В.И. Гаврилов - Курс лекций по математическому анализу (1109581), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

. . , em ), то ek = he, ek i , k = 1, m. Обозначим αk — угол между e и ek , k = 1, m. Тогдаek = he, ek i = kekm · kek km · cos αk = cos αk , k = 1, m.Итак, e = (cos α1 , . . . , cos αm ) и числа cos α1 , . . . , cos αm — направляющие косинусы орта e.mPcos2 αk = 1.k=1Определение 2. Производной по направлению орта e функции f (x) = f (x1 , .

. . , xm ) называют функцию —будем обозначать её ∂e f (x) — заданную следующими условиями:(x)а) областью её определения служит множество тех точек x ∈ Df , для которых f (x+te)−fимеет предел приtt → 0;59б) в каждой такой точке значение ∂e f (x) равно этому пределу, т.е.∂e f (x) = limt→0f (x + te) − f (x).t(2)В частности, ∂k f (x) = ∂ek f (x), k = 1, m.Так как e = (cos α1 , . .

. , cos αm ), то te = (t cos α1 , . . . , t cos αm ).f (x1 + t cos α1 , . . . , xm + t cos αm ) − f (x1 , . . . , xm ).t→0t∂e f (x) = lim(2′ )Рассмотрим функцию ϕ(t) = f (x1 + t cos α1 , . . . , xm + t cos αm ), считая фиксированной точку x = (x1 , . . . , xm )и орт e с направляющими косинусами.∂e f (x) = limt→0ϕ(t) − ϕ(0)= ϕ′ (0).t(2′′ )(1, если 0 < y < x2 ;0, если y 6 0 или y > x2 .∂e f (0, 0) существует (равна нулю). f (x, y) в любой окрестности точки имеет значение 0 и 1.Пример.

Функция f (x, y) =5.2. Дифференцируемость функций нескольких переменных5.2.1.Понятие дифференцируемости функцииОпределение 1. Функцию f (x) = f (x1 , . . . , xm ) называют дифференцируемой в точке x ∈ Df , если Df —окрестность точки x и справедливо представление:f (x + ∆x) − f (x) = l(∆x) + α(∆x) · k∆xkm ,где l(h) =mPk=1(1)ak hk , h = (h1 , . .

. , hm ) ∈ Rm — некоторая линейная функция в Rm , а функция α(∆x) == α(∆x1 , . . . , ∆xm ) непрерывна в нуле, и lim α(∆x) = 0 = α(0).∆x→0Отметим, что функция kxkm непрерывна в каждой x ∈ Rm как композиция непрерывных функций —vumuXkxkm = t (xk )2 .k=1Теорема 1. Функция f (x) = f (x1 , . . . , xm ) дифференцируема в точке x ∈ Df тогда и только тогда, когдасправедлива формулаmXf (x + ∆x) − f (x) = l(∆x) +αk (∆x) · ∆xk ,(1′ )k=1в которой l(∆x) — некоторая линейная функция в R , а функции αk (∆x) = αk (∆x1 , . . . , ∆xm ) непрерывны в∆x = 0 и lim αk (∆x) = 0 = αk (0), k = 1, m.m∆x→0Пусть f ∈ D(x) в смысле определения 1, то есть справедливо (1). Ноα(∆x) k∆xkmи (1) переходит в (1’) с mX α(∆x)· (∆xk )2 , если ∆x 6= 0;= k=1 k∆xkm0, если ∆x = 0 α(∆x) · (∆xk )2 , если ∆x 6= 0, k = 1, m;αk (∆x) = k∆xkm0, если ∆x = 0.При этом |αk (∆x)| = |α(∆x)|· ∆xk 6 |α(∆x)| и, следовательно, lim αk (∆x) = 0, k = 1, m, так какk∆xk∆x→0mlim (∆x) = 0.∆x→060Пусть выполнено (1’).

