В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Случаи t0 = a, t0 = b проверяются аналогично.Zba2Zbx(t)y(t) dt 6a2x (t) dt ·Zby 2 (t) dt.(3b )aНеравенство принадлежит В. Я. Буняковскому1.Метрика в RmmPстандартное скалярное произведение hx, yi =xi y i . Тогда x − y = (x1 − y 1 , . . . , xm − y m )4.1.4.Рассмотрим в Rmи hx − y, x − yi =mPi=1i=1i 2i(x − y ) .pФункция dm (x, y) =hx − y, x − yi =smPi=1обладает свойствами:(xi − y i )2 , называемая расстоянием между векторами x и y,1. dm (x, y) = 0 ⇔ x = y;2. dm (x, y) 6 dm (x, z) + dm (y, z).dm (x, y) =mXi=16mXi=1ii 2(x − y )ii 2(x − z )! 12! 12=+mX i2x − z i + z i − yii=1mXi=1ii 2(y − z )! 12! 216mX ix − z i + y i − z i 2i=1! 126= dm (x, z) + dm (y, z) — неравенство Минковского при p = 2.Если m = 1, R1 = R, то d1 (x, y) = |x − py|.Если m = 2, R2 = R × R, то d2 (x, y) = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 .Теорема. Rm — m–мерное евклидово и метрическое пространство.smP1mmДля произвольной x = (x , .
. . , x ) ∈ R число dm (x, 0) =(xi )2 называют длиной вектора x ∈ Ri=1(нормой x) и обозначают kxkm =1АmPi=1(xi )2 12, kxkm =phx, xi.также Шварцу, Коши и многим другим математикам, получившим его независимо от Буняковского. В англоязычной литературе пишут «Schwartz inequality». (прим. ред.)464.1.5.Углы. ОртогональностьmРассмотрим произвольные x, y ∈ R , x 6= 0, y 6= 0. Тогда kxkm > 0, kykm > 0 и из (3) следует |hx, yi| 6kxkm · kykm .
hx, yi kxk kyk 6 1.mmВсякое число |r| 6 1 равно значению cos α для некоторого α ∈ [0; π].hx, yi = kxkm kykm cos ϕ, ϕ ∈ [0, π].(5)mЧисло ϕ называют углом между векторами x, y ∈ R .При m = 2, 3 формула (5) была определением скалярного произведения.RbЕсли X = C[a, b], то функции x, y ∈ X ортогональны, если x(t)y(t) dt = 0.a4.2. Множества в метрическом пространстве4.2.1.Метрические пространстваОпределение 1. Метрикой (расстоянием) в непустом множестве X называют функцию, ставящую в соответствие каждой упорядоченной паре (x, y) элементов из X действительное число (назовём его расстояниемот x до y и обозначим символом d(x, y)), такое, что выполнены следующие условия (аксиомы метрики):1. d(x, y) 6 d(x, z) + d(y, z) для произвольных (x, y, z) ∈ X 3 ;2.
d(x, y) = 0 ⇔ x = y.Если положить z = x в неравенстве аксиомы (1) и воспользоваться аксиомой (2), то получим d(x, y) 6d(x, x) + d(y, x) = d(y, x) и аналогично d(y, x) 6 d(x, y), то есть d(x, y) = d(y, x) (расстояние от x до y равнорасстоянию от y до x).Если положить y = x в неравенстве аксиомы (1) и воспользоваться (2), то получим 0 = d(x, x) 6 2d(x, z),откуда заключаем, что d(x, z) > 0 для произвольных (x, z) ∈ X 2 .(1) ⇒ d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y), то есть неравенство треугольника.Определение 2.
Непустое множество с определённой на нём метрикой называется метрическим пространством и обозначается (X; d).Вместо (Rm , dm ) пишем Rm , m > 1 (как для множества Rm ).На Rm можно определить бесконечно много метрик, из которых выделим одну:а) для произвольных x = (x1 , . . . , xm ), y = (y 1 , . . . , y m ) из Rm функция d1m (x, y) = max xi − y i определяет16i6mметрику.4.2.2.Шары, δ—окрестностиРассмотрим произвольное метрическое пространство (X; d).
