В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581), страница 7
Текст из файла (страница 7)
(6)3 3 3В силу произвольного выбора числа ε, число, стоящее в левой части (6), равно нулю, то есть I = I1 + I2 , чторавносильно формуле (1). Замечание. Формально можно рассмотреть случай, когда a > b и в качестве размеченного разбиения T ∗считать точки a = x∗0 > x∗1 > · · · > x∗k−1 > x∗k > · · · > x∗n−1 > x∗n = b, где ∆x∗k = x∗k − x∗k−1 < 0, k =1, n.
В качестве формального набора ζ ∗ = (ζ1∗ , . . . , ζn∗ ) , x∗k−1 > ζk∗ > x∗k , k = 1, n, и формальное размеченноеnPразбиение Tζ∗∗ , которому отвечает формальная интегральная сумма σ ∗ (f ; Tζ∗∗ ) =f (ζk∗ )∆x∗k . Если обозначитьk=1l = n − k, xl = x∗n−k , то b = x0 < x1 < · · · < xl < xl−1 < · · · < xn−1 < xn = a; при этом ζk∗ = ζn−l , l = 1, n,nPи Tζ — размеченное разбиение отрезка [b, a] с интегральной суммой σ(f ; Tζ ) =f (ζl )∆xl .
∆xl = xl − xl−1 =k=1x∗n−k − x∗n−k+1 = −∆x∗n−k > 0, l = 1, n. Таким образом, σ(f ; Tζ∗∗ ) = −σ(f ; Tζ ).RaЕсли функция f ∈ R[b, a], то f (x) dx = lim σ(f ; Tζ ). Поскольку предел функции линеен, то существуетd(T )→0bпредел∗I = lim σd(T )→0∗(f ; Tζ∗∗ )= − lim σ(f ; Tζ ) = −d(T )→0Zab19f (x) dx.Число I ∗ обозначается символомRaf (x) dx, a > b и по определениюbZbaТаким образом, 0 =Rbf (x) dx +aRaf (x) dx = −Za(7)f (x) dx, a > b.bf (x) dx =Raf (x) dx.abТеорема. Если функция f интегрируема на наибольшем из отрезков с концевыми точками a, b, c (или fинтегрируема на двух отрезках, объединение которых образует максимальный отрезок), тоZcZbf (x) dx +af (x) dx +cZa(8)f (x) dx = 0.bНе ограничивая общности, считаем a < c < b.
Согласно предыдущей теореме,Zcf (x) dx +aZbf (x) dx =cZbf (x) dx,aоткуда0=Zcf (x) dx +aZbf (x) dx −cZbf (x) dx =aZcf (x) dx +aZbf (x) dx +cZaf (x) dx,bчто есть (8). Следствие. Если функция f ∈ R[a, b], то f ∈ R[c, d] для любых c, d, a 6 c < d 6 b. f ∈ R[a, b] ⇒ f ∈ R[c, b] ⇒ f ∈ R[c, d]. 2.3.8. Оценка модуля определённого интегралаЛемма 2.5. Если функция f ∈ R[a, b], то |f | ∈ R[a, b]. Так как f ∈ R[a, b], то f ограничена на [a, b] и ∃ C > 0 : |f (x)| 6 C, x ∈ [a, b]. Так как ||f (x′ )| − |f (x′′ )|| 6|f (x′ ) − f (x′′ )| для всех x′ , x′′ ∈ [a, b], то для любого множества E ⊂ [a, b] справедлива оценка ω(|f | , E) =sup ||f (x′ )| − |f (x′′ )|| 6 sup |f (x′ ) − f (x′′ )| = ω(f, E).x′ ,x′′ ∈EnPk=1x′ ,x′′ ∈EПоэтому для любого разбиения T отрезка [a, b] на отрезке ∆k = [xk−1 , xk ], k = 1, n, a = x0 , . . .
