В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581), страница 17
Текст из файла (страница 17)
. . + am xm равномерно непрерывна наmR .4.4. Глобальные свойства непрерывных отображений4.4.1.Линейно связные множества в RmОпределение 1. Непрерывной кривой Γ в Rm называют всякую непрерывную функцию (вектор–функцию)x = ϕ(t), областью определения Dϕ которой служит некоторый отрезок [α, β] ⊂ R. То естьΓ = (ϕ1 (t), .
. . , ϕm (t)) | ϕi (t) ∈ C[α, β], [α, β] ⊂ R, i = 1, m .Точки с координатами (ϕ1 (α), . . . , ϕm (α)) и (ϕ1 (β), . . . , ϕm (β)) ∈ Rm называются концевыми точками кривой Γ.Прямолинейный отрезок [a, b] с концевыми точками a = (a1 , . . . , am ), b = (b1 , . . . , bm ) ∈ Rm , задаваемыйвектор–функцией x = x(t) = (x1 (t), .
. . , xm (t)) и xi (t) = tbi + (1 − t)ai , t ∈ [0, 1], i = 1, m.x(0) = a, x(1) = b, и все xi (t)m, i = 1, m непрерывны на [0, 1].Определение 2. Множество E ⊂ Rm называют линейно связным, если для любых его точек x1 , x2 ∈ Eможно указать непрерывную кривую Γ, лежащую в E и соединяющую x1 и x2 .Определение 3. Всякое открытое и линейно связное множество в Rm называется областью в Rm .Определение 4. Множество E ⊂ Rm называется выпуклым, если вместе с любыми своими точками x1 , x2 ∈E оно содержит прямолинейный отрезок [x1 , x2 ].Утверждение. Любой открытый шар U(a; r), a = (a1 , .
. . , am ) ∈ Rm , r > 0, есть выпуклая область в Rm . Шар U(a; r) — открытое множество в Rm . Рассмотрим произвольные точки x1 = (x11 , . . . , xm1 ) и x2 =1(x2 , . . . , xm2 ), лежащие в U(a; r), то есть dm (xk , a) < r, k = 1, 2.Прямолинейный отрезок [x1 , x2 ] задаётся вектор-функциейx(t) = x1 (t), . . . , xm (t) , xi (t) = txi2 + (1 − t)xi1 , t ∈ [0, 1], i = 1, m.С учётом dm (xk , a) < r, k = 1, 2, и неравенства Минковского, имеем оценку (в этой выкладке все суммы поиндексу i от 1 до m):qX qX2dm (x(t), a) =(xi (t) − ai )2 =txi2 + (1 − t)xi1 − tai − (1 − t)ai =qX 2t(xi2 − ai ) + (1 − t)(xi1 − ai ) 6=qXqX6t2 (xi2 − ai )2 +(1 − t)2 (xi1 − ai )2 = t · dm (x2 , a) + (1 − t) dm (x1 , a) < t r + (1 − t) r = r.Итак, отрезок [x1 , x2 ] ⊂ U(a, r), то есть U(a, r) — выпуклая область в Rm .
4.4.2.Непрерывный образ линейно связного множества в RmТеорема. Если E — линейно связное множество в Rm , то для любого непрерывного по E отображения fв Rm множество f (E) — связное в Rn . Рассмотрим произвольные y1 , y2 ∈ f (E) ⊂ Rn и выберем некоторые x1 , x2 ∈ E такие, что f (x1 ) =y1 , f (x2 ) = y2 .Так как E — линейно связное, то существует непрерывная кривая Γ, соединяющая x1 и x2 и лежащая в E;то есть, существует непрерывная вектор–функция x = ϕ(t) = (ϕ1 (t), . . . , ϕm (t)), t ∈ [α, β] ⊂ R, что ϕ(t) ∈ E, t ∈[α, β] и ϕ(α) = x1 , ϕ(β) = x2 .Композиция (f ◦ ϕ)(t) непрерывных отображений f и ϕ — непрерывная вектор–функция, определённая на[α, β]. При этом F (α) = f (ϕ(α)) = f (x1 ) = y1 и F (β) = f (ϕ(β)) = f (x2 ) = y2 , а также F ([α, β]) = f (Γ) ⊂ f (E).Таким образом, f (Γ) непрерывно в f (E) и f (E) — связное в Rn .
