Главная » Просмотр файлов » В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу

В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581), страница 7

Файл №1109581 В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу) 7 страницаВ.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581) страница 72019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

(6)3 3 3В силу произвольного выбора числа ε, число, стоящее в левой части (6), равно нулю, то есть I = I1 + I2 , чторавносильно формуле (1). Замечание. Формально можно рассмотреть случай, когда a > b и в качестве размеченного разбиения T ∗считать точки a = x∗0 > x∗1 > · · · > x∗k−1 > x∗k > · · · > x∗n−1 > x∗n = b, где ∆x∗k = x∗k − x∗k−1 < 0, k =1, n.

В качестве формального набора ζ ∗ = (ζ1∗ , . . . , ζn∗ ) , x∗k−1 > ζk∗ > x∗k , k = 1, n, и формальное размеченноеnPразбиение Tζ∗∗ , которому отвечает формальная интегральная сумма σ ∗ (f ; Tζ∗∗ ) =f (ζk∗ )∆x∗k . Если обозначитьk=1l = n − k, xl = x∗n−k , то b = x0 < x1 < · · · < xl < xl−1 < · · · < xn−1 < xn = a; при этом ζk∗ = ζn−l , l = 1, n,nPи Tζ — размеченное разбиение отрезка [b, a] с интегральной суммой σ(f ; Tζ ) =f (ζl )∆xl .

∆xl = xl − xl−1 =k=1x∗n−k − x∗n−k+1 = −∆x∗n−k > 0, l = 1, n. Таким образом, σ(f ; Tζ∗∗ ) = −σ(f ; Tζ ).RaЕсли функция f ∈ R[b, a], то f (x) dx = lim σ(f ; Tζ ). Поскольку предел функции линеен, то существуетd(T )→0bпредел∗I = lim σd(T )→0∗(f ; Tζ∗∗ )= − lim σ(f ; Tζ ) = −d(T )→0Zab19f (x) dx.Число I ∗ обозначается символомRaf (x) dx, a > b и по определениюbZbaТаким образом, 0 =Rbf (x) dx +aRaf (x) dx = −Za(7)f (x) dx, a > b.bf (x) dx =Raf (x) dx.abТеорема. Если функция f интегрируема на наибольшем из отрезков с концевыми точками a, b, c (или fинтегрируема на двух отрезках, объединение которых образует максимальный отрезок), тоZcZbf (x) dx +af (x) dx +cZa(8)f (x) dx = 0.bНе ограничивая общности, считаем a < c < b.

Согласно предыдущей теореме,Zcf (x) dx +aZbf (x) dx =cZbf (x) dx,aоткуда0=Zcf (x) dx +aZbf (x) dx −cZbf (x) dx =aZcf (x) dx +aZbf (x) dx +cZaf (x) dx,bчто есть (8). Следствие. Если функция f ∈ R[a, b], то f ∈ R[c, d] для любых c, d, a 6 c < d 6 b. f ∈ R[a, b] ⇒ f ∈ R[c, b] ⇒ f ∈ R[c, d]. 2.3.8. Оценка модуля определённого интегралаЛемма 2.5. Если функция f ∈ R[a, b], то |f | ∈ R[a, b]. Так как f ∈ R[a, b], то f ограничена на [a, b] и ∃ C > 0 : |f (x)| 6 C, x ∈ [a, b]. Так как ||f (x′ )| − |f (x′′ )|| 6|f (x′ ) − f (x′′ )| для всех x′ , x′′ ∈ [a, b], то для любого множества E ⊂ [a, b] справедлива оценка ω(|f | , E) =sup ||f (x′ )| − |f (x′′ )|| 6 sup |f (x′ ) − f (x′′ )| = ω(f, E).x′ ,x′′ ∈EnPk=1x′ ,x′′ ∈EПоэтому для любого разбиения T отрезка [a, b] на отрезке ∆k = [xk−1 , xk ], k = 1, n, a = x0 , . . .