, xn = bnPω(|f | , ∆k )∆xk 6ω(f ; ∆k )∆xk (∆xk > 0, k = 1, n).k=1Так как f ∈ R[a, b], то по второму критерию, limфункции по базеlimnPd(T )→0 k=1nPd(T )→0 k=1ω(f, ∆k )∆xk = 0 и по свойству монотонности пределаω(|f | , ∆k )∆xk = 0, так что |f | ∈ R[a, b] (по второму критерию). (+1, если x ∈ Q,Замечание. Функция h(x) =не интегрируема ни на каком отрезке [a, b] в R, в то−1, если x ∈ R r Q.время как |h(x)| = 1, x ∈ R интегрируема на любом отрезке [a, b]. Кроме того, h2 (x) = 1 и h2 ∈ R[a, b].Теорема. Если f ∈ R[a, b], то справедлива оценка bZ Zb f (x) dx 6 |f (x)| dx.a(9)aТак как − |f (x)| 6 f (x) 6 |f (x)| для любого x ∈ [a, b], то, согласно свойствам монотонности и линейностиRbRbRbопределённого интеграла и лемме, справедливо − |f (x)| dx 6 f (x) dx 6 |f (x)| dx, что равносильно (9).
aa20aСледствие. Если f ∈ R[a, b], |f (x)| 6 C для любого x ∈ [a, b], то bZ f (x) dx 6 C(b − a).(10)aRb RbRbСогласно (9), f (x) dx 6 |f (x)| dx 6 C dx (свойство монотонности) = C(b − a). a aaЗамечание. Оценки типа (9) и (10) справедливы также для случая a > b, так как b a aZ Z Z f (x) dx = − f (x) dx = f (x) dx abи имеют видb b bZ Z f (x) dx 6 |f (x)| dx , aa bZ f (x) dx 6 C |b − a| .(9′ )(10′ )a2.3.9. Первая теорема о среднем значении для неопределённого интегралаТеорема. Если функции f, g ∈ R[a, b] и функция g сохраняет знак на [a, b] (то есть g(x) > 0, x ∈ [a, b], либоg(x) 6 0, x ∈ [a, b]) и m = inf f (x), M = sup f (x), то существует некоторое µ ∈ [m; M ], m 6 µ 6 M , чтоx∈[a,b]x∈[a,b]Zbf (x)g(x) dx = µaZb(11)g(x) dx.aЕсли f ∈ C[a, b], то существует некоторое ξ ∈ [a, b], в которойZbZbf (x)g(x) dx = f (ξ)a(12)g(x) dx.a Рассмотрим сначала случай, когда g(x) > 0, x ∈ [a, b].
Тогда m 6 f (x) 6 M и mg(x) 6 f (x)g(x) 6 M g(x)при x ∈ [a, b] и по свойству монотонности и линейности интегралаmZbg(x) dx 6aПосколькуRbaПустьRbag(x) dx >RbZbf (x)g(x) dx 6 MaZbg(x) dx.a0 dx = 0, то формула (11) в случаеRbg(x) dx = 0 справедлива для всех µ.aag(x) dx 6= 0 (то естьm6Rbg(x) dx > 0). ТогдаaRbf (x)g(x) dxaRb6Mиµ=g(x) dxaf (x)g(x) dxaRb, m 6 µ 6 M.g(x) dxaЕсли g(x) 6 0, то −g(x) > 0, x ∈ [a, b] и по доказанномув силу свойства линейности интеграла.RbRba21Rbf (x)(−g(x)) dx = µ (−g(x)) dx, что равносильно (11)aЕсли f ∈ C[a, b], то m = inf f (x) = min f (x), а M = sup f (x) = max f (x) (по теореме Вейерштрасса).
