В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Пусть a = lim xn , то есть lim dm (xn , a) = 0. Так как d1m 6 dm , тоn→∞n→∞ ixn − ai 6 d1m (xn ; a) 6 dm (xn , a)для каждого 1 6 i 6 m. Следовательно, lim xin − ai = 0, i = 1, m, или ai = lim xin .n→∞√n→∞Достаточность. Пусть lim xin = ai , i = 1, m. Тогда lim d1m (xn , a) = 0. Так как dm 6n→∞n→∞√ 1mdm , то dm (xn , a) 6md1m (xn , a), и, следовательно, lim dm (xn , a) = 0 или a = lim xn . n→∞n→∞Последовательность (xin ), 1 6 i 6 m, называется фундаментальной (илиКоши), если последовательностьюдля произвольного ε > 0 существует Ni ∈ N, Ni = Ni (ε), 1 6 i 6 m, что xip − xiq < ε для всех p, q ∈ N, p, q >Ni , 1 6 i 6 m.Определение 1. Последовательность (xn ), xn ∈ Rm , n ∈ N. называется фундаментальной последовательностью (или последовательностью Коши), если для произвольного ε > 0 существует N ∈ N, N = N (ε), чтоdm (xp , xq ) < ε для всех p, q ∈ N, p, q > N .Теорема 2 (критерий фундаментальной последовательности в Rm ). Последовательность (xn ), xn =∈ Rm , n ∈ N, будет фундаментальной в Rm тогда и только тогда, когда каждая её координатнаяпоследовательность (xin ) — фундаментальная.
Необходимость. Пусть (xn ), xn ∈ Rm , n ∈ N — фундаментальная в смысле определения 1, то есть,для произвольного ε > 0 существует N ∈ N, N = N (ε), что dm (xp , xq ) < ε для всех p, q ∈ N, p, q > N .Так как d1m 6 dm , то d1m (xp , xq ) < ε для всех p, q ∈ N, p, q > N и, следовательно, xip − xiq 6 d1m (xp , xq ) < εдля всех p, q ∈ N, p, q > N ; то есть, каждая (xin ), i = 1, m — фундаментальная.Достаточность. Пусть каждая (xin ), i = 1,m — фундаментальная.Рассмотрим произвольное ε > 0.
Тогдасуществует Ni ∈ N, Ni = Ni (ε), 1 6 i 6 m, что xip − xiq 6 √εm для всех p, q ∈ N, p, q > Ni .Обозначим N = max(N1 , . . . , Nm ). Тогда неравенство xip − xiq < √εm справедливо для всех p, q ∈ N, p, q > N ,√и всех i, 1 6 i 6 m, или d1m (xp , xq ) < √εm для всех p, q ∈ N, p, q > N . Поэтому dm (xp , xq ) 6 md1m (xp , xq ) < εдля всех p, q ∈ N, p, q > N , то есть (xn ) — фундаментальная в Rm . (x1n , . .
. , xmn)Теорема 3 (критерий сходящейся последовательности в Rm ). Последовательность (xn ) точек xn ∈R , n ∈ N сходится тогда и только тогда, когда (xn ) — фундаментальная (или последовательность Коши). Прямое следствие теорем 1, 2 и критерия Коши сходимости числовой последовательности. m4.3.3.Полные метрические пространстваОпределение 2. Метрическое пространство называется полным, если в нём сходится каждая последовательность Коши.Пример. Пространства Rm , m > 1 — полные.Определение 3. Последовательность (xn ) точек xn , n ∈ N из метрического пространства (X; d) называютфундаментальной (или последовательностью Коши), если для любого числа ε > 0 существует N ∈ N, N = N (ε),что d(xp , xq ) < ε для всех p, q ∈ N, p, q > N .Утверждение.
Всякая сходящаяся последовательность в метрическом пространстве — фундаментальная. Пусть (X; d) — метрическое пространство и последовательность (xn ), xn ∈ X, n ∈ N — фундаментальная, имеет lim xn = a, a ∈ X. Рассмотрим произвольное ε > 0.