, xn = bnPω(|f | , ∆k )∆xk 6ω(f ; ∆k )∆xk (∆xk > 0, k = 1, n).k=1Так как f ∈ R[a, b], то по второму критерию, limфункции по базеlimnPd(T )→0 k=1nPd(T )→0 k=1ω(f, ∆k )∆xk = 0 и по свойству монотонности пределаω(|f | , ∆k )∆xk = 0, так что |f | ∈ R[a, b] (по второму критерию). (+1, если x ∈ Q,Замечание. Функция h(x) =не интегрируема ни на каком отрезке [a, b] в R, в то−1, если x ∈ R r Q.время как |h(x)| = 1, x ∈ R интегрируема на любом отрезке [a, b]. Кроме того, h2 (x) = 1 и h2 ∈ R[a, b].Теорема. Если f ∈ R[a, b], то справедлива оценка bZ Zb f (x) dx 6 |f (x)| dx.a(9)aТак как − |f (x)| 6 f (x) 6 |f (x)| для любого x ∈ [a, b], то, согласно свойствам монотонности и линейностиRbRbRbопределённого интеграла и лемме, справедливо − |f (x)| dx 6 f (x) dx 6 |f (x)| dx, что равносильно (9).

aa20aСледствие. Если f ∈ R[a, b], |f (x)| 6 C для любого x ∈ [a, b], то bZ f (x) dx 6 C(b − a).(10)aRb RbRbСогласно (9), f (x) dx 6 |f (x)| dx 6 C dx (свойство монотонности) = C(b − a). a aaЗамечание. Оценки типа (9) и (10) справедливы также для случая a > b, так как b a aZ Z Z f (x) dx = − f (x) dx = f (x) dx abи имеют видb b bZ Z f (x) dx 6 |f (x)| dx , aa bZ f (x) dx 6 C |b − a| .(9′ )(10′ )a2.3.9. Первая теорема о среднем значении для неопределённого интегралаТеорема. Если функции f, g ∈ R[a, b] и функция g сохраняет знак на [a, b] (то есть g(x) > 0, x ∈ [a, b], либоg(x) 6 0, x ∈ [a, b]) и m = inf f (x), M = sup f (x), то существует некоторое µ ∈ [m; M ], m 6 µ 6 M , чтоx∈[a,b]x∈[a,b]Zbf (x)g(x) dx = µaZb(11)g(x) dx.aЕсли f ∈ C[a, b], то существует некоторое ξ ∈ [a, b], в которойZbZbf (x)g(x) dx = f (ξ)a(12)g(x) dx.a Рассмотрим сначала случай, когда g(x) > 0, x ∈ [a, b].

Тогда m 6 f (x) 6 M и mg(x) 6 f (x)g(x) 6 M g(x)при x ∈ [a, b] и по свойству монотонности и линейности интегралаmZbg(x) dx 6aПосколькуRbaПустьRbag(x) dx >RbZbf (x)g(x) dx 6 MaZbg(x) dx.a0 dx = 0, то формула (11) в случаеRbg(x) dx = 0 справедлива для всех µ.aag(x) dx 6= 0 (то естьm6Rbg(x) dx > 0). ТогдаaRbf (x)g(x) dxaRb6Mиµ=g(x) dxaf (x)g(x) dxaRb, m 6 µ 6 M.g(x) dxaЕсли g(x) 6 0, то −g(x) > 0, x ∈ [a, b] и по доказанномув силу свойства линейности интеграла.RbRba21Rbf (x)(−g(x)) dx = µ (−g(x)) dx, что равносильно (11)aЕсли f ∈ C[a, b], то m = inf f (x) = min f (x), а M = sup f (x) = max f (x) (по теореме Вейерштрасса).