Положимα(∆x) =Согласно неравенству Коши,|α(∆x)| 6mX1·αk (∆x) · ∆xk , если ∆x 6= 0;k∆xkm1k∆xkmk=10, если ∆x = 0.vvvumumumuXuXuX2tα2k (∆x) · t(∆xk ) = tα2k (∆x),k=1k=1k=1и, следовательно, lim α(∆x) = 0, так как lim αk (∆x) = 0, k = 1, m. ∆x→0∆x→0Теорема 2. Если функция f (x) дифференцируема в точке x ∈ Df , то f непрерывна в x. Так как f ∈ D(x), то справедлива формула (1), в которой функции l(∆x), α(∆x) и k∆xkm непрерывнына Rm , и следовательно, lim l(∆x) = l(0) = 0, lim α(∆x) = 0, lim k∆xkm = k0km = 0.

Поэтому∆x→0∆x→0∆x→0lim (f (x + ∆x) − f (x)) = 0, то есть f (x) = lim f (x + ∆x).∆x→0∆x→05.2.2.Дифференцируемость и частные производныеТеорема 3. Функция f , дифференцируемая в x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Df ⊂ Rm , имеет в x все частные производные ∂k f (x), k = 1, m. По условию теоремы и теореме 1, справедливо представлениеf (x + ∆x) − f (x) =mXak ∆xk +k=1mXαk (∆x)∆xk .k=1Фиксируем k, 1 6 k 6 m, и рассмотрим ∆x = ∆xk ek .

Тогдаf (x + ∆xk ek ) − f (x) = ak ∆xk + αk (∆xk )∆xkиf (x + ∆xk ek ) − f (x)= ak + αk (∆xk ).∆xkТак как lim αk (∆xk ) = 0, то∆xk →0f (x + ∆xk ek ) − f (x)= ∂k f (x),∆xk∆xk →0ak = limk = 1, m.Следствие. Если функция f (x) = f (x1 , . . . , xm ) дифференцируема в x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Df , тоf (x + ∆x) − f (x) =mX∂f(x) · ∆xk + α(∆x) k∆xkm ,∂xk(1)k=1где lim α(∆x) = 0 = α(0) и∆x→0f (x + ∆x) − f (x) =mmXX∂fk(x)·∆x+αk (∆x) · ∆xk ,∂xkk=1(1′ )k=1где lim αk (∆x) = 0 = αk (0), k = 1, m.∆x→0f (x + ∆x) − f (x) =mX∂f(x)∆xk + o(∆x), ∆x → 0,∂xkk=1где o(∆x) непрерывна в ∆x = 0.61(1′′ )Теорема 4. Если функция f (x) дифференцируема в точке x ∈ Df — открытое множество в Rm , то в xсуществуют все ∂e f (x) по любому направлению e и если e = (cos α1 , .

. . , cos αm ), то∂e f (x) =mX∂f(x) cos αk .∂xk(2)k=1Согласно условию теоремы, справедливо (1’) и если ∆x = t e = (t cos α1 , . . . , t cos αm ), тоf (x + t e) − f (x) =mmXX∂f(x)·tcosα+αk (t e)t cos αk =k∂xkk=1k=1"m#mmXXX ∂f∂f(x)cosα+α(te)cosα=(x) cos αk .=tkkkk∂x∂xkk=1k=1k=15.2.3.1ГрадиентРассмотрим функцию f (x) = f (x , . . . ,x ), дифференцируемуюв x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Df .

Согласно теореме∂f∂f∂f3, существует ∂xназывают градиентом функции f в точке x иk (x), k = 1, m. Вектор∂x1 (x), . . . , ∂xm (x)обозначают grad f (x). Тогда, согласно (2), ∂e f (x) = hgrad f (x), ei.Утверждение. Если grad f (x) 6= 0, то функция = ∂e f (x) имеет наибольшее значение тогда, когда e =grad f (x)kgrad f (x)k , то есть когда e — направляющий орт градиента.meСогласно неравенству Коши – Буняковского и (2),|∂e f (x)| = |hgrad f (x), ei| 6 kgrad f (x)km · kekm = kgrad f (x)km .С другой стороны,grad f (x),grad f (x)kgrad f (x)km= kgrad f (x)km .Значит, число kgrad f (x)km — наибольшее значение для ∂e f (x), которое достигается для e =grad f (x)kgrad f (x)km .Истолковывая производную f (x) по направлению e в точке x как скорость изменения функции f в этомнаправлении, можно сказать, что grad функции в точке есть вектор, указывающий направление и скоростьнаибольшего роста функции в этой точке.vum 2uX ∂ftkgrad f (x)km =(x) .∂xkk=15.2.4.Достаточное условие дифференцируемостиТеорема.

Функция двух переменных f (x, y) будет дифференцируемой в точке M (x, y), если частная производная по y fy′ определена и конечна в точке M , а fx′ определена в некоторой окрестности U точки M (x, y)и непрерывна в M (x, y). Функции fx′ и fy′ можно поменять местами. Рассмотрим (∆x, ∆y) такие, что (x + ∆x, y + ∆y) ∈ U, а также точка (x + ∆x, y) ∈ U и разностьf (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y) представим в виде∆f (M ) = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y) = [f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y + ∆y)] + [f (x, y + ∆y) − f (x, y)] .(3)Так как существует fy′ (x, y), то[f (x, y + ∆y) − f (x, y)] = fy′ (x, y)∆y + α2 (∆y)∆y,(4)где lim α2 (∆y) = 0 и (4), определённую первоначально для ∆y 6= 0, можно доопределить в ∆y = 0, положив∆y→0α2 (0) = 0, так что α2 (∆y) — непрерывная бесконечно малая функция аргумента ∆y.limα2 (∆y) = 0 = α(0).(∆x,∆y)→(0,0)Согласно теореме о среднем значении,f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y + ∆y) = fx′ (x + θ∆x, y + ∆y) · ∆x.62(5)Так как fx′ непрерывна в точке (x, y), тоfx′ (x + θ∆x, y + ∆y) = fx′ (x, y) + α1 (∆x, ∆y),гдеlim(∆x,∆y)→(0,0)α1 (∆x, ∆y) = 0 = α1 (0, 0).Подставляем (4),(5),(6) в (3); получим∆f (M ) = fx′ (x, y)∆x + fy′ (x, y)∆y + α1 ∆x + α2 ∆y,гдеlim(∆x,∆y)→(0,0)α1 = 0, то есть, согласно (1’), f (x, y) дифференцируема в (x, y).

Доказанная выше теорема справедлива при более сильных предположениях о существовании обеих fx′ и fy′в некоторых U точки M (x, y) и непрерывности их в точке M (x, y).Теорема. Функция f (x) = f (x1 , . . . , xm ) будет дифференцируемой в x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Df — открытое∂fмножество в Rm , если все частные производные ∂xk (x), k = 1, m существуют в некоторой окрестности Uточки x ∈ U ⊂ Df и непрерывны в x.Определение. Функцию f (x) = f (x1 , . . .

, xm ) назовём принадлежащей классу C 1 на открытом множестве∂f∂fG ⊂ Df , если в каждой x ∈ G существуют все ∂xk (x), k = 1, m и все ∂xk непрерывны на G.5.2.5.Частные производные сложной функцииТеорема. Пусть функция f (x) = f (x1 , . . . , xm ) имеет областью определения Df = G открытое множество в Rm и f дифференцируема в точке x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Df . Пусть функции xi = ϕi (t), ϕi (t) =ϕi (t1 , . . . , tk ), i = 1, m образуют непрерывное отображение x = ϕ(t) из Rk в Rm , имеющее Df = ϕ−1 (G) ивсе функции ϕi (t), i = 1, m дифференцируемы в точке t = (t1 , .

