В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Применяя формально формулу (1), получим для второго интеграла:+∞Zacos kxdx =xs+∞Za1xssin kxk′sin kx sin kasdx = lim−+sx→+∞kkakZsin kxsin ka sdx = −+s+1xkask+∞Zsin kxdx.xs+1aТак как s + 1 > 1, то последний интеграл сходится (абсолютно), так что, по предыдущей теореме, сходится иисходный интеграл.+∞R |cos kx|Покажем, что он не сходится абсолютно.
Если бы это было так, то есть сходился быdx, то, поxsaскольку |cos kx| > cos2 kx > 0, сходился быдоказанному, то сходился бы интеграл+∞Ra+∞Radx2xs ,2cos kxxsdx =+∞Ra1+cos 2kx2xsdx. Так как+∞Racos 2kx2xsdx сходится, поно последний расходится для s 6 1 ⇒ противоречие. 37Определение. Несобственный интеграл — сходящийся условно, если он сходится, но не сходится абсолютно.+∞R sin kxdx сходится условно.Пример. Интеграл Дирихлеx0Этот интеграл рассматривается на промежутке (0; +∞). Поэтому, формально,+∞ZZ1sin kxdx =x0aФункцияsin kxxsin kxdx +x+∞Zsin kxdx.xsin kx= k < +∞,xx→0+R1 sin xx dx сходится.0— непрерывна на (0, 1] и имеет limследовательно, по теореме пункта 1.1, интеграл(3)1следовательно, она ограничена на (0, 1],Второй интеграл в правой части (3) — сходящийся условно, так как s = 1 (по предыдущему примеру),+∞R sin kxdx = π2 sgn k.
следовательно, сходится условно интеграл Дирихле (материал третьего семестра)x03.3.2. Интегрируемость заменой переменной интегрирования или подстановкой внесобственном интегралеТеорема. Пусть f непрерывна на [a, b), −∞ < a < b 6 +∞, а ϕ ∈ C 1 [α, β), −∞ < α < β 6 +∞, строговозрастает на [α, β) и ϕ(α) = a; ϕ(β−) = b; то есть lim ϕ(τ ) = ϕ(β−) = b. Если сходится интегралRβf (ϕ(τ ))ϕ′ (τ )dτ , то сходитсяαRbf (x) dx и справедливо:aRbτ →β−f (x) dx =aRβf (ϕ(τ ))ϕ′ (τ )dτ .α По условию, образ ϕ([α, β)) = [a, b) и на [α, β) ϕ удовлетворяет условию теоремы о существованиии дифференцируемости обратной функции, по которой на [a, b) существует ϕ−1 = ψ, возрастающая на [a, b),ψ([a, b)) = [α, β); ψ(a) = α, ϕ(b−) = β,то есть lim ψ(x) = β.x→b−Поэтому, для произвольного t : a < t < b, на [a, t] справедлива теорема о замене переменной в определённоминтеграле, по которойψ(t)ZtZf (x) dx =f (ϕ(τ ))ϕ′ (τ )dτ.(5)aαТак как lim ψ(t) = β и интеграл в правой части (4) сходится, тоt→b−limt→b−ψ(t)Z′f (ϕ(τ ))ϕ (τ )dτ =aи, по (5), существует limRtt→b− aПример.+∞Rsin(x2 ) dx,0Zβf (ϕ(τ ))ϕ′ (τ )dτ,αf (x) dx и справедливо (4).
+∞Rcos(x2 ) dx сходятся условно.0+∞+∞ZZ1Z22sin(x ) dx = sin(x ) dx +sin(x2 ) dx.001Так как sin(x2 ) непрерывна на [0, 1], то первый интеграл — интеграл Римана.+∞RR1√ t dt — сходится условно (s = 1 ; k = 1).dt⇒sin(x2 ) dx = 12 sinВо втором интеграле: x2 = t, dx = 2√2tt1Аналогично для+∞Rcos(x2 ) dx. 038(6)3.4. Признак сходимости несобственного интеграла. Приложения3.4.1.