Такx∈[a,b][a,b][a,b]x∈[a,b]как m 6 µ 6 M , то по теореме Коши о промежуточных значениях непрерывной функции на [a, b], ∃ ξ ∈ [a, b], вкоторой µ = f (ξ) и формула (11) переходит в (12). Следствие. Если f ∈ R[a, b] и m = inf f (x), M = sup f (x), то существует µ ∈ [m, M ], чтоx∈[a,b]x∈[a,b]µ(b − a) (11′ ). Если f ∈ C[a, b], то ∃ ξ ∈ [a, b], в которомZbaRbf (x) dx =a(12′ )f (x) dx = f (ξ)(b − a).Полагая g(x) = 1, x ∈ [a, b], получим (11′ ) и (12′ ) из (11) и (12) соответственно, так какZbg(x) dx =aZb1 dx = b − a.a2.4. Интеграл и производная2.4.1.

Непрерывность интеграла с переменным верхним пределомРассмотрим произвольную f ∈ R[a, b]. По свойству аддитивности интеграла, для произвольного x ∈ [a, b]существует функция F (x):ZxF (x) = f (t) dt, x ∈ [a, b], F (a) = 0(1)a— интеграл с переменным верхним пределом.Теорема. Для произвольной f ∈ R[a, b] функция F , определяемая (1), непрерывна на [a, b]. Фиксируем ∀x ∈ [a, b] и рассмотрим все h, x + h ∈ [a, b]. По свойству аддитивности,F (x + h) − F (x) =x+hZaf (t) dt −Zxf (t) dt =ax+hZ(2)f (t) dt.xТак как f ∈ R[a, b], то ∃ M > 0 : |f (x)| 6 M, x ∈ [a, b], в силу оценки модуля интеграла, x+h x+h x+hZ Z Z f (t) dt 6 |f (t)| dt 6 M dt = M · |h| . xx(3)xТак как lim M |h| = 0, то на основании (3) и (2), lim (F (x + h) − F (x)) = 0 или F (x) = lim F (x + h), x ∈ [a, b],h→0h→0h→0т.е.

F ∈ C[a, b]. 2.4.2. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределуТеорема. Если f ∈ R[a, b] и f ∈ C[a, b], то F , определяемая (1), дифференцируема в точке x, иF ′ (x) = f (x),Так какполучимx+hRxZxa′f (t) dt = f (x).f (x) dt = f (x)(x + h − x) = f (x) · h, то на основании (2) и свойства линейности интеграла,F (x + h) − F (x) = f (x) · h −x+hZf (x) dt +xx+hZx22f (t) dt = f (x) · h −x+hZx(f (t) − f (x)) dt,(4)откудаF (x + h) − F (x)1= f (x) −hhx+hZx(f (t) − f (x)) dt, h 6= 0.Так как f непрерывна в точке x, то для любого ε > 0 ∃δ > 0 : |f (t) − f (x)| < 2ε , ∀t : |t − x| 6 |h| < δ или|f (t) − f (x)| < ε для ∀ |h| < δ; |t − x| 6 |h| < δ.Согласно оценке модуля интеграла, x+h x+h ZZ111(f (t) − f (x)) dt 6|f (t) − f (x)| dt 6 sup |f (t) − f (x)| |x + h − x| = sup f (t) − f (x) < εh |t−x|6|h||h||h||t−x|6|h|xx(5)для ∀ 0 < |h| < δ ⇒ (5) ⇔lim 1h→0 hx+hR(f (t)− f (x)) dt = 0, тогда, на основании (4), f (x) =x(x)lim F (x+h)−Fhh→0′= F (x).Следствие 2.1.

f ∈ C[a, b] ⇒ F , определяемая (1) — точная первообразная для f на [a, b]. Так как F ∈ C[a, b], то по теореме пункта 2.4.1 (так как f ∈ R[a, b]), существует F ′ (x) = f (x) для любогоx ∈ (a, b) по предыдущей теореме. Следствие 2.2. Если f — ограничена на [a, b] и имеет только конечное множество точек разрыва на [a, b],то F , определяемая (1), образует первообразную функцию для f с конечным исключительным множеством. По условию, F непрерывна в каждой точке x ∈ (a, b), за возможным исключением некоторого конечногомножества (по предыдущей теореме), и f ∈ R[a, b]. По теореме пункта 4.1, f ∈ C[a, b] и, по предыдущей теореме,F ′ (x) = f (x) для ∀ x ∈ (a, b) r K. 2.4.3. Основная формула интегрального исчисленияТеорема.