. . , tk ) ∈ ϕ−1 (G). Тогда композиция F (t) =(f ◦ ϕ)(t) = F (t1 , . . . , tk ) дифференцируема в t = (t1 , . . . , tk ) и справедливы формулы:∂F∂f ∂x1∂f ∂xm=·+...+·,∂t1∂x1 ∂t1∂xm ∂tm.......................................(∗)∂F∂f ∂x1∂f ∂xm=· k + ...+ m ·.k1∂t∂x ∂t∂x∂tki∂f∂F∂xВсе ∂tj , ∂tj , j = 1, k, i = 1, m берутся в точке t, а все ∂xi — в точке xk .Так как отображение x = ϕ(t) непрерывно, то множество ϕ−1 (G) — открытое (как прообраз открытогомножества при непрерывном отображении).Рассмотрим окрестность U точки x ∈ U ⊂ G и приращение ∆x = (∆x1 , . . . , ∆xm ) такое, что x + ∆x ∈ U.ТогдаmX∂ff (x + ∆x) − f (x) =(7)(x)∆xk + o(∆x), ∆x → 0,∂xkk=1где o(∆x) непрерывна в ∆x = 0.jОбозначим V = ϕ−1 (U) ⊂ Dϕ и V — окрестность точки t ∈ V ⊂ Dϕ ⊂ Dϕ, j = 1, k.iii∆x = ϕ (t + ∆t) − ϕ (t) =kX∂ϕij=1∂tj(t) · ∆tj + αi (∆t) · k∆tkk ,(8)где lim αi (∆t) = 0 = αi (0), i = 1, m.∆t→0Имеем, на основании неравенства Коши,vvu k 2 uXiu k i uX∂ϕ2t∆x 6 t(t)·(∆tj ) + |αi (∆t)| · k∆t kk 6 M · k∆tkk + |αi (∆t)| k∆tkk , i = 1, m.j∂tj=1j=1(9)Следовательно, справедлива формула∆xi = O(∆t), ∆t → 0, i = 1, mи все функции O(∆T ) непрерывны в ∆t = 0.63(10)Теперь представление для F (t + ∆t) − F (t) = (f ◦ ϕ)(t + ∆t) − (f ◦ ϕ)(t) получается подстановкой формул (8),mP∂fi(9) и (10) (в формуле (7) f (x + ∆x) − f (x) =∂xi (x)∆x + o(∆x), ∆x → 0) в формулу (7), так чтоi=1kmX∂f X ∂ϕi j∆t + αi (∆t) k∆tkk  + o(O(∆t)) =F (t + ∆t) − F (t) =∂xi j=1 ∂tjk=1kmmX∂f X ∂ϕi j X ∂f∆t+αi (∆t) k∆tkm + o(O(∆t)) =∂xi j=1 ∂tj∂xii=1i=1!kmXX∂f ∂ϕi=· j ∆tj + o(∆t) + o(O(∆t)) =i∂x∂tj=1i=1!kmXX∂f ∂ϕi· j ∆tj + o(∆t).=i∂x∂tj=1i=1=Функция F (t) — дифференцируема, и, следовательно, справедлива (∗).∂F∂tjравносильно (∗).5.2.6.=mPi=1∂f∂xi·∂ϕi∂tj ,(11)j = 1, k, чтоДифференциал функции нескольких переменныхРассмотрим функциюf (x) = f (x1 ,.

. . , xm ), дифференцируемую в точке x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Df . Тогда суще∂f∂f∂f∂f1mи определена линейная функция L(h) = ∂x; h=ствует grad f (x) = ∂x1 (x), . . . , ∂xm (x)1 (x)·h +. . .+ ∂xm (x)·h(h1 , . . . , hm ) ∈ Rm , называемая дифференциалом функции f в точке x и обозначаемая df (x)(h) =∂f∂fkmm+ . .

Характеристики

Список файлов лекций