1 , . . . , xm ) ∈ G).i+1imiФиксируем xk = xk0 , k = 1, m, k 6= i, i = 1, m. Тогда f (x10 , .

. . , xi−10 , x , x0 , . . . , x0 ) = ϕi (x ), i = 1, m.Утверждение. Если f ∈ C(x0 ), то каждая ϕi (xi ), i = 1, m, непрерывна в xi0 . Рассмотрим произвольное ε > 0, находим δ > 0 такое, что |f (x) − f (x0 )| < ε для всех x, dm (x, x0 ) < δ.i+1imВ частности, для x = (x10 , . .

. , xi−10 , x , x0 , . . . , x0 ), имеемvumuXdm (x, x0 ) = t (xk0 − xk0 )2 + (xi − xi0 )2 = xi − xi0 < δ,k=1а |f (x) − f (x0 )| = ϕi (xi ) − ϕi (xi0 ) < ε, то есть ϕi (xi ) непрерывна в xi0 , i = 1, m. Пример.xy, если (x, y) 6= (0, 0);2 + y2xf (x, y) =0, если (x, y) = (0, 0).f (x, 0) = 0, x ∈ R; f (0, y) = 0, y ∈ R.f (0, 0) = 0. Функции f (x, 0) и f (0, y) непрерывны соответственно в x = 0 и y = 0.

С другой стороны, пределlimf (x, y) не существует, так как(x,y)→(0,0)lim(x,0)→(0,0)f (x, y) = lim f (x, 0) = 0 = f (0, 0),limx→0(0,y)→(0,0)однакоlim(x,y)→(0,0)f (x, y) = lim f (0, y) = 0 = f (0; 0),y→011= 6= f (0, 0).x→0 22f (x, y) = lim f (x, x) = limx→0x6=0По определению, f ∈ C(x0 ), x0 ∈ G ⊂ Rm — открытое множество ⇔ для любого ε > 0 найдётся δ > 0 такое,что |f (x) − f (x0 )| < ε (или d1 (f (x), f (x0 )) < ε) для всех x ∈ G, dm (x, x0 ) < δ ⇔ для любой окрестности V точкиf (x0 ) в R1 существует окрестность U точки x0 в Rm , U ⊂ G, что образ f (U) ⊂ V.4.3.8.Непрерывные отображения открытых множеств метрических пространствРассмотрим произвольные метрические пространства (X; d) и (Y ; ρ) и множество G ⊂ X — открытое в(X; d), x0 ∈ G — произвольное.Определение 1.

Отображение f : G → Y называют непрерывным в x0 ∈ G, если для произвольного ε > 0существует δ > 0 такое, что ρ(f (x), f (x0 )) < ε для всех x ∈ G, d(x, x0 ) < δ.Определение 1’. Отображение f : G → Y называют непрерывным в x0 ∈ G, если для любой окрестности Vточки f (x0 ) в (Y, ρ) существует окрестность U точки x0 в (X; d), U ⊂ G, что образ f (U) ⊂ V.Теорема (критерий непрерывности отображения открытого множества). Отображение f : G → Yоткрытого множества G в (X; d) непрерывно в каждой точке множества G (то есть непрерывно на G) тогдаи только тогда, когда прообраз f −1 (V) любого открытого множества V в (Y, ρ) есть открытое множествов (X; d). Необходимость.

Дано, что f : G → Y непрерывно в каждой точке x0 ∈ G — открытого множества.Рассмотрим произвольное открытое V в (Y, ρ). Если f −1 (V) = ∅, то f −1 (V) — отображение в (X; d). Пустьf −1 (V) 6= ∅ и x0 ∈ f −1 (V). Тогда x0 ∈ G, и так как f (x0 ) ∈ V и V — открытое множество, то согласноопределению 1′ , существует шар U(x0 , r), что f (U(x0 ; r)) ⊂ V. Тогда U(x0 , r) = f −1 (f (U(x0 ; r)) ⊂ f −1 (V). Такимобразом, x0 входит в f −1 (V) вместе с некоторым своим открытым шаром, так что f −1 (V) — окрестность (каждой)своей точки x0 , то есть f −1 (V) — открытое.Достаточность.

Дано, что f −1 (V) каждого открытого множества V в (Y, ρ) есть открытое множество в(X; d). Рассмотрим произвольное x0 ∈ G и y0 = f (x0 ) ∈ Y . Рассмотрим произвольную окрестностьV точкиT f (x0 ) в (Y, ρ). Тогда f −1 (V) — открытое, x0 ∈ f −1 (V) и x0 ∈ f −1 (V) ∩TG. Множество f −1 (V) G — открытое(как пересечениеоткрытых множеств). Следовательно, U = f −1 (V) G — некоторая окрестность точки x0 иT−1f (f (V) G) ⊂ f (f −1 (V)) = V.

Согласно определению 1′ , отображение f непрерывно в точке x0 . 5514.3.9.Непрерывность композиции11Рассмотрим функции x = ϕ (t) = ϕ (t1 , t2 , . . . , tk ), . . . , xm = ϕm (t) = ϕm (t1 , . . . , tk ), где t = (t1 , . . . , tk ) ∈E ⊂ Rk , E ∗ — множество в Rk . Эти функции задают отображение x = ϕ(t), ϕ(t) = (ϕ1 (t), . . .

, ϕm (t)) множестваE ∗ в Rm . Обозначим образ ϕ(E ∗ ) = E — множество в Rm .Рассмотрим на E ⊂ Rm функцию f (x) = f (x1 , . . . , xm ) и её композицию (f ◦ ϕ)(t) = F (t) = F (t1 , . . . , tk ).Теорема (о непрерывности сложной функции). Если отображение x = ϕ(t) непрерывно на множествеE ∗ , а функция f (x) непрерывна на E = ϕ(E ∗ ), то сложная функция F (t) = (f ◦ ϕ)(t) непрерывна на E ∗ .

