В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Неопределённый интеграл′F (x) = f (x) ⇔ dF (x) = f (x) dxОпределение 3. Пусть функция f имеет на ha, bi точную первообразную функцию F . Произвольную функцию {F + c | c ∈ R} из множества (1) назовёмR неопределенным интегралом функции f (x) дифференциальнойформы f (x) dx на ha, bi и обозначим символом f (x) dx. f — подинтегральная форма, f (x) dx - подынтегральноевыражение.Таким образом, согласно определению 3 и следствию к теореме 1,Zf (x) dx = F (x) + c, x ∈ ha, bi ,(2)где c — произвольная постоянная.ПримерыR dx1.
√1−x2 = arcsin x + c, x ∈ [−1, 1]R2. Если k — Rчисло, то k dx = kx + c, x ∈ R3. k = 1, то R 1 dx = x + c, x ∈ R4. k = 0, то 0 dx = c.RТеорема 1.2. Если функция f имеет f (x) dx на ha, bi, тоZ′Zf (x) dx = f (x), d f (x) dx = f (x) dx,ZdF (x) = F (x) + c,x ∈ (a, b)(3)x ∈ ha, bi .Согласно (2),Z′f (x) dx = (F (x) + c)′ = F ′ (x) = f (x),иdZf (x) dx =Так как F — точная первообразная функция F ′ (x) dx, то, согласно (2),RZ′f (x) dx dx = f (x) dx.dF (x) = F (x) + c, где c ∈ ha, bi. 1.1.5. Линейные операции над неопределёнными интеграламиПредложение 1.3.
Пусть k — число, k 6= 0. Функция f имеет точную первообразную на ha, bi, если итолько если её имеет функция kf , причём тогдаZZkf (x) dx = k f (x) dx(4) Функция F — точная первообразная функция f на ha, bi, если и только если kF — точная первообразная функция для kf на Rha, bi (в силу свойства монотонности непрерывныхфункций и операции дифференциRрования).
Согласно (2), kf (x) dx = kF (x) + c = k(F (x) + kc ) = k f (x) dx, т.к. kc — такая же произвольнаяпостоянная, как и c. RRRЗамечание. Условие k 6= 0 — важное, т.к. 0f (x) dx = c, но 0 · f (x) dx = 0 (если ∃ f (x) dx).Предложение 1.4. Если f и g имеют точные первообразные на ha, bi, то это же верно и для f +g, причёмZZZ(f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx, x ∈ ha, bi(5) Пусть F и G — точные первообразные функции для f и g на ha, bi соответственно. Тогда F и G непрерывны на ha, bi.
F ′ (x) = f (x), G′ (x) = g(x), x ∈ (a, b). Тогда F (x) + G(x) непрерывна на ha, bi и (F (x) + G(x))′ =f (x) + g(x), x ∈ (a, b), т.е. F + G — точная первообразная функция для f + g на ha, bi. Согласно (2),Z(f (x) + g(x)) dx = F (x) + G(x) + c, x ∈ ha, bi(6)Rf (x) dx = F (x) + c1 и g(x) dx = G(x) + c2 , x ∈ ha, bi , c1 , c2 — произвольныеZf (x) dx + g(x) dx = F (x) + G(x) + c1 + c2 , x ∈ ha, bi ,(7)С другой стороны, согласно (2),постоянные. ПоэтомуZR7так как c1 + c2 — такая же произвольная постоянная, как и c (R + R = R). Таким образом, из (6) и (7) следуетформула (5). ZdF (x) = F (x) + c(2′ )1.1.6.
Таблица интегралов1.Zk dx = kx + c,2.Т.к. d3.xα+1α+1ZZxα dx =0 dx = c, x ∈ Rxα+1+cα+1= xα dx, то согласно (2′ ) справедливо 2. Z4.Z5.dx=xax dx =ZZ(ln x + c1 ,x > 0;ln(−x) + c2 , x < 0.ax+ c, 0 < a 6= 1, x ∈ Rln aex dx = ex + c, x ∈ Rcos x dx = sin x + c,x ∈ R,в силу равенства d(sin x) = cos dx и формулы (2′ ).6.Zтак как d(− cos x) = sin dx.7.Z8.10.dx= tg x + ck ,cos2 xZ9.RZdx1+x2sin x dx = − cos x + c,x ∈ (−dx= − ctg x + ck ,sin2 xx ∈ R,ππ+ kπ, + kπ),22x ∈ (kπ, (k + 1)π),dx√= arcsin x + c = − arccos x + c,1 − x2= arctg x + c = − arcctg x + c,k∈Zk∈Zx ∈ [−1, 1].x∈R1.1.7.