Признак сходимостиТеорема. Если f определена и ограничена на [a, +∞), a > 0, и на каждом отрезке [a, t], t > a имеет+∞RtR f (x)только конечное множество точек разрыва, а F (t) = f (x) dx ограничена на [a, +∞), тоxα dx сходитсяaaпри всех α > 0. По условию, ∃ M > 0 : |F (t)| 6 M ∀ t ∈ [a; +∞), и также F (a) = 0. Кроме того, для любого t > a на [a, t]справедлива теорема об интегрировании по частям в определённом интеграле в полной своей формулировке,согласно которойZtatZtZtZt11F (x)F (t) F (a)F (x)F (t)F (x)f (x) dx =+ α F (x) α+1 dx = α − α + αdx = α + αdx.ααα+1xxxtaxtxα+1aaa(7)a′(F (x) = f (x); x ∈ (a, t)) .+∞R F (x) F (x) M= 0 (α > 0, |F (t)| 6 M, t > a) иdxсходитсяабсолютно(поскольку 6 xα+1α+1α+1xxa+∞+∞R F (x)R F (x)F (t)при x > a и α + 1 > 1), то существует lim+αdx=ααα+1txxα+1 dx, то, по (7), сходится изучаемыйF (t)αt→+∞ tТак как limt→+∞aнесобственный интеграл.
a3.4.2. Неполная формула Стирлинга1Теорема. Существует число c > 0 : n! = cnn+ 2 · e−n [1 + o(1)] , n → ∞. Применим формулу Эйлера–Маклорена к f (x) = ln x, x ∈ [1, n], n ∈ N:ln(n!) =nXln k =k=1Zn1Rn11x ρ(x) dx.1ρ(x) dx =xnx]11+ ln n −2ln x dx + ρ(n) ln n − ρ(1) ln 1 −= [x ln x −где an =Zn1Zn111ρ(x) dx = n ln n + ln n − n + 1 − an , (8)x2Потенцируя, получим:1n! = nn+ 2 e−n e1−an .(9)Покажем, что ∃ lim an = a. Для этого проверим, что сходится несобственный интегралРассмотрим µ(t) =ρ(x) =12− {x} =12n→∞Rp1x ρ(x) dx= a.ρ(x) dx.
ρ(x) имеет лишь конечное множество точек разрыва на [1, n] и ограничена на [0; 1),− x, следовательно, для t : 0 6 t 6 1,Zt 0и µ имеет период T = 1. t11 2 111− x dx =x − x = t − t2 , t ∈ [0, 1]222220По теореме предыдущего пункта, сходитсяиe10µ(t) =1−an+∞R+∞R11x ρ(x) dx= a и a = lim an по определению. Итак, ∃ lim e1−ann→∞n→∞= c [1 + o(1)] , n → ∞, c > 0.
Следовательно, (8) доказана. 3.5. Интеграл Стилтьеса3.5.1. Интегральные суммы СтилтьесаРассмотрим f и g, определённые на [a, b] и произвольное размеченное разбиение Tζ отрезка [a, b] на ∆k =[xk−1 , xk ], |∆k | = ∆k , k = 1, n, a = x0 , xn = b и набор ζ = {ζ1 , . . . , ζn } , ζk ∈ ∆k , 1, n = k.39Числа σ(f ; g; Tζ ) =nPk=1f (ζk ) [g(xk ) − g(xk−1 )] — интегральные суммы f по g, отвечающие размечен-ному разбиению Tζ .Обозначим P — множество всех размеченных разбиений Tζ [a, b] : T : a = x0 < x1 < · · · < xn = b и наборζ = {ζ1 , .
. . , ζn } , ζk ∈ ∆k , k = 1, n, ∆k = [xk−1 ; xk ].Для f и g, определённых на [a, b], рассмотрим функцию (отображение) Ψgf : P → R, определяемую формулой:Ψgf (Tζ ) = σ(f ; g; Tζ ) =nXk=1(1)f (ζk ) [g(xk ) − g(xk−1 )] , ∀Tζ ∈ P.Функция Ψgf обладает свойствами:Предложение 3.3. Для произвольных f1 , f2 , g, определённых на [a, b] и произвольных чисел λ1 , λ2 ∈ Rсправедливо Ψgλ1 f1 +λ2 f2 = λ1 Ψgf1 + λ2 Ψgf2 . Все Ψ определены на P.
