В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581), страница 21
Текст из файла (страница 21)
h→0h→0Теорема 2 (необходимое и достаточное условие дифференцируемости отображений). Отображение f (x), x ∈ G = Df ⊂ Rm — открытое множество, задаваемое функциями f j (x) = f j (x1 , . . . , xm ), j = 1, n,дифференцируемо в точке x ∈ G тогда и только тогда, когда каждая функция f j (x), j = 1, n дифференцируемав x ∈ G. Необходимость. Условно проверена в п. 1.2.Достаточность. По условию, каждая f j (x) = f j (x1 , . . . , xm ), j = 1, n, дифференцируема в x, то естьсправедливо (4).Из (4) следует (3), в котором матрица A(x) задаётся в виде (2).
Из представления (3) следует (1) или(1′ ), в котором отображение α(x; h) имеет компоненты α(x; h) = (α1 (x; h), . . . , αn (x; h)) и отображение α(x; h)непрерывно в h = 0, так как√непрерывнаαj (x; h) и αj (x; h) = o(khkm ), h → 0, j = 1, n. j каждаяjПоскольку kα(x; h)kn 6 n max α (x; h) и α (x; h) = o(khkm ), h → 0, j = 1, n, то α(x; h) = o(khkm ), h → 0.16j6nТаким образом, из (3) следует (1′ ) и отображение f (x) дифференцируемо в x. 6.2. Неявные отображения6.2.1.1Предварительные замечанияФункцию u = f (x) = f (x , . .
. , x ) назовём заданной неявно на множестве E ⊂ Rm , если существует функциональное уравнение F (x1 , . . . , xm , u) = 0, (x1 , . . . , xm , u) ∈ Rm+1 , что в каждой x ∈ E функция u = f (x) естьего единственное решение.F (x, y, u) = x2 + y 2 + u2 − 1.F (x, y, u) = 0 — уравнение сферы S единичного радиуса с центром в начале координат для декартовой3системы. (x, y, u) ∈pR .pu = f1 (x, y) = 1 − x2 − y 2 , u = f2 (x, y) = − 1 − x2 − y 2 , (x, y) ∈ D, где D — круг x2 + y 2 6 1 на R2 : Oxy.Фиксируем точку (x0 , y0 ) ∈ D и ищем u T= f (x, y), чтобы (x0 , y0 , r0 ) ∈ S, u0 = f (x0 , y0 ).Если (x0 , y0 ) ∈ ∂D ∀ U((x0 , y0 , u0 ), ε) S = Dε .
|u − u0 | < ε.∂F∂u = 2u0 = 0;∂F∂u0 − 2u0 > 0.6.2.2.mСуществование и дифференцируемость неявной функцииТеорема. Пусть функция F (x, u) = F (x1 , x2 , u) дифференцируема в некоторой окрестности U(M0 ),M0 (x10 , x20 , u0 ) ∈ R3 и частная производная Fu (x1 , x2 , u) непрерывна в U(M0 ). Если а)F (x10 , x20 , u0 ) = 0 иб)Fu (x10 , x20 , u0 ) 6= 0, то для любого числа ε > 0 существует такая окрестность U(x0 ) ⊂ R2 , x0 = (x10 , x20 ), вкоторой определена единственная функция u = ϕ(x1 , x2 ), обладающая свойствами:1) функция u = ϕ(x1 , x2 ) есть решение уравнения F (x1 , x2 , u) = 0 в каждой точке x = (x1 , x2 ) ∈ U(x0 ), тоесть F (x1 , x2 , ϕ(x1 , x2 )) = 0 для всех x = (x1 , x2 ) ∈ U(x0 );2) u0 = ϕ(x10 , x20 );3) |u − u0 | < ε для всех x = (x1 , x2 ) ∈ U(x0 ), u = ϕ(x1 , x2 );4) функция u = ϕ(x1 , x2 ) непрерывна в U(x0 );5) функция u = ϕ(x1 , x2 ) дифференцируема в x0 = (x1 , x2 ) и6)∂ϕ12∂x1 (x0 , x0 )=−Fx′ 1 (x10 ,x20 ,u0 )Fu′ (x10 ,x20 ,u0 )и∂ϕ12∂x2 (x0 , x0 )=−Fx′ 2 (x10 ,x20 ,u0 ).Fu′ (x10 ,x20 ,u0 )Замечание.
Утверждение теоремы справедливо для функции F (x, u) класса C 1 в U(M0 ). Считаем, что Fu′ (x10 , x20 , u0 ) > 0. Так как Fu′ непрерывна в M0 (x10 , x20 , u0 ), то существует открытый шарU(M0 ; r), r > 0, в котором Fu′ (x1 , x2 , u) > 0 для всех M (x1 , x2 , u) ∈ U(M0 ; r). Считаем, что U(M0 ; r) = Ω ⊂ U(M0 ).71Функция F (x1 , x2 , u), будучи дифференцируемой в Ω, непрерывна в Ω и f (u) = F (x10 , x20 , u) непрерывна на[u0 − r, u0 + r], дифференцируема в (u0 − r, u0 + r) и f ′ (u0 ) = Fu′ (x10 , x20 , u0 ) > 0.Рассмотрим произвольное ε > 0, 0 < ε < r. Тогда f (u) непрерывна на [u0 − ε, u0 + ε], дифференцируема в(u0 − ε, u0 + ε) и f ′ (u0 ) = Fu′ (x10 , x20 , u0 ) > 0. Тогда f (u) ↑↑ на [u0 − ε; u0 + ε] и f (u0 ) = F (x10 , x20 , u0 ) = 0. Поэтомуf (u0 − ε) < 0, f (u0 + ε) > 0 или F (x10 , x20 , u0 − ε) < 0, F (x10 , x20 , u0 + ε) > 0.Так как функция F (x1 , x2 , u) непрерывна по аргументу x = (x1 , x2 ) при любом фиксированном u ∈ [u0 −ε, u0 + ε], то по теореме о сохранении знака непрерывной функции, существует такая окрестность U(x0 ) ∈ Ω, вкоторойF (x1 , x2 , u0 − ε) < 0, F (x1 , x2 , u0 + ε) > 0(1)для всех x = (x1 , x2 ) ∈ U(x0 ).
Выберем U(x0 ) такую, что x1 − x10 < δ, x2 − x20 < δ, δ > 0.1◦ Существование неявной функцииПо построению, параллелепипед Π : x1 − x10 < δ, x2 − x20 < δ, |u − u0 | < ε лежит в шаре Ω.Рассмотрим и фиксируем произвольное x = (x1 , x2 ) ∈ U(x0 ). Функция F = (x1 , x2 , u) ((x1 , x2 ) — фиксировано) имеет F > 0.
u ∈ (u0 − ε, u0 + ε), и справедливо (1). Следовательно, на (u0 − ε, u0 + ε) существуетточка u (выбор u зависит от (x1 , x2 ); то есть u = ϕ(x1 , x2 )), в которой F (x1 , x2 , u) = 0. Другими словами,в U(x0 ) определена некоторая функция u = ϕ(x), F (x1 , x2 , ϕ(x1 , x2 )) = 0 для любой x = (x1 , x2 ) ∈ U(x0 ).◦2 Единственность неявной функцииПредположим, что в U(x0 ) определены две различные функции u1 = ϕ1 (x1 , x2 ), u2 = ϕ2 (x1 , x2 ), чтоF (x1 , x2 , ϕ1 (x1 , x2 )) = F (x1 , x2 , ϕ2 (x1 , x2 )) = 0для всех x = (x1 , x2 ) ∈ U(x0 ). Следовательно, существует x = (x1 , x2 ) ∈ U(x0 ), в которой u1 6= u2 . Таккак отрезки с концевыми точками u1 и u2 лежат на [u0 − ε, u0 + ε], то по теореме Лагранжа о конечныхприращениях,0 = F (x1 , x2 , u1 ) − F (x1 , x2 , u2 ) = Fu′ (x1 , x2 , u′ )(u1 − u2 )и (x1 , x2 , u′ ) ∈ Ω.
Так как u1 − u2 6= 0, то Fu′ (x1 , x2 , u′ ) = 0, что противоречит построению шара Ω.3◦ Непрерывность неявной функцииТак как |u − u0 | = ϕ(x1 , x2 ) − ϕ(x10 , x20 ) < ε для всех x = (x1 , x2 ) ∈ U(x0 ), то есть x1 − x10 < δ, x2 − x20 <δ, то ϕ(x1 , x2 ) непрерывна в x0 = (x10 , x20 ). Рассмотрим произвольную x = (x1 , x2 ) ∈ U(x0 ). Тогда 2существует1211x − x2 < δ,такая окрестностьU(x)⊂U(x)идлявсехx∈U(x),x=(x,x)справедливоx−x<δ,000а также x1 − x10 < δ, x2 − x20 < δ.