Интегрирование по частям в неопределенном интегралеТеорема 1.5. Если у функций u(x) и v(x) на промежутке ha, bi существуют производные u′ (x) и v ′ (x)(в концевых точках предполагается существование соответствующиходностороннихпроизводных), то изRRсуществования на ha, bi одного из неопределённых интегралов v(x)u′ (x) dx, u(x)v ′ (x) dx следует существование другого и равенствоZZ′u(x)v (x) dx = u(x)v(x) − v(x)u′ (x) dx(8) По условию, функции u, v дифференцируемы в (a, b) (и, следовательно, непрерывны в (a, b)) и имеют односторонние производные в концевых точках ha, bi, и, следовательно, u, v — непрерывны на ha, bi.
Таким образом,uv — непрерывна на ha, bi и (u(x)v(x))′ = u′ (x)v(x) + u(x)v ′ (x), x ∈ (a, b). Пусть, для определённости, существует8RRRv(x)u′ (x) dx на ha, bi, т.е. функцияv(x)u′ (x) dx непрерывна на ha, bi и ( v(x)u′ (x) dx)′ = v(x)u′ (x), x ∈ (a, b).RТогда функция u(x)v(x) — v(x)u′ (x) dx непрерывна на ha, bi и дифференцируема в (a, b) и′Z′Z′′′′u(x)v(x) − v(x)u (x) dx = v (x)u(x) + v(x)u (x) −v(x)u (x) dx) == v ′ (x)u(x) + v(x)u′ (x) − v(x)u′ (x) = u(x)v ′ (x),x ∈ (a, b), иZu(x)v ′ (x) dx = u(x)v(x) −Zv(x)u′ (x) dx + c, x ∈ ha, biФормула (10) ⇔ (8), так как произвольная постоянная c убирается в любом интеграле:ZZu dv = uv − v du.(9)(10)(8′ )Пример.ZZ 2u = arctg x du = dx x2xdx21+x x arctg x dx = arctg x −=2= v = x222 1 + x2dv = x dxZZ 2Zx21x +1−1x21dxx211=arctg x −dx=arctgx−dx−=arctg x − x + arctg x + c.221 + x2221 + x22221.1.8.
Замена переменной интегрирования в неопределенном интегралеТеорема 1.6. Пусть функция F (t) есть точная первообразная функция для функции f (t) на промежуткеhα, βi, а функция ω(x) = t непрерывна Rна промежутке ha,Rbi, дифференцируема в интервале (a, b) и f (ha, bi) ⊂⊂ hα, βi. Тогда на промежутке ha, bi ∃ f (ω(x))ω ′ (x) dx и f (ω(x))ω ′ (x) dx = F (ω(x)) + c, x ∈ ha, bi Согласно определению 1, F непрерывна на hα, βi, дифференцируема в интервале (α, β) и F ′ (t) = f (t) длявсех t ∈ (α, β). Из условий теоремы следует, что сложная функция F (ω(x)) непрерывна на ha, bi (как композициянепрерывных функций) и дифференцируема в интервале (a, b) (как композиция дифференцируемых функций),причём (F (ω(x)))′ = F ′ (t)·ω ′ (x) = f (t)ω ′ (x) = f (ω(x))ω ′ (x), x ∈ (a, b).
Таким образом, функция F (ω(x)), согласноопределению1, есть точная первообразная для функции f (ω(x)) · ω ′ (x) на промежутке ha, bi. По теореме 1,R′∃ f (ω(x))ω (x) dx на ha, bi, следовательно, в силу (2), справедливо (1). Теорема 1.7. Пусть функция ω(x) = t непрерывна на промежутке ha, bi, дифференцируема в интервале(a, b) и ω ′ (x) > 0 для всех x ∈ (a, b). Обозначим α = inf ω(x), β = sup ω(x) (возможно, α = −∞ илиx∈ha,bix∈ha,biβ = +∞), так что ω(ha, bi) = hα, βi и на hα, βi определена функция Ω(t) = x, обратная к ω(x) = t.