Рассмотрим произвольную точку t0 ∈ E ∗ и произвольную последовательность (tn ) точек tn ∈ E ∗ такую,что lim tn = t0 (t0 = (t10 , . . . , tk0 ), tn = (t1n , . . . , tkn ), n ∈ N). Так как отображение x = ϕ(t) непрерывно в t0 , то∗n→∞каждая функция ϕj (t) = ϕj (t1 , . . . , tk ), j = 1, m непрерывна в t0 , следовательно, lim ϕj (tn ) = ϕj (t0 ), j = 1, m.n→∞1mjjТаким образом, если xn = ϕ(tn ) = (x1n , . . . , xmn ) = (ϕ (tn ), .

. . , ϕ (tn )), то lim xn = lim ϕ (tn ) = ϕ (t0 ) =n→∞n→∞xj0 , j = 1, m, и x0 = (x10 , . . . , xn0 ) ∈ E. Так как функция f (x) непрерывна в x0 ∈ E, то f (x0 ) = lim f (xn ), гдеn→∞xn = (x1n , . . . , xmn ). Поэтому lim F (tn ) = lim (f ◦ϕ)(tn ) = lim f (ϕ(tn )) = lim f (xn ) = f (x0 ) = (f ◦ϕ)(t0 ) = F (t0 )n→∞n→∞n→∞n→∞для любой последовательности (tn ) точек tn ∈ E ∗ , lim tn = t0 . Согласно критерию, F непрерывна в t0 ∈ E ∗ .

n→∞Рассмотрим отображение f множества E = ϕ(E ∗ ) ⊂ Rm в Rn , то есть f (x) = (f 1 (x), . . . , f n (x)), гдеf j (x) = f j (x1 , . . . , xm ), j = 1, n, x = (x1 , . . . , xm ) ∈ E ⊂ Rm .Теорема. Если отображение x = ϕ(t) непрерывно на множестве E ∗ , и отображение f множества E =ϕ(E ∗ ) ⊂ Rm в пространство Rn непрерывно на множестве E, то их композиция f ограничена, являющаясяотображением множества E ∗ ⊂ Rk в пространство Rn , непрерывна на множестве E ∗ ⊂ Rk . Отображение (f ◦ ϕ)(t), t ∈ E ∗ , имеет компоненты (f ◦ ϕ)(t) = (F 1 (t), . .

. , F k (t)), гдеF j (t) = F j (ϕ1 (t), . . . , ϕk (t)), j = 1, n, t = (t1 , . . . , tk ).Согласно предыдущей теореме, каждая функция F j (t), j = 1, n непрерывна на E ∗ . Таким образом, непрерывнои отображение (f ◦ ϕ)(t) на E ∗ . 4.3.10.Равномерно непрерывные отображения из Rm в RnОпределение. Отображение f (x) из Rm в Rn называется равномерно непрерывным на множестве E ⊂ Rm ,если E ⊂ Df и для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что dn (f (x′ ), f (x′′ )) < ε для всех x′ , x′′ ∈ E, длякоторых dm (x′ , x′′ ) < δ.Теорема. Всякое равномерно непрерывное отображение множества непрерывно в каждой точке множества.

Фиксируем произвольное x0 ∈ E. Согласно определению, для любого ε > 0 существует δ > 0, чтоdn (f (x), f (x0 )) < ε для всех x ∈ E, dn (f (x), f (x0 )) < ε для всех x ∈ E, dm (x, x0 ) < δ, то есть f непрерывна вx0 ∈ E. Аффинное отображение A(x) = y пространства Rm в Rn , m > 1, n > 1 задаётся матрицей A = aji , i =1, m, j = 1, n и вектором b = (b1 , . . .

, bn ) ∈ Rn , так что для любого x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Rm его образ y = A(x), y =mP(y 1 , . . . , y n ) ∈ Rn и y j =aji xi + bj , j = 1, n.В матричной формеi=1  1y1a1 ..   .. . = .ynan1a12...an2  1   1. . . a1mxb..  ·  ..  +  .. ....   .  .. . . anmxmbnТаким образом, y = A(x) = L(x) + b, где L(x) — линейное отображение из Rm в Rn , задаваемое матрицей A.Утверждение. Любое аффинное отображение A(x) равномерно непрерывно на Rm .1m Рассмотрим произвольные точки x1 = (x11 , x21 , . . . , xm1 ), x2 = (x2 , . .

. , x2 ) и y1 = A(x1 ), y2 = A(x2 ).Тогда y2 − y1 = L(x2 ) + b − L(x1 ) − b = L(x2 ) − L(x1 ) = L(x2 − x1 ). Если y1 = (y11 , . . . , y1n ), y2 = (y21 , . . . , y2n ), то mP y2j − y1j =aji (xi2 − xj1 ), j = 1, m. Обозначим α = max aji > 0.i=1i,j56Если dm (x1 , x2 ) < r, то xi2 − xi1 6 dm (x1 , x2 ) < r, i = 1, m, и y2j − y1j 6 m · d · r, j = 1, n, так что√√dn (y1 , y2 ) 6 n · max y2j − y1j < m · n · d · r. Рассмотрим произвольное ε > 0 и положим δ = m√εn·d > 0, δ = δ(ε).j√Тогда, если dm (x1 , x2 ) < δ, то dn (y1 , y2 ) < m nα · δ = ε, то есть y = A(x) равномерно непрерывно в Rm . В частности, любое линейное отображение L(x) пространства Rm в Rn равномерно непрерывно на Rm .При n = 1 заключаем, что любая линейная функция L(x) = a1 x1 + .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
776,2 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее