В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной формеПусть f определена на невырожденном промежутке I и имеет в I производную (непрерывную) до порядкаn + 1, n ∈ N включительно и x, a ∈ I; согласно (6’)f (x) − f (a) =Zxaf ′ (t) dt = −′= − (f (t)(x −Zxf ′ (t)(x − t)′ dt =axt))|a+Zxa1f (t)(x − t) dt = f (a)(x − a) −2′′′Zxaf ′′ (t)((x − t)2 )′ dt =xZxf (a)1 ′′12 =(x − a) + − f (t)(x − t) +f ′′′ (t)(x − t)2 dt =1!22!a′a=′′′f (a)f (a)1(x − a) +(x − a)2 −1!2!2·3f ′ (a)f ′′ (a)=(x − a) +(x − a)2 +1!2!==Zxf ′′′ (t)((x − t)3 )′ dt =axZx11 ′′3 f (t)(x − t) +f (4) (t)(x − t)3 dt =3!3!af ′ (a)f ′′ (a)f ′′′ (a)1(x − a) +(x − a)2 +(x − a)3 +1!2!3!3!′′′f (a)1f (a)(x − a) +(x − a)2 + · · · +1!2!n!Итак,Zxaf (4) (t)(x − t)3 dt =f (n+1) (t)(x − t)n dt.aZnXf (k) (a)1(x − a)k +f (n+1) (t)(x − t)n dt.k!n!xf (x) = f (a) +k=1Так как faZx(n+1)a∈ C(I), то по первой теореме о среднем значении1rn (x, f, a) =n!Zxfa(n+1)1(t)(x − t) dt = f (n+1) (ζ)n!nZxa(x − t)n dt =f (n+1) (ζ)(x − a)n+1 ,(n + 1)!гдеζ = a + θ(x − a), 0 < θ < 1.2.4.7.
Вторая теорема о среднем значенииТеорема. Если f ∈ R[a, b], g — монотонна на [a, b], тоZbf (x)g(x) dx = g(a)aZξf (x) dx + g(b)aZb(∗)f (x) dx, ξ ∈ [a, b].ξ Так как g монотонна на [a, b], то g ∈ R[a, b] и, следовательно, существуют все три интеграла в (*), аg ∈ D([a, b]) и g ′ ∈ R[a, b]. Тогда g ′ сохраняет знак на (a, b). Так как, по предположению, f ∈ C[a, b], то функцияF (x), такая, чтоZxF (x) = f (t) dt, x ∈ [a, b], F (a) = 0,a′также непрерывна на [a, b] и F (x) = f (x), x ∈ (a, b). Кроме того, по предположению, g ′ ∈ R[a, b] и g ′ сохраняетзнак в (a, b), так как по условию g — монотонная функция.По первой теореме о среднем значении для интеграла,Zba′F (x)g (x) dx = F (ξ)Zba′g (x) dx = F (ξ)[g(b) − g(a)] = [g(b) − g(a)]25Zξaf (t) dt.(1)На основании (1) и свойства аддитивности интеграла, имеемZbf (x)g(x) dx =aZb′g(x)F (x) dx =b[g(x)F (x)]aa= g(b)F (b) − f (a)F (a) − (g(b) − g(a))= g(a)Zξa−ZξaZbF (x)g ′ (x) dx =af (x) dx = g(b) F (b) −f (x) dx + g(b) Zbaf (x) dx −ZξaZξaf (x) dx + g(a)f (x) dx = g(a)ZξZξf (x) dx =af (x) dx + g(b)aZbf (x) dx.ξ2.4.8.
Формула суммирования Эйлера–Маклорена (слабая версия)Известно, что [x] удовлетворяет неравенствам [x] 6 x < [x] + 1, x ∈ R и x − [x] = {x}.Рассмотрим функцию ρ(x) = 12 − {x}, x ∈ R.Функция ρ(x) имеет разрывы только в x ∈ Z и ∀x ∈/ Z ∃ ρ′ (x) = −1. Если k ∈ Z, тоlim ρ(x) =x→k+012lim ρ(x) = − 21 ,x→k−0= ρ(k), то есть функция ρ(x) непрерывна справа ∀k ∈ Z.На произвольном [a, b], a < b рассмотрим произвольную (функцию f и образуем F (x) по формуле F (x) =Px > a,f (k).
Доопределим F (a) = 0, тогда x ∈ [a, b]. Для всехсправедливо F (x) = F (a) = 0.x < [a] + 1a6k6xДля x = [a] + 1 = k0 − 1 ∈ Z : F (k0 − 1) = f (k0 − 1) и F (x) = F (k0 − 1) = f (k0 − 1)∀x ∈ [k0 − 1, k0 ). В точкеx = k0 F (x) = F (k0 − 1) + f (k0 ) = F (k0 ). Для всех x ∈ [k0 , k0 + 1) F (x) = F (k0 ).Итак, F (x) = F (k − 1)∀x ∈ [k − 1, k); F (k) = F (k − 1) + f (k) и F (x) = F (k)∀x ∈ [k, k + 1), k ∈ Z.Для произвольного k ∈ [a, b] ∩ Z справедливо lim F (x) = F (k − 1), lim F (x) = F (k) = F (k − 1) + f (k).x→k−0x→k+0Для всех x ∈ (a, b) r Z существует F ′ (x) = 0.Теорема. Если функция f имеет f ′ ∈ R[a, b], тоXa<k6bf (k) =Zbf (x) dx + ρ(b)f (b) − ρ(a)f (a) −aZbρ(x)f ′ (x) dx.(1)a Рассмотрим функцию Φ(x) = F (x) − ρ(x)f (x), x ∈ [a, b]. Если x ∈ (a, b) r Z, то Φ′ (x) = F ′ (x) − ρ′ (x)f (x) −f (x)ρ(x) = f (x) − ρ(x)f ′ (x).
И Φ′ не существует ∀x ∈ (a, b) ∩ Z, которые образуют конечное множество.Функция Φ(x) может иметь разрывы только в x ∈ [a, b] ∩ Z. Пусть k ∈ (a, b) ∩ Z.′1lim Φ(x) = lim F (x) − lim ρ(x)f (x) = F (k − 1) + f (k);x→k−0x→k−02(2)11lim Φ(x) = lim F (x) − lim ρ(x)f (x) = F (k − 1) + f (k) − f (k) = F (k − 1) + f (k).x→k+0x→k+022(3)x→k−0x→k+01lim Φ(x) = lim Φ(x) = F (k − 1) + f (k),x→k+0211Φ(x) = F (x) − ρ(x)f (x), Φ(k) = F (k) − ρ(k)f (k) = F (k − 1) + f (k) − f (k) = F (k − 1) + f (k).22Итак, lim Φ(x) = lim Φ(x) = Φ(k). Если x = k ∈ Z, то, согласно (2), функция Φ(x) непрерывна справа вx→k−0x→k−0x→k+0точке x = k.Если a ∈ Z, то, по определению, F (x) = 0, x ∈ [a, [x] + 1], F (a) = 0.
Таким образом, lim F (x) = 0 = F (a).x→a+0lim Φ(x) = lim F (x) − lim ρ(x)f (x) = 0 − 12 f (a) = − 12 f (a) = Φ(a)x→a+0x→a+0x→a+0Φ(a) = F (a) − ρ(a)f (a) = 0 − 12 f (a) = − 21 f (a) .Итак, Φ(x) непрерывна на [a, b] и Φ′ (x) = f (x) − ρ(x)f ′ (x) на [a, b] с конечным исключительным множеством.Согласно формуле Ньютона-Лейбница,Zba[f (x) − ρ(x)f ′ (x)] dx = Φ(b) − Φ(a) = F (b) − ρ(b)f (b) − F (a) + ρ(a)f (a) =26Xa<k6bf (k) − ρ(b)f (b) + ρ(a)f (a) ⇔ (1)согласно свойству линейности интеграла. 2.5. Функции ограниченной вариации2.5.1.
