Главная » Просмотр файлов » В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу

В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581), страница 6

Файл №1109581 В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу) 6 страницаВ.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581) страница 62019-04-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

2.2.8. Третий критерий интегрируемости функцииТеорема. f ∈ R[a, b] ⇔ ∀ ε > 0 ∃ разбиение T отрезка [a, b], для которого S(f ; T ) − s(f ; T ) < ε. Так как множества {s(f ; T )} и {S(f ; T )} обладают свойствами отделимости, то, по принципу отделяющего отрезка, I = I ⇔ для любого ε > 0 ∃ разбиения T1 и T2 отрезка [a, b], для которых выполнено:0 6 S(f ; T1 ) − s(f ; T2 ) < ε. Тогда T1 ∪ T2 = T — некоторое разбиение отрезка [a, b], для которого s(f ; T ) > s(f ; T2 )и S(f ; T ) 6 S(f ; T1 ) и, следовательно, 0 6 S(f ; T ) − s(f ; T ) 6 S(f ; T1 ) − s(f ; T2 ) < ε.По формуле (4): s(f ; T ) 6 I 6 I 6 S(f ; T ) для любого T отрезка [a, b].

2.3. Классы интегрируемых функций2.3.1. Интегрируемость функцийТеорема. Если f ∈ C[a, b], то f ∈ R[a, b]. Так как f ∈ C[a, b], то, по теореме Вейерштрасса, f ограничена на [a, b]. Более того, f — равномерноεнепрерывна на [a, b] и, следовательно, для любого ε > 0 ∃ δ > 0 : ω(f ; ∆) < b−aдля любого ∆ ⊂ [a, b], |∆| < δ.16Рассмотрим произвольное T отрезка [a, b] на ∆k = [xk−1 ; xk ], k = 1, n, a = x0 , xn = b, d(T ) < δ. Тогда |∆k | 6ε, k = 1, n. Поэтомуd(T ) < δ, ∀k = 1, n, и ω(f ; ∆k ) < b−anXnω(f ; ∆k )∆xk <k=1εε X∆xk =(b − a) = ε,b−ab−ak=1∀ T : d(T ) < δ.По второму критерию интегрируемости, f ∈ R[a, b].

2.3.2. Интегрируемость функций с конечным множеством точек разрываТеорема. Всякая функция, определённая и ограниченная на [a, b] и имеющая только конечное число l точекразрыва, интегрируема на [a, b]. (По индукции). Если l = 0, то есть f непрерывна на [a, b], то используем теорему предыдущего пункта.Пусть теорема доказана для всех l < n, и f удовлетворяет её условиям для l = n.

Рассмотрим сначаласлучай, когда f имеет точку разрыва c, внутреннюю для [a, b], a < c < b.Так как f ограничена на [a, b], то ∃ C > 0 : |f (x)| 6 C, ∀ x ∈ [a, b]. Рассмотрим произвольное ε > 0 и точкиεc1 ∈ (a, c), c2 ∈ (c, b), для которых c2 − c1 < 6C. Пусть m = inf f (x) и M = sup f (x). Тогда M 6 C, аx∈[c1 ,c2 ]x∈[c1 ,c2 ]m > −C ⇒ M − m 6 2C и (M − m) · (c2 − c1 ) < 3ε .На отрезках [a, c1 ] и [c2 , b] функция может иметь менее, чем n точек разрыва, и, по предположению индукции,функция интегрируема на каждом из этих отрезков.f ∈ R[a, c1 ] и f ∈ R[c2 , b].

По третьему критерию интегрируемости, ∃ T1 отрезка [a, c1 ] и T2 отрезка [c2 , b],для которых S(f ; T1 ) − s(f ; T1 ) < 3ε и S(f ; T2 ) − s(f ; T2 ) < 3ε . Образуем разбиение T отрезка [a, b] добавлением котрезкам разбиений T1 и T2 отрезка [c1 , c2 ], для которогоS(f ; T ) − s(f ; T ) = S(f ; T1 ) − s(f ; T1 ) + (M − m)(c2 − c1 ) + S(f ; T2 ) − s(f ; T2 ) <ε ε ε+ + = ε.3 3 3По третьему критерию, f ∈ R[a, b].Пусть n = 1 и функция имеет единственную точку разрыва в одной из концевых точек.εПусть x = a — точка разрыва функции f . Рассмотрим c2 ∈ (a, b) : c2 − a < 4C. На [c2 , b] функция непрерывнаε⇒ f ∈ R[c2 , b].