Согласно определению, существуетn→∞N ∈ N, N = N (ε), что d(xn , a) <всех p, q ∈ N, p, q > N . ε2для всех n > N , тогда d(xp , xq ) 6 d(xp , a) + d(xq , a) <52ε2+ε2= ε для4.3.4.Предел отображений метрических пространствРассмотрим произвольные метрические пространства (X; d) и (Y, ρ) и произвольную базу B в X.Определение 4. Элемент b ∈ Y есть предел отображения f из X в Y по базе B, если для произвольногоε > 0 существует элемент Bε базы B, что ρ(f (x), b) < ε справедливо для всех точек x ∈ Df ∩ Bε .Напомним, что в (X; d) система U(a) окрестностей точки a ∈ X образует базу.Определение 5.
Отображение из Rm , m > 1 в R1 называют функцией (от) m действительных переменных.Если Df ⊂ Rm — область определения функции f , то для любой точки x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Df ⊂ Rm числоf (x) = f (x1 , . . . , xm ) называют значением функции f в точке x.Если m = 2, обозначают f (x, y); если m = 3, обозначают f (x, y, z).Отображение f из Rm , m > 1 в R1 .f (x) = f (x1 , .
. . , xm ), Df ⊂ Rm .Rf — числовое множество.Определение. Число l = lim f (x), где B — база в RmBтогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует Bε ∈ B, что |f (x) − l| < ε для всех x ∈ Bε .тогда и только тогда, когда для любой окрестности V числа l в R1 = R существует B ∈ B, что f (B ∩ Df ) ⊂ V.Примеры баз1. Система U(a), a = (a1 , . . . , am ) ∈ Rm — база в Rm ;2. Если a — точка прикосновения дляRm и a — не изолированная точка множества E, то множества E ⊂ ◦есть для любой U(a, r) ∩ E 6= ∅, r > 0,◦◦E ∩ U(a; r) | r > 0◦— база в Rm , обозначаемая E ∋ x → a.◦◦3. Если существует U(a; r0 ), r0 > 0, что U(a; r0 ) ⊂ E, то есть U (a; r0 ) ∩ E = U(a; r0 ), то база E ∋ x → a◦обозначается x → a = U(a; δ); δ > 0 .4.
{G(a; r); r > 0} — база в Rm , обозначается x → +∞ , m > 2.l = lim f (x) тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x ∈ E = DfE∋x→aи 0 < dm (x, a) < δ справедливо |f (x) − l| < ε (или d1 (f (x), l) < ε).Теорема (локальные свойства функций, имеющих предел по базе).
Если функции f (x), g(x), x =(x1 , . . . , xm ) ∈ E = Df = Dg имеют пределы lim f (x) = l1 , lim g(x) = l2 , тоE∋x→a1) существует2) существуетE∋x→alim (λ1 f (x) + λ2 g(x)) = λ1 l1 + λ2 l2 для любых λ1 , λ2 ∈ R;E∋x→alim f (x)g(x) = l1 l2 ;E∋x→a3) если l2 6= 0, то существуетlim f (x)E∋x→a g(x)=l1l2 ;4) функции f (x) и g(x) ограничены в некоторой U(a; r0 ) r0 > 0, то есть |f (x)| 6 M, |g(x)| 6 M с некоторымM > 0 для всех x ∈ E = Df = Dg и x ∈ U(a; r0 );◦5) если f (x) 6 g(x) для всех x ∈ E = Df = Dg и x ∈ U(a; r0 ) для некоторого r0 > 0, то l1 =lim f (x) 6E∋x→alim g(x) = l2 ;E∋x→a◦◦6) если l2 6= 0, то существует U(a; δ0 ), δ0 > 0, что g(x) 6= 0, x ∈ E ∩ U(a, δ0 ) и sgn g(x) = sgn l2 для всех◦x ∈ E ∩ U(a; δ0 ), E = Dg ;◦7) если f (x) 6 h(x) 6 g(x) для всех x ∈ U (a; δ0 ) для некоторого δ0 > 0 и x ∈ E = Df = Dg = Dh и l1 = l2 , тосуществует lim h(x) = l и l = l1 = l2 .E∋x→a4.3.5.Непрерывность функции нескольких переменныхОпределение 1.
Функция f (x) = f (x1 , . . . , xm ) называется непрерывной в x0 = (x10 , . . . , xm0 ), если1) x0 ∈ Df ⊂ Rm ;2) для произвольного ε > 0 существует такое δ > 0, что |f (x) − f (x0 )| < ε для всех x ∈ Df и dm (x, x0 ) < δ.Утверждение. Если x0 ∈ Df , f (x) = f (x1 , . . . , xm ), x0 = (x10 , .
. . , xm0 ) и x0 — не изолированная точкамножества Df = E, то функция f (x) непрерывна в x0 ⇔ f (x0 ) = lim f (x) ⇔ существует lim f (x) = lE∋x→x0E∋x→x0и l = f (x0 ).Если Df = G — открытое множество в Rm , то любая точка x0 ∈ G вместе с некоторой своей окрестностьюU(x0 ; r0 ), r0 > 0, и тогда вместо lim f (x) пишут lim f (x).E∋x→x0x→x053Итак, если Df = G — открытое множество в Rm , x0 ∈ G, то f (x) непрерывна в x0 ⇔ для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что |f (x) − f (x0 )| < ε справедливо для всех x, dm (x, x0 ) < δ (0 6 δ 6 r0 , U(x0 ; r0 ) ⊂ Df ) ⇔для любой окрестности V числа f (x0 ) в R1 существует такая окрестность U точки x0 в Rm , x0 ∈ U ⊂ G, чтообраз f (U) ⊂ V.Теорема (критерий непрерывности функции в точке).
Функция f (x) непрерывна в x0 ∈ E = Df ⇔для любой последовательности (xn ), xn = (x1n , . . . , xmn ) ∈ E, n ∈ N, lim xn = x0 , числовая последовательностьn→∞(f (xn )) имеет lim f (xn ) = f (x0 ).n→∞Теорема (локальные свойства непрерывных функций). Если функции f (x), g(x) непрерывны в x0 =m(x10 , . . . , xm0 ) ∈ E = Df = Dg ⊂ R , то:1) λ1 f (x) + λ2 g(x) непрерывна в x0 для всех λ1 , λ2 ∈ R;2) f (x)g(x) непрерывна в x0 ;3) функции f (x) и g(x) ограничены в некоторой окрестности U(x0 );(x)непрерывна в x0 ;4) если g(x0 ) 6= 0, то fg(x)5) если g(x0 ) 6= 0, то существует U(x0 , δ0 ), δ0 > 0, что sgn g(x) = sgn g(x0 ) для всех x ∈ E = Dg ∩ U(x0 , δ0 ).4.3.6.Предел отображения из Rm в RnОпишем структуру отображения f из Rm в Rn .
Область его определения Df ⊂ Rm , то есть аргумент x =(x , . . . , xm ) ∈ Df ⊂ Rm .Значение f (x) = (f 1 (x), . . . , f n (x)) ∈ Rn , где каждая функция f k (x) = f k (x1 , . . . , xm ), Df = Df k , Df k ⊂mR , k = 1, n. В частности, если m = 1, имеем отображение из R1 = R в Rn , у которого Df — числовоемножество (Df ⊂ R), аргумент x ∈ R — число, а значение f (x) = (f 1 (x), . . . , f n (x)), где f k (x), k = 1, n —числовые функции и Df k = Df — числовое множество.Отображение f (x) = (f 1 (x), . . . , f n (x)), x ∈ E = Df = Df k , k = 1, n — числовое множество, называетсявекторной функцией.Определение 2.
Точка A = (A1 , . . . , An ) ∈ Rn называется пределом отображения f из Rm в Rn ⊂ Df =Df k = E ⊂ Rm , k = 1, n по базе E ∋ x → a, a = (a1 , . . . , am ) ∈ Rm , если для любого ε > 0 существует δ > 0, чтоdn (f (x), A) < ε для всех x ∈ E = Df и 0 < dm (x, a) < δ.Обозначается A = lim f (x).1E∋x→aТеорема. A =lim f (x) тогда и только тогда, когда для каждого k, k = 1, n справедливо равенствоE∋x→aAk =lim f k (x) =E∋x→aНеобходимость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