Определение и обозначениеРассмотрим произвольную функцию f на [a, b], произвольное разбиение T отрезка [a, b] точками a = x0 <x1 < · · · < xn = b и числоn_X(f, T ) =|f (xk ) − f (xk−1 )| > 0.k=1Обозначим P0 — множество всех разбиений отрезка [a, b].Определение1. Функция f называется функцией ограниченной вариации (изменения) на [a, b], еслиW∃ sup { (f, T ) | T ∈ P0 } < +∞ и неограниченной вариации — в противном случае.bWWЧисло f = sup { (f, T ) | T ∈ P0 } называется полной вариацией функции f на [a, b].a2.5.2.
Лемма 1Лемма 2.6. Если функция f возрастает на [a, b], то она имеет ограниченную вариацию на [a, b] иbWf =af (b) − f (a). Для любого разбиения T , a = x0 < x1 < · · · < xn = b справедливоnn_XX(f, T ) =|f (xk ) − f (xk−1 )| =(f (xk ) − f (xk−1 )) = f (x1 ) − f (x0 ) + f (x2 ) − f (x1 ) + · · · + f (xn ) − f (xn−1 ).k=1k=1bWWИтак, { (f, T ) | T ∈ P0 } = {f (b) − f (a)} и, следовательно, f = f (b) − f (a). a2.5.3. Лемма 2Лемма 2.7. Если функции f и g возрастают на [a, b], то их разность h = f − g имеет ограниченнуювариацию на [a, b]. Для произвольного разбиения T : a = x0 < · · · < xn = b справедливоnnn_XXX(h, T ) =|h(xk ) − h(xk−1 )| =|f (xk ) − g(xk ) − f (xk−1 ) + g(xk−1 )| 6|f (xk ) − f (xk−1 )| +k=1k=1k=1+nXk=1bb____|g(xk ) − g(xk−1 )| = (f, T ) + (g, T ) 6f + g.WТаким образом, { (h; T ) | T ∈ P0 } ограничена сверху числом2.5.4.
Лемма 3abWf+abWag, так чтоbWah6bWaf+bWag. aЛемма 2.8. Если функция f имеет ограниченную вариацию на [a, b], то ∀c; a < c < b, функция f имеетcbWWограниченную вариацию на [a, c] и f 6 f − |f (b) − f (c)|.aa Для любого T , a = x0 < · · · < xn−1 = c отрезка [a, c] рассмотрим разбиение Te отрезка [a, b], получившегося из T добавлением точки xn = b. Тогдаnn−1b_XX__(f, Te) =|f (xk ) − f (xk−1 )| =|f (xk ) − f (xk−1 )| + |f (xn ) − f (xn−1 )| = (f, T ) + |f (b) − f (c)| 6f.k=1ak=1bWWТаким образом, { (f, T ) | T ∈ P0 } ограничено сверху числом f − |f (b) − f (c)|, так чтоac_af6b_af − |f (b) − f (c)| .272.5.5. Леммы 4, 5xWСогласно лемме 3, ∀x, a 6 x 6 b определена функция P (x) = f > 0. Положим P (a) = 0.aЛемма 2.9.
Функция P (x) возрастает на [a, b]. Рассмотрим произвольные a 6 x1 < x2 6 b. Согласно лемме 3,P (x1 ) =x1_f6ax2_af − |f (x2 ) − f (x1 )| 6x2_f = P (x2 ).aЛемма 2.10. Функция N (x) = P (x) − f (x) возрастает на [a, b]. Согласно леммам 3 и 4,N (x2 ) − N (x1 ) = P (x2 ) − P (x1 ) − [f (x2 ) − f (x1 )] > |f (x2 ) − f (x1 )| − [f (x2 ) − f (x1 )] > 0.2.5.6. Основная теоремаТеорема.