Поэтому, ϕ(x1 , x2 ) − ϕ(x1 , x2 ) 6 ϕ(x1 , x2 ) − ϕ(x1 , x2 ) + ϕ(x1 , x2 ) − ϕ(x1 , x2 ) < ε + ε = 2ε.0000Другими словами, ϕ(x1 , x2 ) непрерывна в x = (x1 , x2 ) ∈ U(x0 ) и, следовательно, для произвольного приращения (∆x1 , ∆x2 ), ∆x1 = x1 − x10 , ∆x2 = x2 − x20 и ∆u = ϕ(x10 + ∆x1 , x20 + ∆x2 ) − ϕ(x10 , x20 ).Справедливо lim ∆u = 0 и ∆u — непрерывна функция от (∆x1 , ∆x2 ), (∆x1 , ∆x2 ) → (0, 0).4◦ Дифференцируемость неявной функции в точке (x10 , x20 )Рассмотрим произвольное (∆x1 , ∆x2 ) ⊂ ∆x1 < δ, ∆x2 < δ и приращение ∆u, |∆u| < ε. Точки (x10 +∆x1 , x20 + ∆x2 , u0 + ∆u) и (x10 , x20 , u0 ) лежат на графике функции u = ϕ(x1 , x2 ) и, следовательно, F (x10 +∆x1 , x20 + ∆x2 , u0 + ∆u) = F (x10 , x20 , u0 ) = 0.Так как F (x1 , x2 , u) дифференцируема в (x10 , x20 , u0 ), то, по определению,0 = F (x10 + ∆x1 , x20 + ∆x2 , u0 + ∆u) − F (x10 , x20 , u) == ∆F = Fx′ 1 (x10 , x20 , u0 )∆x1 + Fx′ 2 (x10 , x20 , u0 )∆x2 + Fu′ (x10 , x20 , u0 )∆u++ α1 (∆x1 , ∆x2 , ∆u)∆x1 + α2 (∆x1 , ∆x2 , ∆u)∆x2 + α3 (∆x1 , ∆x2 , ∆u)∆u1 ,в которомlim(∆x1 , ∆x2 , ∆u) = 0, j = 1, 2, 3, и все αj непрерывны в (0; 0; 0).(∆x1 ,∆x2 ,∆u)→(0;0;0)Так как Fu′ непрерывна в (x10 , x20 , u0 ) и Fu′ (x10 , x20 , u0 ) > 0, то для всех достаточно малых (∆x1 , ∆x2 , ∆u)Fu′ (x10 , x20 , u0 ) + α3 (∆x1 , ∆x2 , ∆u) > 0.72Следовательно, из (2) получим∆u = −Fx′ 1 (x10 , x20 , u0 )∆x1Fx′ 2 (x10 , x20 , u0 )∆x2α2α1−− ′ 1 2∆x1 − ′ 1 2∆x2 .Fu′ (x10 , x20 , u0 ) + α3Fu′ (x10 , x20 , u0 ) + α3Fu (x0 , x0 , u0 ) + α3Fu (x0 , x0 , u0 ) + α3(3)Сложение функции αj (∆x1 , ∆x2 , ∆ϕ(∆x1 , ∆x2 )) → 0 при (∆x1 , ∆x2 ) → 0 и непрерывна в (0; 0) для всех1j = 1, 2, 3.
Так как 1+ω= 1 − ω + o(ω), ω → 0, то из (3) следует∆u = −Fx′ 2 (x10 , x20 , u0 )Fx′ 1 (x10 , x20 , u0 )1∆x−∆x2 + α1 (∆x1 , ∆x2 )∆x1 + α2 (∆x1 , ∆x2 )∆x2 ,Fu′ (x10 , x20 , u0 )Fu′ (x10 , x20 , u0 )(4)где αi (∆x1 , ∆x2 ) → 0 при (∆x1 , ∆x2 ) → 0 и αi непрерывны в (0, 0), i = 1, 2, то есть u = ϕ(x1 , x2 ) —дифференцируема в (x10 , x20 ) иFx′ 1 (x10 , x20 , u0 ) ∂ϕ 1 2Fx′ 2 (x10 , x20 , u0 )∂ϕ 1 2(x,x)=−,(x,x)=−.0000∂x1Fu′ (x10 , x20 , u0 ) ∂x2Fu′ (x10 , x20 , u0 )Замечание. Из доказательства следует, что производная Fu′ (x1 , x2 , u) 6= 0 для всех (x1 , x2 , u) ∈ Ω, так чтоединственная неявная функция u = ϕ(x, y) дифференцируема всюду в U(x0 ) иϕ′x1 (x1 , x2 ) = −Fx′ 1 (x1 , x2 , u) ′Fx′ 2 (x1 , x2 , u)12,ϕ(x,x)=−.2xFu′ (x1 , x2 , u)Fu′ (x1 , x2 , u)F (u, x, y) = 0 имеет решение u = ϕ(x, y) в U(x0 , y0 ), удовлетворяющее теореме.Рассмотрим Φ(x, y) = F (ϕ(x, y), x, y).∂Φ∂F ∂ϕ ∂F ∂Φ∂F ∂ϕ ∂F=+,=+.∂x∂u ∂x∂x ∂y∂u ∂y∂yТеорема 1.