Для ∀ Tζ ∈ P, по (1), справедливо:Ψgλ1 f1 +λ2 f2 (Tζ ) = σ(λ1 f1 + λ2 f2 ; g; Tζ ) =nXk=1= λ1nXk=1f1 (ζk ) [g(xk ) − g(xk−1 )] + λ2nXk=1(λ1 f1 (ζk ) + λ2 f2 (ζk )) [g(xk ) − g(xk−1 )] =f (ζk ) [g(xk ) − g(xk−1 )] = λ1 σ(f1 ; g; Tζ ) + λ2 σ(f2 ; g; Tζ ) = λ1 Ψgf1 + λ2 Ψgf2 .Предложение 3.4. Для произвольных f, g1 , g2 , определённых на [a, b] и произвольных чисел λ1 , λ2 ∈ R,справедливо Ψλf 1 g1 +λ2 g2 = λ1 Ψgf1 + λ2 Ψgf2 . Для ∀Tζ ∈ P, по (1), справедливо:Ψfλ1 g1 +λ2 g2 (Tζ ) = σ(f ; λ1 g1 + λ2 g2 ; Tζ ) =nXk=1=nXk=1f (ζk ) [λ1 g1 (xk ) + λ2 g2 (xk ) − λ1 g1 (xk−1 ) − λ2 g2 (xk−1 )] =f (ζk ) [λ1 g1 (xk ) − λ1 g1 (xk−1 )] +nXk=1f (ζk ) [λ2 g2 (xk ) − λ2 g2 (xk−1 )] == λ1 σ(f ; g1 ; Tζ ) + λ2 σ(f ; g2 ; Tζ ) = λ1 Ψgf1 + λ2 Ψgf2 .3.5.2.
Определение интеграла СтилтьесаОпределение 1. Число I ∈ R — интеграл Стилтьеса функции f по g отрезка [a, b], если I = lim Ψgf .d(T )→0Обозначение:I = limd(T )→0Ψgf=Zbf (x) dg(x).aОпределение 2. Говорят, что функция f интегрируема (по Стилтьесу) на отрезке [a, b] по g, если сущеRbствует интеграл f (x) dg(x), где f ∈ Sg [a, b].aЕсли g(x) = x на [a, b], то σ(f ; g; Tζ ) = σ(f, Tζ ) иRbf (x) dg(x) =Rbf (x) dx.aa3.5.3. Свойство линейности интеграла СтилтьесаТеорема 3.5. Если f1 и f2 интегрируемы по g на [a, b], то для произвольных чисел λ1 , λ2 ∈ R f = λ1 f1 +λ2 f2интегрируема по g на [a, b] и справедливо:Zba(λ1 f1 (x) + λ2 f2 (x)) dg(x) = λ1Zba40f1 (x) dg(x) + λ2Zbaf2 (x) dg(x).(2)По условию и определению 1,∃limd(T )→0Ψgf1=Zbf1 (x) dg(x) иlimd(T )→0Ψgf2=aZbf2 (x) dg(x).(3)aТак как, по свойству 1 (пункт 5.1), Ψgf = λ1 Ψgf1 + λ2 Ψgf2 , то, в силу (3) и свойства линейности предела функцииRbRbпо базе, ∃ lim Ψgf = λ1 lim Ψgf1 + λ2 lim Ψgf2 = λ1 f1 (x) dg(x) + λ2 f2 (x) dg(x).
По определению 1,d(T )→0Rbf (x) dg(x) = limd(T )→0ad(T )→0RbΨgf= λ1d(T )→0Rbf1 (x) dg(x) + λ2aaaf2 (x) dg(x). aТеорема 3.6. Если f интегрируема по g1 и g2 на отрезке [a, b], то для произвольных чисел λ1 , λ2 ∈ R fбудет интегрируемой по g = λ1 g1 + λ2 g2 и справедливо:Zbf (x) d(λ1 g1 (x) + λ2 g2 (x)) = λ1aZbf (x) dg1 (x) + λ2aZbf (x) dg2 (x).(4)aПо условию и определениям 1 и 2,∃limd(T )→0Ψgf1=Zbf (x) dg1 (x) иlimd(T )→0Ψgf2=aΨgfТак какс учётом (5):=λ1 Ψgf1∃+ λ2 Ψgf2limd(T )→0ΨgfZbf (x) dg2 (x).a(по свойству 2) и предел по базе d(T ) → 0 обладает свойством линейности, то,= λ1 limd(T )→0Ψgf1+ λ2 limd(T )→0Ψgf2= λ1Zbf (x) dg1 (x) + λ2aПо определению 1,Rba(5)f (x) dg(x) = lim Ψgf = λ1d(T )→0RbZbf (x) dg2 (x).af (x) dg1 (x) + λ2aRbf (x) dg2 (x). a3.5.4.
Существование интеграла СтилтьесаТеорема. Всякая функция, непрерывная на отрезке [a, b], интегрируема по любой функции g ограниченнойвариации на [a, b].Так как g = g1 − g2 , gi , i = (1, 2) ↑ на [a, b], то, в силу свойства линейности интеграла Стилтьеса,Теорема. Всякая функция, непрерывная на [a, b], интегрируема по любой функции g, возрастающей на[a, b]. Доказательство — дополнительный материал на распечатках. 3.5.5. Интегрируемость по частям в интеграле СтилтьесаТеорема. Если f интегрируема по g на [a, b], то g будет интегрируема по f и справедливо:Zbaf (x) dg(x) = f (b)g(b) − f (a)g(a) −Zbg(x) df (x).(6)a Рассмотрим произвольное Tζ [a, b] : a = x0 < · · · < xn = b и ζ = {ζ1 , .
. . , ζn }, где ζk ∈ ∆k = [xk−1 , xk ], k =1, n. По формуле (1),σ(g; f ; Tζ ) =nXk=1g(ζk ) [f (xk ) − f (xk−1 )] == g(ζ1 ) [f (x1 ) − f (x0 )] + g(ζ2 ) [f (x2 ) − f (x1 )] + . . . + g(ζn ) [f (xn ) − f (xn−1 )] == −f (x0 )g(x0 ) − f (x0 ) [g(ζ1 ) − g(x0 )] − f (x1 ) [g(ζ2 ) − g(ζ1 )] − .
. . − f (xn ) [g(xn ) − g(ζn )] + f (xn )g(xn ) == −f (x0 )g(x0 ) + f (xn )g(xn ) −41n+1Xk=1f (xk−1 ) [g(ζn ) − g(ζn−1 )] , (7)где переобозначено ζ0 = a и ζn+1 = b.Рассмотрим Tµ′ : a = ζ0 6 . . . 6 ζn+1 = b и набор x = {x0 , . . . , xn }, тогда (7) переходит в (8):′Диаметр d(T ) =σ(g; f ; Tζ ) = f (b)g(b) − f (a)g(a) − σ(f ; g; Tµ′ ).max06k6n+1(8)|ζk − ζk−1 | = (ζl − ζl−1 ) 6 ∆xl + ∆xl+1 6 2d(Tζ ). Таким образом,По условию теоремы, ∃ I =Rbad(Tµ′ )6 2d(Tζ ).f (x) dg(x) = lim σ(f ; g; Tζ ). Так что для любого ε > 0 ∃ δ > 0 :d(T )→0(9)|I − σ(f ; g; Tζ )| < ε, ∀ Tζ : d(Tζ ) < δ.Пусть δ ′ = δ2 > 0 и рассмотрим произвольноеразмеченноеразбиение Tζ : d(Tζ ) < δ ′ . Тогда d(Tµ′ ) 6 2d(Tζ ) <′2δ = δ, следовательно (по формуле (9)), I − σ(f ; g; Tµ ) < ε.По (8), |σ(g; f ; Tζ ) − [f (b)g(b) − f (a)g(a) − I]| = σ(f ; g; Tµ′ ) − I < ε для всех разбиений Tζ : d(Tζ ) < δ ′ , δ ′ =Rbδ ′ (ε) > 0, то есть f (b)g(b) − f (a)g(a) − I = lim σ(g; f ; Tζ ) = g(x) df (x), что равносильно (6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