Множество U(a; r) = {x ∈ X | d(x, a) < r} называется открытым шаром в Xс центром a ∈ X и радиусом r.Если X = R1 , то U(a; r) = x ∈ R1| |x − a| < r = (a − r; a + r) ⊂ R. 22При m = 2, X = R2 , U((a; b), r) = (x, y)b)2 < r2 . ∈ R | (x −3 a) + (y −32При m = 3, X = R , U((a, b, c), r) = (x, y, z) ∈ R | (x − a) + (y − b)2 + (z − c)2 < r2 — шар с центром вточке (a, b, c) и радиусом r.Определение 1.
δ—окрестностью (δ > 0) точки a ∈ (X; d) называют открытый шар U(a, δ).Если (X; d) = (Rm , dm ) = Rm , то при m = 1 U(a, δ) = (a − δ, a + δ).При m = 2 имеем U((a, b), δ) — окрестность радиуса δ.4.2.3.Общее понятие окрестностиОпределение 2. Окрестностью точки в метрическом пространстве назовём любое подмножество метрического пространства, содержащее некоторую δ—окрестность этой точки.Так, множество U является окрестностью точки a ∈ X, если U ⊂ X и U ⊃ U(a, δ).
Заметим, что a ∈ U(a, r)(ибо d(a, a) = 0 < r) и если 0 < r1 < r2 , то шар U(a, r1 ) < U(a, r2 ) (в силу неравенства d(x, a) < r1 < r2 ). Любаяδ—окрестность точки есть её окрестность в смысле определения 2.B(a; r) = {x ∈ X | d(x, a) 6 r} — замкнутый шар.Также всё множество X есть окрестность каждой своей точки a ∈ X, так как U(a, δ) ⊂ X.47В метрическом пространстве (X; d) рассмотрим U(a, r) — открытый шар с центром a и радиуса r > 0.
Тогдаa ∈ U(a, r).Теорема 1. Любой открытый шар в метрическом пространстве есть окрестность каждой своей точки. Рассмотрим произвольную U(a, r), a ∈ X, r > 0 и рассмотрим произвольную точку x ∈ U(a, r), так чтоd(x, a) < r и δ = r − d(x, a) > 0. Докажем, что U(x; δ) ⊂ U(a; r).Действительно, для любой y ∈ U(x, δ)(d(y, x) < δ) справедливо неравенство d(y, a) 6 d(y, x) + d(x, a) <r − d(x, a) + d(x, a) = r, так что y ∈ U(a, r) и, следовательно, U(x, δ) ⊂ U(a, r). 4.2.4.Свойства окрестностей точек метрического пространстваТеорема. Окрестности точки в метрическом пространстве обладают свойствами:1) всякое множество метрического пространства, содержащее окрестность точки — окрестность.2) пересечение любых двух окрестностей точки образует окрестность этой точки.3) точка принадлежит всем своим окрестностям.4) любая окрестность точки метрического пространства содержит такую окрестность этой точки, которая будет окрестностью каждой своей точки.5) (свойство отделимости): для любых различных точек метрического пространства можно указать такиеих δ—окрестности, которые не пересекаются.
Рассмотрим метрическое пространство (X; d) и произвольную a ∈ X. Обозначим символом U(a) системувсех окрестностей точки a в (X; d).1) Рассмотрим произвольное множество U ∈ U(a) и произвольное множество V ⊂ X такое, что V ⊃ U. Поопределению, существует δ > 0 такое, что U(a, δ) ⊂ U ⊂ V, следовательно, U(a, δ) ⊂ V, следовательно, V —окрестность по определению.2) Рассмотрим произвольные U1 , U2 ∈ U(a). По определению, ∃ δ1 > 0, δ2 > 0 такие, что U(a, δi ) ⊂ Ui (i = 1, 2).Положим δ = min(δ1 , δ2 ). Тогда U(a, δ) ⊂ U(a, δi ) и, следовательно, U(a, δ) ⊂ Ui .