Если дляфункции f (t), определенной на hα, βi, функция f (ω(x))ω ′ (x) имеет на ha, bi точную первообразную функциюΦ(x), то функция F (t) = Φ(Ω(t)) будет точной первообразной функцией для функции f (t) и справедливоZf (t) dt = F (t) + c = Φ(Ω(t)) + c, t ∈ hα, βi(2) Из условий теоремы следует, что обратная функция Ω(t) непрерывна на hα, βi, дифференцируема в (α, β)и Ω′ (t) = ω′1(x) для всех t ∈ (α, β) (по теореме о существовании непрерывной и дифференцируемой обратнойфункции).Кроме того, согласно определению 1, функция Φ(x) непрерывна на ha, bi дифференцируема в (a, b) и Φ′ (x) =f (ω(x)) · ω ′ (x), x ∈ (a, b).Поэтому, функция F (t) = Φ(Ω(t)) непрерывна на hα, βi (как композиция непрерывных функций), дифференцируема в (α, β) (как композиция дифференцируемых функций), иF ′ (t) = Φ′ (x) · Ω′ (t) = f (ω(x))ω ′ (x) ·1= f (ω(x)) = f (t)ω ′ (x)для всех t ∈ (α, β).
Таким образом, функция F (t) = Φ(Ω(t)) есть точная первообразная функция для функцииf (t) на hα, βi.RСогласно формуле (2), ∃ f (t) dt на hα, βi и справедливо (2) из условия теоремы. Одним из важных следствий результата следующей главы служит следующаяТеорема 1.8. Всякая функция, непрерывная на отрезке, имеет на нём точную первообразную.91.2. Первообразная функция на промежуткеf (x) = sgn x, x ∈ ha, bi , a < 0 < b не имеет точной первообразной F (x) на ha, bi, т.е. не существует на ha, biфункции F (x), F ′ (x) = sgn(x), x ∈ (a, b), т.к. sgn x имеет разрыв первого рода в x0 ∈ (a, b), а производнаяфункция может иметь точки разрыва только второго рода.1.2.1. Первообразная функция на промежуткеОпределение 4.
Функцию F (x), определенную на промежутке ha, bi назовём первообразной функцией дляфункции f (x), определённой на ha, bi, если: 1)F (x) непрерывна на ha, bi, 2)F (x) дифференцируема всюду винтервале (a, b), за возможным исключением некоторого конечного множества K точек на (a, b) и 3)F ′ (x) = f (x)для всех x ∈ (a, b) r K.Замечание. В соответствии с этим определением, точная первообразная функция есть первообразная функция с пустым исключительным множеством K (то есть, если K = ∅, то определение 1 → определение 1 изпараграфа 1).Согласно определению 1, функция F (x) = |x| будет первообразной функцией для f (x) = sgn x на любомha, bi , 0 < a < b, с исключительным множеством K = {0} (одноэлементное множество). Т.к.
|x|′ = sgn x, x 6= 0 и|x| — непрерывная функция.Замечание. F (x) = sgn x не является первообразной (в смысле определения 1) для f (x) = 0 на ha, bi , a <0 < b, хотя F ′ (x) = 0, x 6= 0, но F (x) = sgn x не является непрерывной на ha, bi.1.2.2. Множество первообразных функций на промежуткеТеорема 1.9. Если функция f (x) определена на ha, bi и имеет на ha, bi первообразную F (x), то она имеетна ha, bi бесконечно много первообразных и их множество состоит из функций Φ(x) = F (x) + c, x ∈ ha, bi, c —произвольная постоянная.
По условию и определению 1, функция F (x) непрерывна на ha, bi, существует F ′ (x) = f (x) для всехx ∈ (a, b) r K, где K — некоторое конечное множество точек из (a, b). Тогда для произвольного c ∈ R функцияΦ(x) = F (x) + c непрерывна на ha, bi и Φ′ (x) = (F (x) + c)′ = F ′ (x) = f (x) для всех x ∈ (a, b) r K. Таким образом,функция Φ(x) = F (x)+c есть первообразная для f (x) на ha, bi с исключительным множеством K.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