574.4.3.Непрерывные отображения компактов в RnРассмотрим произвольный компакт C в Rm .Теорема 1. Если отображение f : C → Rn непрерывно на C, то f равномерно непрерывно на C. Так как отображение f непрерывно в произвольной точке x T∈ C, то для любого ε > 0 существуетδ = δ(x, ε) > 0, δ = δ(x), что dn (f (x′ ), f (x)) < 3ε для всех x′ ∈ U(x, δ(x)) C ⊂ Rm . Тогдаε ε+ <ε3 3TS, x ∈ C. ТогдаV(x) ⊃ C есть открытоедля любых x′ , x′′ ∈ U(x, δ(x)) C. Обозначим V(x) = U x, δ(x)2dn (f (x′ ), f (x′′ )) 6 dn (f (x′ ), f (x)) + dn (f (x′′ ), f (x)) <x∈Cпокрытие компакта C, которое обязано содержать некоторое конечное покрытие V(x1 ), .
. . , V(xk ) компакта C,kSто естьV(xj ) ⊃ C. Положим δ = min δ(x2 1 ) , . . . , δ(x2k ) , δ > 0, δ = δ(ε).j=1Рассмотрим произвольные x′ , x′′ ∈ C, для которых dm (x′ , x′′ ) < δ. Существует V(xj ) ∋ x′ , то есть dm (x′ , xj ) <δ(xj )2 . Тогдаδ(xj )δ(xj ) δ(xj )6+= δ(xj ),dm (x′′ , xj ) 6 dm (x′′ , x′ ) + dm (x′ , xj ) < δ +222то есть x′′ ∈ U(xj , δ(xj )) и x′ ∈ U(xj , δ(xj )), так что dn (f (x′ ), f (x′′ )) < ε.
C.Теорема 2. Если отображение f : C → Rn непрерывно на компакте C, то отображение f ограничено на Как и в доказательстве теоремы 1, заключаем, что для произвольной точки x ∈ C существует такаяеё окрестность U(x) ⊂ Rm , в которой непрерывной отображение f локальноограничено, то есть существуетSM = M (x) > 0, что dn (f (x′ ), 0) 6 M (x) для всех x′ ∈ U(x) ∩ C. Так какU(x) ⊃ C, то это открытое покрытиеx∈Cкомпакта C содержит некоторое конечное покрытие U(x1 ), . . .
, U(xk ), то есть C ⊂kSj=1U(xj ).Положим M = max(M (x1 ), . . . , M (xk )), M > 0. Для любой x ∈ C существует U(xj ) ∋ x, и, следовательно,dn (f (x), 0) 6 M (xj ) 6 M . Теорема 3. Если функция f (x) = f (x1 , . . . , xm ) непрерывна на компакте C ⊂ Rm , то существуют такиеточки x1 , x2 ∈ C, в которых f (x1 ) 6 f (x) 6 f (x2 ) для всех x ∈ C. Согласно теореме 2, существует число m = inf f (x), M = sup f (x) и m 6 f (x) 6 M для всех x ∈ C.x∈Cx∈CЕсли предположить, что f (x) < M для всех x ∈ C, то для произвольного ε > 0 существует xε ∈ C такое,11что M − ε < f (xε ) и функция M−f(x) определена и непрерывна на C. Согласно теореме 2, функция M−f (x)ограничена на C, но её значение M−f1 (xε ) > 1ε , что ведёт к противоречию в силу произвольности ε > 0.
4.4.4. Непрерывные отображения линейно связных множествТеорема. Если множество E ⊂ Rm линейно связно, то для любой непрерывной функции f (x) = f (x1 , . . . , xm )на E, и любых других точек a = (a1 , . . . , am ), b = (b1 , . . . , bm ) ∈ E, в которых f (a) = A; f (b) = B, на E существует точка c ∈ E, в которой f (c) = C для любого числа C, лежащего между A и B. Так как E — линейно связно, существует непрерывная вектор–функция x = ϕ(t) = (ϕ1 (t), . .
. , ϕm (t)), t ∈[α, β], что ϕ(α) = a, ϕ(β) = b и ϕ(t) ⊂ C, t ∈ [α, β], композиция (f ◦ϕ)(t) непрерывной функции f и непрерывногоотображения ϕ непрерывна на [α, β] и (f ◦ϕ)(α) и (f ◦ϕ)(α) = f (ϕ(α)) = f (a) = A; (f ◦ϕ)(β) = f (ϕ(β)) = f (b) = B.По теореме Коши о промежуточных значениях, существует γ ∈ [α, β] такое, что f (ϕ(γ)) = C, при этомϕ(γ) = c ∈ E (так как ϕ(t) ∈ E, t ∈ [α, β]).Получаем, что f (c) = C.
5. Дифференцируемые функции нескольких переменных5.1. Частные производные5.1.1.Основные определения и обозначенияРассмотрим функцию f (x) = f (x1 , . . . , xm ), область определения Df которой есть окрестность каждой своейточки; то есть, множество Df — открытое в Rm . Фиксируем точку x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Df . Для любой точки1x1 = (x11 , . . . , xm1 ) ∈ Df разность x − x = ∆x называется (полным) приращением аргумента функции f в точке58m1mx. На самом деле, ∆x — вектор в Rm и ∆x = (x11 − x1 , .
. . , xm1 − x ) = (∆x , . . . , ∆x ). При этом ∆x =mP∆xk ek ,k=1где ek , k = 1, m — стандартный базис.ek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 1), k = 1, m, и ∆xk ek = (0, . . . , ∆xk , . . . , 0), k = 1, m и f (x + ∆xk ek ) − f (x) = ∆k f (x) —kчастное приращение функции f в точке x по k-й переменной xk .Разность f (x + ∆x) − f (x) = ∆f (x) — (полное) приращение функции f в точке x, отвечающее приращению∆x аргумента в точке x.Определение 1.
Частной производной функции f (x) = f (x1 , . . . , xm ) по k–ой переменной («по xk ») назовёмфункцию — будем обозначать её ∂k f (x) — задаваемую следующими условиями:а) областью определения функции ∂k f (x) служат все те точки x ∈ Df , для которых разностное отношениеf (x+∆xk ek )−f (x)∆xkимеет предел по базе ∆xk → 0 (при ∆xk → 0)б) в каждой такой точке значение ∂k f (x) равно этому пределу, то есть∂k f (x) = lim∆xk →0f (x + ∆xk ek ) − f (x).∆xk(1)В координатной форме формула (1) имеет видf (x1 , .
. . , xk−1 , xk + ∆xk , xk+1 , . . . , xm ) − f (x1 , . . . , xm ).∆xk∆xk →0∂k f (x) = lim(1′ )Для f (x, y) справедливоf (x + h, y) − f (x, y),h→0h∂1 f (x, y) = lim∂2 f (x, y) = limk→0f (x, y + k) − f (x, y)k(h = ∆x, k = ∆y).Рассмотрим частную функцию ϕk (z) = f (x1 , . . . , xk−1 , z, xk+1 , . . .
, xm ). Тогдаϕk (xk ) = f (x1 , . . . , xm ),ϕk (xk + ∆xk ) = f (x1 , . . . , xk−1 , xk + ∆xk , xk+1 , . . . , xm )и формула (1’) принимает видϕk (xk + ∆xk ) − ϕk (xk )= ϕ′k (xk );∆xk∆xk →0∂k f (x) = limВ частности, для f (x, y) имеем fx′ =Пример. Функция∂f′∂x , fy=∂k f :=∂f= fx′ k ;∂xk∂f∂y .xy, если x2 + y 2 6= 0;+ y2f (x, y) =0, если x2 + y 2 = 0 (x = y = 0).x2имеет f (x, 0) = 0, f (0, y) = 0 и, следовательно, fx′ (0, 0) = 0, fy′ (0, 0) = 0, но f (x, y) разрывна в (0, 0) (не имеетпредела).5.1.2.Производная по направлениюЕдиничный орт (вектор единичной длины) e задаёт направление в Rm .
Когда говорят, что точка x′ находитсяот точки x в направлении орта e, то имеют в виду, что x′ = x + ρe, где ρ > 0.Орты ek , k = 1, m. Для любых x, y ∈ Rm однозначно определён угол ϕ между векторами x и y по формулеcos ϕ = kxkhx,yiили hx, yi = kxkm · kykm cos ϕ.·kykmmЕсли x = (x1 , . . . , xm ), то xk = hx, ek i, где ek , k = 1, m — стандартный базис.Если орт e = (e1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