Обозначим M = sup f (x) и m = inf f (x). Тогда (M − m)(c2 − a) < 4C· 2C = 2ε . Поx∈[a,c2 ]x∈[a,c2 ]третьему критерию, ∃ T2 отрезка [c2 , b], для которого S(f ; T2 ) − s(f ; T2 ) < 2ε . Образуем разбиение T отрезка [a, b]добавлением к отрезку разбиения T2 отрезка [a, c2 ], для которого S(f ; T ) − s(f ; T ) = (M − m)(c2 − a) + S(f ; T2 ) −s(f ; T2 ) < 2ε + 2ε = ε. По третьему критерию, f ∈ R[a, b].Аналогично рассматривается случай, когда x = b — единственная точка разрыва. 2.3.3. Применение теоремы пункта 3.2Теорема 2.3. Если f определена на [a, b] и f (x) = 0 для любого x ∈ [a, b] за возможным исключениемRbнекоторого конечного множества K на отрезке [a, b], то f (x) dx = 0.aПо условию теоремы, f ограничена на [a, b] и, следовательно, по теореме пункта 3.2 ∃(p)(p)Rbf (x) dx = I.aРассмотрим произвольное p ∈ N и размеченное разбиение Tζ отрезка [a, b] с d(Tζ ) < p1 с набором точекζ = (ζ1 , .

. . , ζn ), в которых все ζk ∈/ K, что возможно в силу конечности множества K. Тогда(p)σp = σ(f ; Tζ ) =nXk=1Так что lim σp = 0. Так как ∃p→∞f (ζk )∆xk =nXk=1(p)0 · ∆xk = 0, d(Tζ ) <1, p ∈ N.plim σ(f ; Tζ ) = I, то I = 0. d(T )→0Теорема 2.4. Если f ∈ R[a, b]; g — определена и ограничена на [a, b] и g(x) = f (x) для любого x ∈ [a, b] заRbRbвозможным исключением некоторого конечного множества K ⊂ [a, b], то g ∈ R[a, b] и g(x) dx = f (x) dx.aah = g − f ограничена на [a, b] (так как f ∈ R[a, b] и, следовательно, f — ограничена на [a, b]) и h(x) =RbRbRbg(x) − f (x) = 0 для любого x ∈ [a, b] r K.

По теореме 1, h(x) dx = 0 ⇒g(x) dx = f (x) dx (по линейномуaсвойству). 17aa2.3.4. Свойство монотонности определённого интегралаRbТеорема. Если f, g ∈ R[a, b] и f (x) > g(x), x ∈ [a, b], тоf (x) dx >aRbg(x) dx.a Для любого размеченного разбиения Tζ отрезка [a, b] на ∆k = [xk−1 , xk ], k = 1, n, a = x0 , xn = b и набораζ = {ζ1 , . . .

, ζn } , ζk ∈ ∆k , k = 1, n, справедливо:σ(f ; Tζ ) =nXf (ζk )∆xk >k=1nXg(ζk )∆xk = σ(g; Tζ ) (так как ∆xk > 0, k = 1, n),k=1или Φf (Tζ ) > Φg (Tζ ), ∀ Tζ ∈ P.RbRbТак как f (x) dx = lim Φf ; g(x) dx =alim Φf > lim Φg , тоd(T )→0d(T )→0d(T )→0Rbaf (x) dx >aRblim Φg и предел по базе обладает свойством монотонностиd(T )→0g(x) dx. a2.3.5. Интегрируемость произведения функцийЛемма. Если f ∈ R[a, b], то f 2 ∈ R[a, b]. По условию, ∃ C > 0 : |f (x)| 6 C, ∀ x ∈ [a, b] и, следовательно, f 2 ограничена на [a, b]. Для произвольных′x и x′′ ∈ [a, b] справедливо: 2 ′f (x ) − f 2 (x′′ ) = |f (x′ ) − f (x′′ )| · |f (x′ ) + f (x′′ )| 6 (|f (x′ )| + |f (x′′ )|) · |f (x′ ) − f (x′′ )| 6 2C · |f (x′ ) − f (x′′ )| . (1)Рассмотрим произвольное T отрезка [a, b] на отрезке ∆k = [xk−1 ; xk ], k = 1, n.

По (1):ω(f 2 ; ∆k ) 6 2C · ω(f ; ∆k ), k = 1, n и 0 6Так как f ∈ R[a, b], то, по второму критерию,limnPd(T )→0 k=1limnXω(f 2 ; ∆k )∆xk 6k=1nPd(T )→0 k=1nXk=1ω(f ; ∆k ) · ∆xk .(2)ω(f ; ∆k ) · ∆xk = 0, откуда, с учётом (2),ω(f 2 , ∆k ) · ∆xk = 0 ⇒ f 2 ∈ R[a, b] (по второму критерию). Теорема.

Если f и g ∈ R[a, b], то (f · g) ∈ R[a, b]. Так как f · g = 14 (f + g)2 − (f − g)2 и (f ± g) ∈ R[a, b], (f ± g)2 ∈ R[a, b] (по лемме), то f g ∈ R[a, b]. 2.3.6. Интегрируемость монотонной функцииТеорема. Всякая монотонная функция, определённая на [a, b], интегрируема на [a, b]. Пусть, например, f ↑ на [a, b]. Тогда для произвольного T отрезка [a, b] на ∆k = [xk−1 , xk ], k = 1, n; a =x0 , xn = b; на каждом ∆k , k = 1, n имеем: Mk = f (xk ), mk = f (xk−1 ), k = 1, n и, следовательно,S(f ; T ) − s(f ; T ) =nXk=1(Mk − mk )∆xk =nXk=1(f (xk ) − f (xk−1 )) ∆xk 6nXk=1(f (xk ) − f (xk−1 )) · d(T ) == [f (x1 ) − f (x0 ) + f (x2 ) − f (x1 ) + · · · + f (xn ) − f (xn−1 )] d(T ) = (f (xn ) − f (x0 )) d(T ) = (f (b) − f (a)) d(T )и S(f ; T ) − s(f ; T ) < ε, если d(T ) <εf (b)−f (a)+1 .2.3.7.