Такx∈[a,b][a,b][a,b]x∈[a,b]как m 6 µ 6 M , то по теореме Коши о промежуточных значениях непрерывной функции на [a, b], ∃ ξ ∈ [a, b], вкоторой µ = f (ξ) и формула (11) переходит в (12). Следствие. Если f ∈ R[a, b] и m = inf f (x), M = sup f (x), то существует µ ∈ [m, M ], чтоx∈[a,b]x∈[a,b]µ(b − a) (11′ ). Если f ∈ C[a, b], то ∃ ξ ∈ [a, b], в которомZbaRbf (x) dx =a(12′ )f (x) dx = f (ξ)(b − a).Полагая g(x) = 1, x ∈ [a, b], получим (11′ ) и (12′ ) из (11) и (12) соответственно, так какZbg(x) dx =aZb1 dx = b − a.a2.4. Интеграл и производная2.4.1.
Непрерывность интеграла с переменным верхним пределомРассмотрим произвольную f ∈ R[a, b]. По свойству аддитивности интеграла, для произвольного x ∈ [a, b]существует функция F (x):ZxF (x) = f (t) dt, x ∈ [a, b], F (a) = 0(1)a— интеграл с переменным верхним пределом.Теорема. Для произвольной f ∈ R[a, b] функция F , определяемая (1), непрерывна на [a, b]. Фиксируем ∀x ∈ [a, b] и рассмотрим все h, x + h ∈ [a, b]. По свойству аддитивности,F (x + h) − F (x) =x+hZaf (t) dt −Zxf (t) dt =ax+hZ(2)f (t) dt.xТак как f ∈ R[a, b], то ∃ M > 0 : |f (x)| 6 M, x ∈ [a, b], в силу оценки модуля интеграла, x+h x+h x+hZ Z Z f (t) dt 6 |f (t)| dt 6 M dt = M · |h| . xx(3)xТак как lim M |h| = 0, то на основании (3) и (2), lim (F (x + h) − F (x)) = 0 или F (x) = lim F (x + h), x ∈ [a, b],h→0h→0h→0т.е.
F ∈ C[a, b]. 2.4.2. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределуТеорема. Если f ∈ R[a, b] и f ∈ C[a, b], то F , определяемая (1), дифференцируема в точке x, иF ′ (x) = f (x),Так какполучимx+hRxZxa′f (t) dt = f (x).f (x) dt = f (x)(x + h − x) = f (x) · h, то на основании (2) и свойства линейности интеграла,F (x + h) − F (x) = f (x) · h −x+hZf (x) dt +xx+hZx22f (t) dt = f (x) · h −x+hZx(f (t) − f (x)) dt,(4)откудаF (x + h) − F (x)1= f (x) −hhx+hZx(f (t) − f (x)) dt, h 6= 0.Так как f непрерывна в точке x, то для любого ε > 0 ∃δ > 0 : |f (t) − f (x)| < 2ε , ∀t : |t − x| 6 |h| < δ или|f (t) − f (x)| < ε для ∀ |h| < δ; |t − x| 6 |h| < δ.Согласно оценке модуля интеграла, x+h x+h ZZ111(f (t) − f (x)) dt 6|f (t) − f (x)| dt 6 sup |f (t) − f (x)| |x + h − x| = sup f (t) − f (x) < εh |t−x|6|h||h||h||t−x|6|h|xx(5)для ∀ 0 < |h| < δ ⇒ (5) ⇔lim 1h→0 hx+hR(f (t)− f (x)) dt = 0, тогда, на основании (4), f (x) =x(x)lim F (x+h)−Fhh→0′= F (x).Следствие 2.1.
f ∈ C[a, b] ⇒ F , определяемая (1) — точная первообразная для f на [a, b]. Так как F ∈ C[a, b], то по теореме пункта 2.4.1 (так как f ∈ R[a, b]), существует F ′ (x) = f (x) для любогоx ∈ (a, b) по предыдущей теореме. Следствие 2.2. Если f — ограничена на [a, b] и имеет только конечное множество точек разрыва на [a, b],то F , определяемая (1), образует первообразную функцию для f с конечным исключительным множеством. По условию, F непрерывна в каждой точке x ∈ (a, b), за возможным исключением некоторого конечногомножества (по предыдущей теореме), и f ∈ R[a, b]. По теореме пункта 4.1, f ∈ C[a, b] и, по предыдущей теореме,F ′ (x) = f (x) для ∀ x ∈ (a, b) r K. 2.4.3. Основная формула интегрального исчисленияТеорема.
Если f ограничена на [a, b] и имеет только конечное множество точек разрыва на [a, b], тоZbf (x) dx = Φ(b) − Φ(a),(6)aгде Φ(x) — произвольная первообразная функция для f на [a, b]. По следствию 2, функция F , определяемая (1), есть первообразная для f на [a, b]. Произвольная первообразная Φ(x) = F (x) + c, x ∈ [a, b], c = const. Так как значение F в точке a = 0 : F (a) = 0, то Φ(a) = c ⇒Zxaf (t) dt = Φ(x) − Φ(a),для любого x ∈ [a, b]. В частности, (6). (6) — формула Ньютона–Лейбница.2.4.4. Интегрирование по частям в определённом интегралеТеорема. Если u, v ∈ C[a, b]; u′ , v ′ ∈ R[a, b] (в концевых точках — односторонние производные), тоZbaгдеb Zbu(x)v (x) dx = (u(x)v(x)) − v(x)u′ (x) dx,′a(7)ab(u(x)v(x)) = u(b)v(b) − u(a)v(a).aЕсли f ∈ C[a, b], тоZbaf (x) dx = Φ(b) − Φ(a),для любой точной первообразной Φ(x) для f (x) на [a, b].23(6′ )Так как u, v ∈ C[a, b] и u′ , v ′ ∈ R[a, b], то оба интеграла в (7) существуют.(uv)′ = u′ v + v ′ u, x ∈ (a, b).(8)Таким образом, u(x)v(x) — точная первообразная для своей производной на [a, b] и её представления (8).По (6’),bZb′(u(x)v(x)) dx = u(b)v(b) − u(a)v(a) = (u(x)v(x)) .aaС другой стороны,b ZbZb′(u(x)v(x)) = (u(x)v(x)) dx = (u(x)v ′ (x) + u′ (x)v(x)) dx ⇔ (7) в силу свойства линейности интеграла.aaa2.4.5.
Замена переменной интегрирования в определённом интегралеТеорема. Пусть функция x = ω(t) ∈ C[α, β], α < β и имеет производную ω ′ (t) > 0 и ω ′ (t) ∈ R[α, β], такчто образ ω([α, β]) = [a, b], a = ω(α), b = ω(β). Если функция f ∈ C[a, b], тоZbf (x) dx =aZβα(f (ω(t))) · ω ′ (t) dt.(10) Сложная функция f (ω(t)) ∈ C[α, β] как композиция непрерывных функций, следовательно, f (ω(t)) ·ω ′ (t) интегрируема на [α, β] как произведение интегрируемых функций. Таким образом, оба интеграла из (10)определены. По (6’):Zbf (x) dx = Φ(b) − Φ(a),aгде Φ(x) — некоторая точная первообразная для функции f на [a, b], то есть Φ ∈ C[a, b] и Φ′ (x) = f (x), x ∈ (a, b).Сложная функция F (t) = Φ(ω(t)) ∈ C[α, β] как композиция непрерывных функций иF ′ (t) = Φ′ (x) · ω ′ (t) = f (x) · ω ′ (t) = f (ω(t)) · ω ′ (t), t ∈ (α, β),таким образом, F — точная первообразная для f (ω(t)) · ω ′ (t) на [α, β] иZβ′(f (ω(t))) · ω (t) dt = F (β) − F (α) = Φ(ω(β)) − Φ(ω(α)) = Φ(b) − Φ(a) =αZba24f (x) dx.2.4.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