Если f ограничена на [a, b] и имеет только конечное множество точек разрыва на [a, b], тоZbf (x) dx = Φ(b) − Φ(a),(6)aгде Φ(x) — произвольная первообразная функция для f на [a, b]. По следствию 2, функция F , определяемая (1), есть первообразная для f на [a, b]. Произвольная первообразная Φ(x) = F (x) + c, x ∈ [a, b], c = const. Так как значение F в точке a = 0 : F (a) = 0, то Φ(a) = c ⇒Zxaf (t) dt = Φ(x) − Φ(a),для любого x ∈ [a, b]. В частности, (6). (6) — формула Ньютона–Лейбница.2.4.4. Интегрирование по частям в определённом интегралеТеорема. Если u, v ∈ C[a, b]; u′ , v ′ ∈ R[a, b] (в концевых точках — односторонние производные), тоZbaгдеb Zbu(x)v (x) dx = (u(x)v(x)) − v(x)u′ (x) dx,′a(7)ab(u(x)v(x)) = u(b)v(b) − u(a)v(a).aЕсли f ∈ C[a, b], тоZbaf (x) dx = Φ(b) − Φ(a),для любой точной первообразной Φ(x) для f (x) на [a, b].23(6′ )Так как u, v ∈ C[a, b] и u′ , v ′ ∈ R[a, b], то оба интеграла в (7) существуют.(uv)′ = u′ v + v ′ u, x ∈ (a, b).(8)Таким образом, u(x)v(x) — точная первообразная для своей производной на [a, b] и её представления (8).По (6’),bZb′(u(x)v(x)) dx = u(b)v(b) − u(a)v(a) = (u(x)v(x)) .aaС другой стороны,b ZbZb′(u(x)v(x)) = (u(x)v(x)) dx = (u(x)v ′ (x) + u′ (x)v(x)) dx ⇔ (7) в силу свойства линейности интеграла.aaa2.4.5.

Замена переменной интегрирования в определённом интегралеТеорема. Пусть функция x = ω(t) ∈ C[α, β], α < β и имеет производную ω ′ (t) > 0 и ω ′ (t) ∈ R[α, β], такчто образ ω([α, β]) = [a, b], a = ω(α), b = ω(β). Если функция f ∈ C[a, b], тоZbf (x) dx =aZβα(f (ω(t))) · ω ′ (t) dt.(10) Сложная функция f (ω(t)) ∈ C[α, β] как композиция непрерывных функций, следовательно, f (ω(t)) ·ω ′ (t) интегрируема на [α, β] как произведение интегрируемых функций. Таким образом, оба интеграла из (10)определены. По (6’):Zbf (x) dx = Φ(b) − Φ(a),aгде Φ(x) — некоторая точная первообразная для функции f на [a, b], то есть Φ ∈ C[a, b] и Φ′ (x) = f (x), x ∈ (a, b).Сложная функция F (t) = Φ(ω(t)) ∈ C[α, β] как композиция непрерывных функций иF ′ (t) = Φ′ (x) · ω ′ (t) = f (x) · ω ′ (t) = f (ω(t)) · ω ′ (t), t ∈ (α, β),таким образом, F — точная первообразная для f (ω(t)) · ω ′ (t) на [α, β] иZβ′(f (ω(t))) · ω (t) dt = F (β) − F (α) = Φ(ω(β)) − Φ(ω(α)) = Φ(b) − Φ(a) =αZba24f (x) dx.2.4.6.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
776,2 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее