В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581), страница 12
Текст из файла (страница 12)
′d(T )→0Следствие. Если g ∈ R[a, b], тоRbaax dg(x) = bg(b) − ag(x) −Rbg(x) dx.a3.5.6. Вычисление интеграла СтилтьесаТеорема. Если g имеет на [a, b] ограниченную производную g ′ ∈ R[a, b], то для любой функции f ∈ C[a, b],справедливоZbZbf (x) dg(x) = f (x)g ′ (x) dx.(10)a′a′ Так как g ∈ R[a, b], то g — ограничена на [a, b], и, следовательно, g удовлетворяет условию Липшицана [a, b] и g имеет ограниченную вариацию на [a, b], следовательно, интегралы в формуле (10) существуют.Так как g ′ ∈ R[a, b], то ∃ M > 0 : |g ′ (x)| 6 M, x ∈ [a, b].
Рассмотрим произвольное размеченное разбиениеTζ [a, b] точками a = x0 < · · · < xn = b и набор ζ = {ζ1 , . . . , ζn }, ζk ∈ ∆k = [xk−1 , xk ], |∆k | = ∆xk = xk − xk−1 , k =1, n. Тогда, с учётом теоремы Лагранжа о конечных приращениях, имеемσ(f ; g; Tζ ) =nXk=1f (ζk )[g(xk ) − g(xk−1 )] =nXf (ζk ) · g ′ (ck )(xk − xk−1 ) =k=1nX=f (ζk )g ′ (ck )∆xk +k=1nXk=1g ′ (ck )[f (ck ) − f (ck )]∆xk = σ(f ; g; Tζ ), (1)где ζk , ck ∈ ∆k .Рассмотрим Tc [a, b] : a = x0 < · · · < xn = b и c = {c1 , . .
. cn } , ck ∈ ∆k , k = 1, n. ТогдаnXf (ck )g ′ (ck )∆xk = σ(f g ′ ; Tc ),k=1′и так как произведение f g ∈ R[a, b], тоlimd(T )→0nX′′f (ck )g (ck )∆xk = lim σ(f g ; Tζ ) =d(T )→0k=1Zbf (x)g ′ (x) dx.Оценка второй суммы в правой части (1) даёт неравенство: nnnX XXg ′ (ck )[f (ζk ) − f (ck )]∆xk 6|g ′ (ck )| [f (ζk ) − f (ck )]∆xk 6 Mω(f ; ∆k )∆k .k=1Так как f ∈ R[a, b],k=1limnPd(T )→0 k=1(2)a(3)k=1ω(f ; ∆k )∆xk = 0, следовательно, с учётом (3), получаем, чтоlimd(T )→0nXk=1g ′ (ck )[f (ζk ) − f (ck )]∆xk = 0.42(4)На основании (1), (2) и (4), заключаем существованиеlim σ(f ; g; Tζ ) =d(T )→0af (x) dg(x) = f (b)g(b) − f (a)g(a) −f (x)g ′ (x) dx =aСледствие. Если g ∈ R[a, b], f имеет f ′ ∈ R[a, b], тоZbRbZbg(x)f ′ (x) dx.Rbf (x) dg(x). a(5)a Так как f ′ ∈ R[a, b], то f ′ ограничена на [a, b] некоторым числом M > 0, |f ′ (x)| 6 M, x ∈ [a, b], и,следовательно, f удовлетворяет условию Липшица с L = M , и, следовательно, f имеет ограниченную вариациюRbна [a, b], так что существует g(x) df (x).aПо свойству интегрирования по частям, существуетZbaf (x) dg(x) = f (b)g(b) − f (a)g(a) −Zbag(x) df (x) = f (b)g(b) − f (a)g(a) −43Zbag(x)f ′ (x) dx (по предыдущей теореме).Часть 4.Многомерныйанализ4.
Непрерывные отображения несколькихдействительных переменных4.1. Многомерное евклидово пространство4.1.1.Векторное пространство в RmСимвол Rm = R × R × . . . × R (m экземпляров множества R действительных чисел, где m ∈ N — фиксиро|{z}m развано).Множество Rm состоит из всех упорядоченных m–наборов (x1 , x2 , . . .
, xm ) чисел xi ∈ R, i = 1, m. Элементы1(x , . . . , xm ) множества Rm принято называть точками, а числа x1 , . . . , xm — соответственно первой, второй, . . .,m–ой координатами точки (x1 , x2 , . . . , xm ). Точки в Rm часто будем обозначать одной буквой: в аналитическихрассмотрениях строчной буквой — x = (x1 , . . . , xm ); в геометрических рассмотрениях прописной — M или суказанием координат M (x1 , . . .
, xm ). При m = 1, 2, 3 и иногда 4 индексация не применяется: для R1 = R обычназапись точки одной буквой; для R2 = R × R запись вида (x, y); для R3 — (x, y, z); для R4 — (x, y, z, t).R2 отождествляем с координатной плоскостью, R3 отождествляем с координатным пространством.Но Rm есть не только множество. Оно наделяется некоторыми математическими операциями, а именно:1. в Rm вводится операция покоординатного сложения;2. в Rm вводится умножение на действительные числа (называемые скалярами).По определению полагают(x1 , x2 , . . . , xm ) + (y 1 , y 2 , . . . , y m ) := (x1 + y 1 , .
. . , xm + y m ),λ · (x1 , x2 , . . . , xm ) := (λx1 , . . . , λxm ), λ ∈ R.(1)Формула (1) превращает Rm в линейное пространство.Итак, Rm , m > 1 — векторное пространство над R (или действительные векторные пространства). В векторном пространстве Rm с нулём 0 = (0, . . . , 0) имеется стандартный базис, образованный векторами e1 =(1, 0, . .
. , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , em = (0, 0, . . . , 1), в котором для любой точки x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Rm справедливо представление: x = x1 e1 + x2 e2 + . . . + xn en =: xi ei и это представление единственно. Так как Rm — m–мерноевекторное пространство, отметим также, что элементы пространства Rm будем называть как точками, так ивекторами.Замечание. Запись x = xi ei , в которой индексы у координат верхние, а у векторов — нижние, подразумеваетсуммирование по повторяющемуся индексу (тензорная запись, придуманная Эйнштейном).Поскольку в R2 и R3 точки с координатами (x, y) [(x, y, z)] можно называть радиус-векторами, то возникаетпонятие векторного пространства.4.1.2.Скалярное произведениеОпределение 1.
Скалярным произведением в действительном векторном пространстве X называют функцию, относящую каждой упорядоченной паре векторов (u, v) из X действительное число. Обозначим его hu, viтак, что выполнены следующие условия (аксиомы скалярного произведения):1.2.3.4.hx + y, zi = hx, zi + hy, zi для всех (x, y, z) ∈ X 3 ;hλx, zi = λ hx, zi для всех (x, y, λ) ∈ X 2 × R;hx, yi = hy, xi для всех (x, y) ∈ X 2 ;если x ∈ X и x 6= 0, то hx, xi > 0.Первое условие распространяется по индукции на любые конечные суммы:hx1 + x2 + . .
. + xk , zi = hx1 , zi + hx2 , zi + . . . + hxk , zi , k ∈ N.Из первого и второго условия следует линейность скалярного произведения по первому множителю при каждом фиксированном значении второго: hλ1 x1 + . . . + λk xk , yi = λ1 hx1 , yi + . . . + λk hxk , yi , k ∈ N, (x1 , . . . , xk , y) ∈X k+1 , (λ1 , . . . , λk ) ∈ Rk .В соединении с третьим условием последнее влечёт линейность скалярного произведения по второму множителю при каждом фиксированном значении первого.
Таким образом, скалярное произведение hu, vi — билинейная форма.44Беря во втором условии λ = 0 получим, что h0, zi = 0 ∀z ∈ X, что влечёт hz, 0i = 0 для всех z ∈ X;в частности, h0, 0i = 0. Таким образом, четвёртое условие означает, что hx, xi > 0 для всех x ∈ X, причёмhx, xi = 0 тогда и только тогда, когда x = 0.Легко проверяется, что формулаmXhx, yi =xi y i(2)i=11определяет скалярное произведение векторов (x , . .
. , x ) и (y 1 , . . . , y m ). Условие (3) очевидно выполнено.Проверим условие (1): x = (x1 , . . . , xm ), y = (y 1 , . . . , y m ), z = (z 1 , . . . , z m ).x + y = (x1 + y 1 , . . . , xm + y m ).mmmPPPy i z i = hx, zi + hy, zi.hx + y, zi =(xi + y i )z i =xi z i +i=1mi=1i=1Условие (2) проверяется аналогично.Проверим условие (4): если x ∈ Rm и x 6= 0, то x = (x1 , .