Пусть функция F (x, u) = F (x1 , . . . , xm , u) дифференцируема в некоторой окрестности точкиm+1(x0 , u0 ) = (x10 , . . . , xmи частная производная Fu′ непрерывна в точке (x0 , u0 ). Если F (x0 , u0 ) = 0 и0 , u0 ) ∈ Rm′Fu (x0 , u0 ) 6= 0, то для любого числа ε > 0 существует такая окрестность U(x0 ) точки x0 = (x10 , . . . , xm0 )∈ R ,1mв которой определена единственная неявная функция u = ϕ(x) = ϕ(x , . . . , x ), обладающая свойствами:1) u = ϕ(x) есть решение уравнения F (x, u) = 0 в U(x0 ), то есть F (x, ϕ(x)) = 0 для всех x ∈ U(x0 );2) u0 = ϕ(x0 ) = ϕ(x10 , . . .
, xm0 );3) |u − u0 | < ε для всех x = (x1 , . . . , xm ) ∈ U(x0 );4) функция u = ϕ(x) = ϕ(x1 , . . . , xm ) дифференцируема (а значит и непрерывна) в U(x0 );5)Fx′ i (x1 , . . . , xm , u)∂ϕ 1m(x,...,x)=−, i = 1, m.∂xiFu′ (x1 , . . . , xm , u)Замечание. Утверждение теоремы 1 справедливо, если F (x, u) ∈ C 1 (G), G — открытое множество в Rm+1и (x0 , u0 ) ∈ G — произвольное.6.2.3.Отображения, заданные неявноРассмотрим систему из n, n ∈ N, функциональных уравненийF1 (x, u) = F1 (x1 , . . .
, xm , u1 , . . . , un ) = 0,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,Fn (x, u) = Fn (x1 , . . . , xm , u1 , . . . , un ) = 0(1)где Fj (x, u) = Fj (x1 , . . . , xm , u1 , . . . , un ), j = 1, n, дифференцируемы на некотором открытом множестве E ⊂Rm+n .Определение 1. Функцииu1 = ϕ1 (x1 , . . . , xm )....................(2)un = ϕn (x1 , . .
. , xm )называются решением системы (1) на некотором непустом открытом множестве G ⊂ Rm , если при подстановкеих в уравнения системы все уравнения системы переходят в тождества на множестве G.73Функции (2) образуют некоторое отображение u = ϕ(x) множества G на некоторое множество G∗ = ϕ(G) ⊂R , u = (u1 , . . . , un ), x = (x1 , . . . , xm ). Это отображение и называют неявным отображением.nОпределение 2.
Определитель ∂F 11 . . . ∂Fn1 ∂u ∂u . . . . . . . . . . . . . . . ∂F n1 . . . ∂Fnn ∂u∂u(3)называется определителем Якоби (или якобианом) системы функций Fj (x, u), j = 1, n (или системы уравне1 ,...,Fn )ний (1)) по переменным u1 , . . . , un и обозначается D(FD(u1 ,...,un ) . Понятно, что якобиан (3) есть функция от m + nпеременных (x1 , . . . , xm , u1 , . . . , un ), определённая на множестве E.Теорема 2. Пусть функцииF1 (x1 , . . .
, xm , u1 , . . . , un ).........................Fn (x1 , . . . , xm , u1 , . . . , un )1nдифференцируемы в некоторой окрестности U(x0 , u0 ) точки (x0 , u0 ) = (x10 , . . . , xm0 , u0 , . . . , u0 ) из пространстваm+n1nRи пусть первые производные этих функций по аргументам u , .
. . , u непрерывны в (x0 , u0 ). Если а)1 ,...,Fn )Fj (x0 , u0 ) = 0, j = 1, n; б) якобиан D(FD(u1 ,...,un ) 6= 0 в точке (x0 , u0 ), то для произвольного набора чисел ε1 >0, . . . , εn > 0 существует такая окрестность U(x0 ) точки x0 в Rm , в которой определено единственное неявноеотображение u = ϕ(x), порождаемое системой уравнений (1) и обладающей свойствами:1m1) uj0 = ϕj (x 0 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