Тогда U ⊂ U1 ∩U2 , следовательно,U1 ∩ U2 ∈ U(a).3) Рассмотрим произвольное U ∈ U(a). По определению, ∃ δ > 0 такое, что U(a, δ) ⊂ U. Так как точкаa ∈ U(a, δ)(d(a, a) = 0), то a ∈ U.4) Рассмотрим произвольное U ∈ U(a). По определению, ∃ δ > 0 такое, что U(a; δ) ⊂ U. По теореме 1, U(a, δ)удовлетворяет условиям утверждения.и предположим, что U(a, δ) ∩ U(b, δ) 6= ∅,5) Пусть a, b ∈ X и a 6= b, так что d(a, b) > 0.
Положим δ = d(a,b)3так что ∃ x ∈ U(a, δ) ∩ U(b, δ), для которого d(x, a) < δ, d(x, b) < δ, следовательно, d(a, b) 6 d(a, x) + d(x, b) <δ + δ = 23 d(a, b) < d(a, b), следовательно, U(a, δ) ∩ U(b, δ) = ∅. Следствие. Система окрестностей U(a) любой точки метрического пространства образует базу в метрическом пространстве.
Прямое следствие свойств 2, 3 и определения базы. 4.2.5.Открытые и замкнутые множества метрического пространстваОпределение 1. Множество G ⊂ (X; d) называется открытым множеством, если каждая его точка входитв G вместе с некоторой своей δ-окрестностью.Примеры:1) U(a; r); a ∈ X, r > 0 — открытое множество.2) X — открытое множество.3) ∅ — открытое множество.4) дополнение замкнутого шара G(a; r) = X r B(a; r) = {x ∈ X | d(x; a) > r} — открытое множество.Действительно, рассмотрим произвольное y ∈ G(a; r), то есть d(y, a) > r и положим δ = d(y; a) − r > 0.Если U(y, δ) ∩ B(a; r) 6= ∅, то для z ∈ U(y, δ) ∩ B(a; r) справедливо: d(z; y) < δ и d(z; a) 6 r, тогда d(y; a) 6d(z; y) + d(z; a) < δ + r = d(y; a), следовательно, U(y, δ) ∩ B(a; r) = ∅, следовательно, U(y, δ) ⊂ G(a; r).Теорема. Открытые множества метрического пространства обладают свойствами:1) объединение любого непустого набора открытых множеств есть открытое множество.2) пересечение двух (а следовательно, и любого конечного набора) открытых множеств образует открытоемножество.3) ∅ — открытое.4) всё X — открытое.
Свойства (3) и (4) установлены в примерах (примеры 2.3).1) РассмотримSпроизвольный непустой набор {Gα } , α ∈ A открытых множеств Gα в пространстве X имножество G =Gα . Рассмотрим произвольное x ∈ G, тогда x ∈ Gα0 для некоторого α0 ∈ A и Gα0 —α∈A48окрестность точки x в пространстве (X; d), ибо Gα0 — открытое множество. Тогда Gα0 ⊂ G, следовательно, G— открытое множество.2) Рассмотрим произвольные открытые множества G1 , G2 в (X; d) и множество G = G1 ∩ G2 . Если G = ∅,то G — открытое. Если G 6= ∅, то для любой его точки x ∈ G = G1 ∩ G2 , то есть x ∈ G1 и x ∈ G2 . Так какGi , i = 1, 2 — открытое, то по определению Gi — окрестности точки x. Тогда G1 ∩ G2 также окрестность точкиx, то есть G — открытое множество.
Определение 2. Множество F метрического пространства (X; d), F ⊂ X, называется замкнутым множеством, если его дополнение X r F — открытое множество.Примеры:1) Замкнутый шар B(a; r), a ∈ X, r > 0.2) X — замкнутое множество.3) ∅ — замкнутое.Теорема. Замкнутые множества в (X; d) обладают свойствами:1) пересечение произвольного непустого набора замкнутых множеств образует замкнутое множество.2) объединение любых двух замкнутых множеств есть замкнутое множество.3) ∅ — замкнуто.4) X — замкнуто.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