Для того, чтобы функция f была ограниченной вариации на [a, b], необходимо и достаточно,чтобы f представлялась в виде возрастающих на [a, b] функций. Прямое следствие леммы 1 (достаточность) и лемм 4, 5. 2.5.7. ПримерыТеорема. Всякая функция, удовлетворяющая условиям Липшица на отрезке, имеет на этом отрезкеограниченную вариацию. Пусть функция f определена на [a, b] и ∃ M > 0, что |f (x′ ) − f (x′′ )| 6 M |x′ − x′′ | ∀x′ , x′′ ∈ [a, b]. тогда∀T , a = x0 < x1 < · · · < xn = b справедливоnnn_XXX(f ; T ) =|f (xk ) − f (xk−1 )| 6 M|xk − xk−1 | = M(xk − xk−1 ) = M (b − a).k=1k=1k=12.6.
Приложение к определённому интегралу2.6.1. Площадь криволинейной трапецииРассмотрим f ∈ R[a, b], a < b и f (x) > 0, x ∈ [a, b]. На Π : Oxy фигура, ограниченная графиком Γf , y =f (x), Ox, x = a, x = b — криволинейная трапеция (подграфик f на [a, b]).Рассмотрим произвольное T [a, b] : a = x0 < · · · < xn = b и ∆k = [xk−1 , xk ], k = 1, n. Для любых k =1, n ∃ mk = inf f и Mk = sup f : 0 < mk 6 Mk . Число mk · ∆xk равно площади Rk , где Rk — прямоугольник с∆k∆kоснованием ∆k , высотой mk , вписанным в подграфик функции f на ∆k .nSR′ (T ) =Rk′ — ступенчатая прямоугольная фигура, вписанная в подграфик f на [a, b].k=1Площадь R′ (T ) =nPmk ∆xk = s(f ; T ).k=1Аналогично, число Mk ∆xk равно площади Rk′′ — прямоугольника с основанием ∆xk и высотой Mk , котораяописывает подграфик f на ∆k .nSR′′ (T ) =Rk′′ — ступенчатая прямоугольная фигура, описанная подграфиком f на [a, b].k=1Площадь R′′ (T ) =′nPk=1Mk · ∆xk = S(f ; T ).Если T получено из T добавлением конечного множества точек (условно, T ′ > T ), то, по свойству монотонности суммы Дарбу, s(f, T ′ ) > s(f, T ), а S(f, T ′ ) 6 S(f, T ).
Так как f ∈ R[a, b], то для ∀ε > 0 ∃ Tε : S(f, T )−s(f, T ) <ε для всех T > Tε . По теореме Дарбу,lim s(f, T ) = lim S(f, T ) =d(T )→0d(T )→0Zbf (x) dx = I = площади подграфика Πf .aR(T ) = R′′ (T ) r R′ (T ), площадь R(T ) = площади R′′ (T ) − площадь R′ (T ) = S(f, T ) − s(f, T ) < ε.282.6.2. Плоские кривыеОпределение 1.
Плоская кривая Z — график функции, заданной параметрически(x = ϕ(t),y = ψ(t).t ∈ [α, β], α < β и ϕ(t) и ψ(t) ∈ C[α, β].∀t ∈ [α, β], соответственно, P (ϕ(t), ψ(t)) ∈ Z.Точка P ∈ Z — двойная точка, если ∃ t1 , t2 ∈ [α, β], t1 6= t2 и ϕ(t1 ) = ϕ(t2 ) и ψ(t1 ) = ψ(t2 ).Определение 2. Простая кривая (Жорданова) Z — если она не содержит двойных точек, за возможнымисключением значений t = α и t = β.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