. . , xm ) и xj 6= 0 для некоторого j, 1 6 j 6 m, тогдаmPhx, xi =xi xi = (x1 )2 + (x2 )2 + . . . + (xm )2 > (xj )2 > 0. i=1На самом деле, в Rn существует бесконечное множество скалярных произведений: hx, yi =mPρi xi y i , где всеi=1ρi > 0, i = 1, m, поэтому скалярное произведение, определяемое формулой (2) называют стандартным скалярным произведением в Rm (евклидовым скалярным произведением) и Rm становится евклидовым векторнымпространством.4.1.3.Неравенство Коши – БуняковскогоТеорема. Скалярное произведение hx, yi в действительном векторном пространстве X удовлетворяетнеравенству2hx, yi 6 hx, xi · hy, yi .(3)Для произвольного числа λ ∈ R hλx − y, λx − yi > 0.
Следовательно,λ2 hx, xi − 2λ hx, yi + hy, yi > 0.hx,yihx,xi(4)2− hx,yihx,xiнеравенство имеет вид:+ hy, yi > 0, откуда следует (3).Если x 6= 0, то hx, xi =6 0(> 0) и для λ =Если x = 0, то hx, xi = 0 и hx, yi = 0 для любого y ∈ X, следовательно, (3) превращается в равенство. Замечание. Знак равенства в (3) справедлив тогда и только тогда, когда векторы x и y линейно зависимы. Необходимость. Если x = 0, то доказано равенство (3) для любого y.hx,yiЕсли x 6= 0, то hx, xi =6 0 и y = λx, так что hx, yi = λ · hx, xi и λ = hx,xi.Далее, hy, yi = λ hx, yi =hx,yi2hx,xi ,итак hy, yi =2hx,yi2hx,xi ,то есть (3) — равенство.Достаточность. Обратно, пусть hx, yi = hx, xi · hy, yi.
Если x 6= 0, то hx, xi =6 0 и для λ =ние (4) имеет вид22222hx, yihx, yihx, yihx, yihx, yi−2+ hy, yi =−2+= 0,hx, xihx, xihx, xihx, xihx, xihx,yihx,xiсоотноше-то есть hλx − y, λx − yi = 0, откуда λx − y = 0, y = λx. При x = 0 линейная зависимость очевидна.
1◦ X = Rm , m > 1 и x = (x1 , . . . , xm ), y = (y 1 , . . . , y m ) ∈ Rm и hx, yi =hy, yi =mP(y i )2 и (3) имеет видmPi=1xi y i . Тогда hx, xi =mP(xi )2 ,i=1i=1mXi=1i ixy!26mXi=1(xi )2mX(y i )2 — неравенство Коши.i=12◦ X = C[a, b], a < b — пространство относительно операции сложения и умножения на λ.45(3a )Покажем, что для любых функций x, y ∈ C[a, b] формулаhx, yi :=Zbx(t)y(t) dtaзадаёт скалярное произведение в X = C[a, b].Скалярное произведение удовлетворяет следующим аксиомам:RbRbRb1.
hx + y, zi = (x(t) + y(t))z(t) dt = x(t)z(t) dt + y(t)z(t) dt = hx, zi + hy, zi.a2. hλx, zi =3. hx, yi =RbaRbaaλx(t)z(t) dt = λ hx, zi.x(t)y(t) dt =aRby(t)x(t) dt = hy, xi.aЗаметим, что нулевым вектором в пространстве X = C[a, b] служит функция ϕ(t) = 0, t ∈ [a, b]. Пусть теперьx ∈ C[a, b] и x 6= 0, то есть функция x(t) непрерывна на [a, b] и ∃ t0 ∈ [a, b], в котором x(t0 ) 6= 0. Предположимсначала, что t0 ∈ (a, b), a < t0 < b. Согласно теореме о сохранении знака, ∃ δ > 0 : x(t) 6= 0 ∀t ∈ [t0 − δ, t0 + δ] ⊂t0R−δt0R+δt0R+δRbRb 2x2 (t) dt +[a, b]. Тогда hx, xi = x2 (t) dt =x2 (t) dt +x (t) dt >x2 (t) dt = x2 (ξ)2δ > 0,aat0 −δt0 +δt0 −δтак как ξ ∈ [t0 − δ, t0 + δ].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
