В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581), страница 6
Текст из файла (страница 6)
2.2.8. Третий критерий интегрируемости функцииТеорема. f ∈ R[a, b] ⇔ ∀ ε > 0 ∃ разбиение T отрезка [a, b], для которого S(f ; T ) − s(f ; T ) < ε. Так как множества {s(f ; T )} и {S(f ; T )} обладают свойствами отделимости, то, по принципу отделяющего отрезка, I = I ⇔ для любого ε > 0 ∃ разбиения T1 и T2 отрезка [a, b], для которых выполнено:0 6 S(f ; T1 ) − s(f ; T2 ) < ε. Тогда T1 ∪ T2 = T — некоторое разбиение отрезка [a, b], для которого s(f ; T ) > s(f ; T2 )и S(f ; T ) 6 S(f ; T1 ) и, следовательно, 0 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) 6 S(f ; T1 ) − s(f ; T2 ) < ε.По формуле (4): s(f ; T ) 6 I 6 I 6 S(f ; T ) для любого T отрезка [a, b].
2.3. Классы интегрируемых функций2.3.1. Интегрируемость функцийТеорема. Если f ∈ C[a, b], то f ∈ R[a, b]. Так как f ∈ C[a, b], то, по теореме Вейерштрасса, f ограничена на [a, b]. Более того, f — равномерноεнепрерывна на [a, b] и, следовательно, для любого ε > 0 ∃ δ > 0 : ω(f ; ∆) < b−aдля любого ∆ ⊂ [a, b], |∆| < δ.16Рассмотрим произвольное T отрезка [a, b] на ∆k = [xk−1 ; xk ], k = 1, n, a = x0 , xn = b, d(T ) < δ. Тогда |∆k | 6ε, k = 1, n. Поэтомуd(T ) < δ, ∀k = 1, n, и ω(f ; ∆k ) < b−anXnω(f ; ∆k )∆xk <k=1εε X∆xk =(b − a) = ε,b−ab−ak=1∀ T : d(T ) < δ.По второму критерию интегрируемости, f ∈ R[a, b].
2.3.2. Интегрируемость функций с конечным множеством точек разрываТеорема. Всякая функция, определённая и ограниченная на [a, b] и имеющая только конечное число l точекразрыва, интегрируема на [a, b]. (По индукции). Если l = 0, то есть f непрерывна на [a, b], то используем теорему предыдущего пункта.Пусть теорема доказана для всех l < n, и f удовлетворяет её условиям для l = n.
Рассмотрим сначаласлучай, когда f имеет точку разрыва c, внутреннюю для [a, b], a < c < b.Так как f ограничена на [a, b], то ∃ C > 0 : |f (x)| 6 C, ∀ x ∈ [a, b]. Рассмотрим произвольное ε > 0 и точкиεc1 ∈ (a, c), c2 ∈ (c, b), для которых c2 − c1 < 6C. Пусть m = inf f (x) и M = sup f (x). Тогда M 6 C, аx∈[c1 ,c2 ]x∈[c1 ,c2 ]m > −C ⇒ M − m 6 2C и (M − m) · (c2 − c1 ) < 3ε .На отрезках [a, c1 ] и [c2 , b] функция может иметь менее, чем n точек разрыва, и, по предположению индукции,функция интегрируема на каждом из этих отрезков.f ∈ R[a, c1 ] и f ∈ R[c2 , b].
По третьему критерию интегрируемости, ∃ T1 отрезка [a, c1 ] и T2 отрезка [c2 , b],для которых S(f ; T1 ) − s(f ; T1 ) < 3ε и S(f ; T2 ) − s(f ; T2 ) < 3ε . Образуем разбиение T отрезка [a, b] добавлением котрезкам разбиений T1 и T2 отрезка [c1 , c2 ], для которогоS(f ; T ) − s(f ; T ) = S(f ; T1 ) − s(f ; T1 ) + (M − m)(c2 − c1 ) + S(f ; T2 ) − s(f ; T2 ) <ε ε ε+ + = ε.3 3 3По третьему критерию, f ∈ R[a, b].Пусть n = 1 и функция имеет единственную точку разрыва в одной из концевых точек.εПусть x = a — точка разрыва функции f . Рассмотрим c2 ∈ (a, b) : c2 − a < 4C. На [c2 , b] функция непрерывнаε⇒ f ∈ R[c2 , b].
Обозначим M = sup f (x) и m = inf f (x). Тогда (M − m)(c2 − a) < 4C· 2C = 2ε . Поx∈[a,c2 ]x∈[a,c2 ]третьему критерию, ∃ T2 отрезка [c2 , b], для которого S(f ; T2 ) − s(f ; T2 ) < 2ε . Образуем разбиение T отрезка [a, b]добавлением к отрезку разбиения T2 отрезка [a, c2 ], для которого S(f ; T ) − s(f ; T ) = (M − m)(c2 − a) + S(f ; T2 ) −s(f ; T2 ) < 2ε + 2ε = ε. По третьему критерию, f ∈ R[a, b].Аналогично рассматривается случай, когда x = b — единственная точка разрыва. 2.3.3. Применение теоремы пункта 3.2Теорема 2.3. Если f определена на [a, b] и f (x) = 0 для любого x ∈ [a, b] за возможным исключениемRbнекоторого конечного множества K на отрезке [a, b], то f (x) dx = 0.aПо условию теоремы, f ограничена на [a, b] и, следовательно, по теореме пункта 3.2 ∃(p)(p)Rbf (x) dx = I.aРассмотрим произвольное p ∈ N и размеченное разбиение Tζ отрезка [a, b] с d(Tζ ) < p1 с набором точекζ = (ζ1 , .
. . , ζn ), в которых все ζk ∈/ K, что возможно в силу конечности множества K. Тогда(p)σp = σ(f ; Tζ ) =nXk=1Так что lim σp = 0. Так как ∃p→∞f (ζk )∆xk =nXk=1(p)0 · ∆xk = 0, d(Tζ ) <1, p ∈ N.plim σ(f ; Tζ ) = I, то I = 0. d(T )→0Теорема 2.4. Если f ∈ R[a, b]; g — определена и ограничена на [a, b] и g(x) = f (x) для любого x ∈ [a, b] заRbRbвозможным исключением некоторого конечного множества K ⊂ [a, b], то g ∈ R[a, b] и g(x) dx = f (x) dx.aah = g − f ограничена на [a, b] (так как f ∈ R[a, b] и, следовательно, f — ограничена на [a, b]) и h(x) =RbRbRbg(x) − f (x) = 0 для любого x ∈ [a, b] r K.
По теореме 1, h(x) dx = 0 ⇒g(x) dx = f (x) dx (по линейномуaсвойству). 17aa2.3.4. Свойство монотонности определённого интегралаRbТеорема. Если f, g ∈ R[a, b] и f (x) > g(x), x ∈ [a, b], тоf (x) dx >aRbg(x) dx.a Для любого размеченного разбиения Tζ отрезка [a, b] на ∆k = [xk−1 , xk ], k = 1, n, a = x0 , xn = b и набораζ = {ζ1 , . . .
, ζn } , ζk ∈ ∆k , k = 1, n, справедливо:σ(f ; Tζ ) =nXf (ζk )∆xk >k=1nXg(ζk )∆xk = σ(g; Tζ ) (так как ∆xk > 0, k = 1, n),k=1или Φf (Tζ ) > Φg (Tζ ), ∀ Tζ ∈ P.RbRbТак как f (x) dx = lim Φf ; g(x) dx =alim Φf > lim Φg , тоd(T )→0d(T )→0d(T )→0Rbaf (x) dx >aRblim Φg и предел по базе обладает свойством монотонностиd(T )→0g(x) dx. a2.3.5. Интегрируемость произведения функцийЛемма. Если f ∈ R[a, b], то f 2 ∈ R[a, b]. По условию, ∃ C > 0 : |f (x)| 6 C, ∀ x ∈ [a, b] и, следовательно, f 2 ограничена на [a, b]. Для произвольных′x и x′′ ∈ [a, b] справедливо: 2 ′f (x ) − f 2 (x′′ ) = |f (x′ ) − f (x′′ )| · |f (x′ ) + f (x′′ )| 6 (|f (x′ )| + |f (x′′ )|) · |f (x′ ) − f (x′′ )| 6 2C · |f (x′ ) − f (x′′ )| . (1)Рассмотрим произвольное T отрезка [a, b] на отрезке ∆k = [xk−1 ; xk ], k = 1, n.
По (1):ω(f 2 ; ∆k ) 6 2C · ω(f ; ∆k ), k = 1, n и 0 6Так как f ∈ R[a, b], то, по второму критерию,limnPd(T )→0 k=1limnXω(f 2 ; ∆k )∆xk 6k=1nPd(T )→0 k=1nXk=1ω(f ; ∆k ) · ∆xk .(2)ω(f ; ∆k ) · ∆xk = 0, откуда, с учётом (2),ω(f 2 , ∆k ) · ∆xk = 0 ⇒ f 2 ∈ R[a, b] (по второму критерию). Теорема.
Если f и g ∈ R[a, b], то (f · g) ∈ R[a, b]. Так как f · g = 14 (f + g)2 − (f − g)2 и (f ± g) ∈ R[a, b], (f ± g)2 ∈ R[a, b] (по лемме), то f g ∈ R[a, b]. 2.3.6. Интегрируемость монотонной функцииТеорема. Всякая монотонная функция, определённая на [a, b], интегрируема на [a, b]. Пусть, например, f ↑ на [a, b]. Тогда для произвольного T отрезка [a, b] на ∆k = [xk−1 , xk ], k = 1, n; a =x0 , xn = b; на каждом ∆k , k = 1, n имеем: Mk = f (xk ), mk = f (xk−1 ), k = 1, n и, следовательно,S(f ; T ) − s(f ; T ) =nXk=1(Mk − mk )∆xk =nXk=1(f (xk ) − f (xk−1 )) ∆xk 6nXk=1(f (xk ) − f (xk−1 )) · d(T ) == [f (x1 ) − f (x0 ) + f (x2 ) − f (x1 ) + · · · + f (xn ) − f (xn−1 )] d(T ) = (f (xn ) − f (x0 )) d(T ) = (f (b) − f (a)) d(T )и S(f ; T ) − s(f ; T ) < ε, если d(T ) <εf (b)−f (a)+1 .2.3.7.
Свойство аддитивности определённого интегралаТеорема. Если f ∈ R[a, b] и c, a < c < b — произвольное, то f ∈ R[a, c] и f ∈ R[c, b]. Обратно, если функцияf ∈ R[a, c] и f ∈ R[c, b], a < c < b, то f ∈ R[a, b]. В обоих случаях справедливоZbaf (x) dx =Zcf (x) dx +aZbf (x) dx.(1)c Рассмотрим сначала случай, когда f ∈ R[a, b] и a < c < b и проверим справедливость третьего критерияинтегрируемости функции на [a, c] и [c, b]. Для этого рассмотрим произвольное ε > 0.
Так как f ∈ R[a, b], то по18третьему критерию интегрируемости существует такое разбиение Te отрезка [a, b], для которого S(f ; Te)−s(f ; Te) <ε. Добавляя точку c к точкам разбиения Te, получим новое разбиение T , для которого s(f ; T ) > s(f ; Te) иS(f ; T ) 6 S(f ; Te) и, следовательно, S(f ; T ) − s(f ; T ) 6 S(f ; Te) − s(f ; Te) < ε. Разбиение T есть T ′ ∪ T ′′ некоторогоразбиения T ′ отрезка [a, c] и T ′′ отрезка [c, b], для которого справедлива формулаS(f ; T ) − s(f ; T ) = S(f ; T ′) − s(f ; T ′ ) + S(f ; T ′′ ) − s(f ; T ′′ ).(2)Так как все разности в формуле (2) неотрицательные и разность в левой её части меньше ε, то S(f ; T ′ ) −s(f ; T ′ ) < ε и S(f ; T ′′ ) − s(f ; T ′′ ) < ε. Так что по третьему критерию интегрируемости, функция f ∈ R[a, c] иf ∈ R[c, b].Пусть теперь f ∈ R[a, c] и f ∈ R[c, b] и число ε > 0 — произвольное.
Согласно третьему критерию интегрируемости, существует такое разбиение T ′ отрезка [a, c], что S(f ; T ′) − s(f ; T ′ ) < 2ε , и такое разбиение T ′′ отрезка[c, b], что S(f ; T ′′ ) − s(f ; T ′′ ) < 2ε . Объединение T ′ ∪ T ′′ образует некоторое разбиение T отрезка [a, b], для которого справедливо (2). Поэтому, S(f ; T ) − s(f ; T ) < 2ε + 2ε = ε. Так что по третьему критерию интегрируемостифункция f ∈ R[a, b].RbRcRbЧтобы доказать формулу (1), обозначим f (x) dx = I, f (x) dx = I1 , f (x) dx = I2 и рассмотрим произaacвольное ε > 0. Согласно определению интеграла Римана, существует такое δ1 > 0, что|I − σ(f ; Tζ )| <ε3(3)для всех размеченных разбиений Tζ отрезка [a, b] с d(Tζ ) < δ1 .
Существует такое δ2 > 0, чтоI1 − σ(f ; T ′ ′ ) < εζ3(4)для всех размеченных разбиений Tζ′ ′ отрезка [a, c] с d(Tζ′ ′ ) < δ2 и существует такое δ3 > 0, чтоI2 − σ(f ; Tζ′′′′ ) < ε3(5)для всех размеченных разбиений Tζ′′′′ отрезка [c, b] с d(Tζ′′′′ ) < δ3 . Положим δ = min(δ1 , δ2 , δ3 ), δ > 0 и рассмотримтакие разбиения Tζ′ ′ с d(Tζ′ ′ ) < δ 6 δ2 и размеченные разбиения Tζ′′′′ отрезка [c, b] с d(Tζ′′′′ ) < δ 6 δ3 , для которыхточка c не входит в наборы ζ ′ и ζ ′′ .Тогда Tζ′ ′ и Tζ′′′′ образует некоторое размеченное разбиение Tζ отрезка [a, b] с d(Tζ ) < δ 6 δ1 , для которогосправедливы формулы σ(f ; Tζ ) = σ(f ; Tζ′ ′ ) + σ(f ; Tζ′′′′ ). Поэтому, с учётом формул (3)—(5), имеем|I − (I1 + I2 )| = |I − σ(f ; Tζ ) − (I1 + I2 − σ(f ; Tζ ))| 66 |I − σ(f ; Tζ )| + |I1 + I2 − σ(f ; Tζ )| = |I − σ(f ; Tζ )| + I1 − σ(f ; Tζ′ ′ ) + I2 − σ(f ; Tζ′′′′ ) 6 ε ε ε6 |I − σ(f ; Tζ )| + I1 − σ(f ; Tζ′ ′ ) + I2 − σ(f ; Tζ′′′′ ) < + + = ε.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