Свойство аддитивности определённого интегралаТеорема. Если f ∈ R[a, b] и c, a < c < b — произвольное, то f ∈ R[a, c] и f ∈ R[c, b]. Обратно, если функцияf ∈ R[a, c] и f ∈ R[c, b], a < c < b, то f ∈ R[a, b]. В обоих случаях справедливоZbaf (x) dx =Zcf (x) dx +aZbf (x) dx.(1)c Рассмотрим сначала случай, когда f ∈ R[a, b] и a < c < b и проверим справедливость третьего критерияинтегрируемости функции на [a, c] и [c, b]. Для этого рассмотрим произвольное ε > 0.

Так как f ∈ R[a, b], то по18третьему критерию интегрируемости существует такое разбиение Te отрезка [a, b], для которого S(f ; Te)−s(f ; Te) <ε. Добавляя точку c к точкам разбиения Te, получим новое разбиение T , для которого s(f ; T ) > s(f ; Te) иS(f ; T ) 6 S(f ; Te) и, следовательно, S(f ; T ) − s(f ; T ) 6 S(f ; Te) − s(f ; Te) < ε. Разбиение T есть T ′ ∪ T ′′ некоторогоразбиения T ′ отрезка [a, c] и T ′′ отрезка [c, b], для которого справедлива формулаS(f ; T ) − s(f ; T ) = S(f ; T ′) − s(f ; T ′ ) + S(f ; T ′′ ) − s(f ; T ′′ ).(2)Так как все разности в формуле (2) неотрицательные и разность в левой её части меньше ε, то S(f ; T ′ ) −s(f ; T ′ ) < ε и S(f ; T ′′ ) − s(f ; T ′′ ) < ε. Так что по третьему критерию интегрируемости, функция f ∈ R[a, c] иf ∈ R[c, b].Пусть теперь f ∈ R[a, c] и f ∈ R[c, b] и число ε > 0 — произвольное.

Согласно третьему критерию интегрируемости, существует такое разбиение T ′ отрезка [a, c], что S(f ; T ′) − s(f ; T ′ ) < 2ε , и такое разбиение T ′′ отрезка[c, b], что S(f ; T ′′ ) − s(f ; T ′′ ) < 2ε . Объединение T ′ ∪ T ′′ образует некоторое разбиение T отрезка [a, b], для которого справедливо (2). Поэтому, S(f ; T ) − s(f ; T ) < 2ε + 2ε = ε. Так что по третьему критерию интегрируемостифункция f ∈ R[a, b].RbRcRbЧтобы доказать формулу (1), обозначим f (x) dx = I, f (x) dx = I1 , f (x) dx = I2 и рассмотрим произaacвольное ε > 0. Согласно определению интеграла Римана, существует такое δ1 > 0, что|I − σ(f ; Tζ )| <ε3(3)для всех размеченных разбиений Tζ отрезка [a, b] с d(Tζ ) < δ1 .

Существует такое δ2 > 0, чтоI1 − σ(f ; T ′ ′ ) < εζ3(4)для всех размеченных разбиений Tζ′ ′ отрезка [a, c] с d(Tζ′ ′ ) < δ2 и существует такое δ3 > 0, чтоI2 − σ(f ; Tζ′′′′ ) < ε3(5)для всех размеченных разбиений Tζ′′′′ отрезка [c, b] с d(Tζ′′′′ ) < δ3 . Положим δ = min(δ1 , δ2 , δ3 ), δ > 0 и рассмотримтакие разбиения Tζ′ ′ с d(Tζ′ ′ ) < δ 6 δ2 и размеченные разбиения Tζ′′′′ отрезка [c, b] с d(Tζ′′′′ ) < δ 6 δ3 , для которыхточка c не входит в наборы ζ ′ и ζ ′′ .Тогда Tζ′ ′ и Tζ′′′′ образует некоторое размеченное разбиение Tζ отрезка [a, b] с d(Tζ ) < δ 6 δ1 , для которогосправедливы формулы σ(f ; Tζ ) = σ(f ; Tζ′ ′ ) + σ(f ; Tζ′′′′ ). Поэтому, с учётом формул (3)—(5), имеем|I − (I1 + I2 )| = |I − σ(f ; Tζ ) − (I1 + I2 − σ(f ; Tζ ))| 66 |I − σ(f ; Tζ )| + |I1 + I2 − σ(f ; Tζ )| = |I − σ(f ; Tζ )| + I1 − σ(f ; Tζ′ ′ ) + I2 − σ(f ; Tζ′′′′ ) 6 ε ε ε6 |I − σ(f ; Tζ )| + I1 − σ(f ; Tζ′ ′ ) + I2 − σ(f ; Tζ′′′′ ) < + + = ε.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
776,2 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее